抛物线压轴题答案

1、综合题答案1.如图，平面直角坐标系中，直线1分别交X轴、y轴于A、B两点(OAOB)且OA、0B的长分别是一元二次方(1) 求A、C两点的坐标；(2) 若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM,设ABM的面积为S,点M的运动时间为 写出S关于t的函数关系式，并写出自变疑的取值范围；(3) 点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以A. B、P、Q为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由.分析：通过解一元二欠方程X2(J3+1 )潜也=0 f求得方程的两个根r从而得到 A、B两点的坐标r再根据两点之间的距离公式可求AB的长f根据AB :

2、 AC二1 ： 2 ,可求 AC的长f从而得到C点的坐标；(2 )分当点“在CB边上时；当点鮎在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于啲 函数关系式；(3 )分AQ=AB，BQ二BA f BQ二QA三种情况讨论可求Q貞的坐标.解窖J解：1)x2-(43i-1)x+43 =0,(x-j3 ) (x-1 ) =0.解得 x2-=1 /OA OB z/.0A=1.0B=j3 zA (1 f 0) fB(0r JI ) f AB二2 r又.AB : AC=1 : 2 fAC二4 r C (-3,0)；(2 )由题意得：CM =tCB=2-j3 . 当点M在CB边上时r S二2历-t ( 0t2j3

3、 )；(?)存在(-1).02(12) fQ3(1f 2)Qi ( 1罟)（1）求出这个二次函数的解析式； （2）直接写出点B的坐标为解答:解:(1) Vy=ax2+x+c 的图象经过 A (-2, 0), C (0, 3),丄/. c=3,2；所求解析式为：y=-4x2+x+3;(2) (6, 0)；(3) 在 RtAAOC 中，VA0=2, 0C=3, .AC=Jl3, 当P.A-AC时（Pi在x轴的负半轴），Pi （-2-/13, 0）； 当P2A-AC时（匕在x轴的正半轴），P2 （帀-2, 0）； 当PQAC时（P在x轴的正半轴），P3 （2, 0）； 当P.C=PtA时（匕在x轴的

4、正半轴,在 RtAPiOC 中，设 PQ二x,则（x+2） 2=x2+325解得:x=4,5A Pa （兀 0 ）;2（4）解：如图，设Q点坐标为（x, y）,因为点Q在y二/x+x+3上,即：Q点坐标为(x, *x+x+3), 连接 OQ, S 四欢形 aim 二S 厶Aoc+Saqc+S&eq32=3+2x+3 (-4x+x+3)33=_4-x2+2x+12,Va0,3如图（1）,抛物线与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C （0, -3 ）.图（2）、图（3）为解答备用图（1）比=，点A的坐标为，点B的坐标为;（2）设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否

5、存在一点D,使四边形ABDC的面积最大若存在，请求出点D的坐标；若 不存在，请说明理由；（4）在抛物线求点q,使ABCQ是以BC为直角边的直角三角形.图（1）图(2)图(3)解答:解:（1）址=一3,(1 )图(4)A (-1, 0),B (3, 0).(2) 如图(1),抛物线的顶点为M (1, -4),连结0M.33则ZkAOC的面积二，ZMIOC的面积二，AM0B的面积=6,四边形 ABMC的面积=AA0C的面积+()的面积+AM0B的面积=9.说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和.(3) 如图(2),设 D 5,卅-2m -

6、 3、,连结 0D.则 0VmV3,加$ 一 2朋一3o.33W2且ZkAOC的面积=2, ZWOC的面积=23AD0B的面积二-(承2一2烧一3), /.四边形 ABDC的面积二AAOC的面积+AD0C的面积+AD0B的面积3 2 9 v-m 4朋+ 6=2 275.存在点伶呼，使四边形ABDC的面积最大为8 .(4) 有两种情况：如图(3),过点B作BQ.1BC,交抛物线于点Q、交y轴于点E,连接QCT ZCB0=45 , /.ZEB0=45 , B0=0E=3.点E的坐标为（0, 3）.y = _兀十3, 由 = 鼻 _3直线BE的解析式为刀二一兀+?.点Q的坐标为G2, 5).如图14

7、 (4),过点C作CF丄CB,交抛物线于点Q、交x轴于点F,连接BQ-T ZCBO=45 , A ZCFB=45 , OF=OC=3.点F的坐标为(-3, 0)直线cf的解析式为.兀=0, 解得hi“2 =必=一4点Q的坐标为(1, -4) 综上，在抛物线上存在点Q (-2, 5)、Q, (1, -4),使厶BCQ.、ABCQ是以BC为直角边的直角三角形. 说明：如图14 (4)，点Q即抛物线顶点M,直接证明ABCM为直角三角形4如图1,在ZABC中，AB=BC, P为AB边上一点，连接CP,以PA、PC为邻边作口 APCD, AC与PD相交于点E,已 知ZABC二ZAEP二a (0 a 90

8、 ).(1) 求证:ZEAP=ZEPA；(2) 口 APCD是否为矩形请说明理由；(3) 如图2, F为BC中点，连接FP,将ZAEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到ZMEN (点M、N分别是ZMEN的 两边与Bb FP延长线的交点).猜想线段EM与E7之间的数量关系，并证明你的结论.矩形的判定。专题：分析：证得；(2)由(1)知ZEPA=ZEAP,则 AC=DP,证明题；探究型。则在ABC与AAEP中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理，即可(1) 根据 AB=BC 可证ZCAB二ZACB,根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证; (3)可以证明厶EAMAEPN,从而得到EM=EN.解

9、答: (1)证明：在ZkABC和ZXAEP中，V ZABC=ZAEP, ZBAC=ZEAP. ZACB 二 ZAPE,在 AABC 中,AB二BC, ZACB 二 ZBAC,AZEPA=ZEAP.(2) 解：o APCD是矩形理由如下: 四边形APCD是平行四边形， AO2EA, PD二2EP,由(1)知 ZEPA=ZEAP,EA=EP,则 AC二PD,o APCD是矩形解:EM=EN.证明:VEA=EP,.ZEpA_180- -ZAEP 180- -ZABC _9QO _Iq2 2 2ZEAM二 180 -ZEPA二 180 - (90 -a ) =90 +-ia t2 2由(2)知ZCPB

10、二90“，F是BC的中点，FP 二 FB,ZFPB二 ZABC=a ,ZEPN二ZEPA+ZAP7二ZEPA+ZFPB二90 -3a + a =90。+丄a ,2 2 ZEAM=ZEPN, ZAEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到ZMEN, ZAEP二 ZMEN, ZAEP - ZAEN=ZMEN - ZAEN,即 ZMEA=ZNEP,在ZkEAM 和 AEPN 中，ZEx=ZEPN ZMEA=ZNEP.EA=EPAAEAMAEPN (AAS),AEM=EN.点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，以及矩形的判定方法，在旋转中找到题目中存在的相等的线段以及相等的 角是解决本题的关键.5 提出问题

11、：如图 在正方形ABCD中，点P, F分别在边BC、AB上，若AP丄DF于点H,则AP=DF.类比探究:(1) 如图，在正方形ABCD中，点P. F、G分别在边BC. AB. AD上，若GP丄DF于点H,探究线段GP与DF的数 量关系，并说明理由；(2) 如图，在正方形ABCD中，点P、F、G分别在边BC、AB、AD上，GP丄DF于点H,将线段PG绕点P逆时针旅转 并说明理由.【分析】(1)如答图平行四边形的性质推知AM=GP,则GP二DF；1,过点A作AM丄DF交BC于点通过证明厶BAMMADF得到其对应边相等:AM=DF,则又由(2)如答图2,过点P作F7丄AD与点7.根据菱形的性质、等腰

12、三角形的“三线合一的性质推知DG二2DN.然后结 合矩形DNPC的性质得到:DG二2PC【解答】解：(1) GP二DF理由如下:如答图1,过点A作AM丄DF交BC于点M. 四边形ABCD是正方形，AD二AB, ZB90 , ZBAM=ZADF,在BAM 与 ZXADF 中，ZB 二 ZDAF 二 90 AB二DA,Zbm=ZadfAABAMAADF （ASA）,AM 二 DF又四边形AMPG为平行四边形，AAM=GP,即 GP二DF；（2） DG二2PC理由如下： 如答图2,过点P作F51丄AD与点N. 若四边形DFEP为菱形，则DP二DF, DP 二 DF,DP二GP,即 DG二2DN 四边

13、形DNPC为矩形,PC 二 DN,DG 二 2PC 答图16.如图，抛物线y = -x2+bx + c与x轴交于A（l,0）,B（- 3, 0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长最小若存在，求出Q点的坐标； 若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使磁的面积最大，若存在，求出点P的坐标及砸的面积最大值若没有，请说明理由.解答(1)将 A(l, 0), B(-3, 0)代 y = -x2+bx + c 中得-l+Z? + c=O 一9 一 3b + c = 0乙=-2c =

14、 3拋物线解析式为：y = F2x + 3（2）存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴X = l对称直线BC与x = -的交点即为Q点，此时周长最小T y = -/-2x + 3C的坐标为：（0, 3）直线BC解析式为：y = x + 3 Q点坐标即为v=_1的解y = x + 3兀=一1AQ(-1, 2)2 = 2（3）答：存在。理由如下:设P点(上x 2x + 3) (3 .V 二(-2m)2-4m2+360t:无论m为何值时方程x2 - 2mx+mJ 9二0总有两个不相等的实数根，T抛物线y=x -加x+m - 9的开口向上，顶点在x轴的下方，该抛物线与x轴总有两个交点.(2

15、) T 拋物线 y=x2 - 2mx+m2 - 9 与 y 轴交点坐标为(0, - 5), /. - 5=m2 - 9. 解得：m=2.当 nF-2, y二0 时，x+4x - 5二0 解得：Xi=-5, x2=l丁抛物线y二x - 2mx+n/- 9与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧, 且OAVOB), Am-2不符合题意，舍去.Am-2.；抛物线的解析式为y=x2-4x-5；(3) 如图2,假设E点存在，CD丄MC,ZEMP二ZPCD二90 ZMEP+ZMPE二90TPE丄PD, ZEPD二90 , ZMPE+ZDPC二90。A ZMEP-ZCPD. 在ZkEMP 和ZiPCD 中，

16、rZEMP=ZPCD二ZCPD，AAEPMAPDC (AAS) Z.PM-DC, EM二PCPE 二 PD设 C (x0, y0) 则 D (4 - x0, y0), P (xO, -lyO).2x0-4二-2y04丁 点 C 在抛物线 y=x2 - 4x - 5 上；：yoxo - 4x- 52x0 - 4= - (xj - 4x0 - 5).4解得:Xoi=l, XQ2=11 (舍去)，AP (1, -2). APC=6 ME二PC二6 AE (7, 0).PFG 周长为：加 $ 一 3加 + 42(m2 一 3in)24:.APFG周长的最大值为：9（2/1）8分4（3）点J/有三个位置

17、，如图所示的弘都能使丽的面积等于加的面积.此时DM. / AB . M3M2/ AB.且与/仿距离相等VD （一 1, 4）,则 E （-1,2、则 N （-1,0）V j = x + 3中，扫1直线DM解析式为：j = x + 5直线解析式为：j = x +19分10斗卫，斗四2 212分Qy . ABC是等边三角形，点是射线BC上的一个动点（点不与点3、C重合）,等边三角形，过点E作8C的平行线，分别交射线AB. AC于点F、G,连接BE.（1）如图（小所示，当点D在线段3C上时.求证：/AEB /ADC :探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形并说明理由;(2) 如图(b)所示，当点D在B

18、C的延长线上时，直接写出(1)中的两个结论是否成立(3)在(2)的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形并说明理由.解答 (1)证明：ABC和都是等边三角形,D图(方)A AE = AD, AB = AC, ZEAD = ZBAC = 60. 1 分第25题图又: ZEAB = ZEAD_ZBAD, ADAC = ABAC_ZBAD, :.ZEAB = ADAC ,A /AEB ZADC 3分(法一：由得ZAEB AADC,ZABE = ZC = 60.又 VZBAC = ZC = 60,ZABE = ABAC ,:.EB/GC. 5分又: EG/ BC、四边形BCGE是平行四边

19、形.6分法二：证出 AAEGAADB 9得 EG = AB = BC 5 分由得 ZAEB AADC.得 BE = CG.四边形BCGE是平行四边形.6分(2)都成立.8分(3) 当 =( BD = 2CD或 CDBD 或 ZC4D = 30 或 Z3A = 90 或 ZADC = 3(T )时，四边形 BCGE是菱形.理由：法一：由得D12分第25题图2:.BE = CD又: CD = CB,BE = CB 由得四边形BCGE是平行四边形, 四边形BCGE是菱形. 法二：由得空ADC, :.BE = CD 又.四边形BCGE是菱形,:.BE = CB 11 分:.CD = CB 12 分法三

20、：.四边形BCGE是平行四边形，BE/CG, EG/BC,:ZFBE = ZBAC = 60, ZF = ZABC = 609 分:.ZF = ZFBE = g,:仏BEF是等边三角形. 10分又: AB = BC,四边形BCGE是菱形，AB = BE = BF,:.AE FG 11 分AEAG = 30 ,：ZEAD = 60 ,/. ZC4D = 30.10.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线yJ+2x与x轴相交于0、B,顶点为A,连接0A.2（1）求点A的坐标和ZA0B的度数；（2）若将拋物线y =2x+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线叫其顶点为点C.连接

21、0C和AC,2把AAOC沿0A翻折得到四边形ACOC,.试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C是否在抛物线y二丄x+2x上，请说明理由；2（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点0、P、C、Q为顶点的四边形是平行四 边形，且0C为该四边形的一条边若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2 1(1) 由 y =2x2+2x 得，y(x-2)-2,抛物线的顶点A的坐标为（-2, -2）, 令 2x +2x=0,解得 Xi=O, x.= - 4,.点B的坐标为（-4, 0）,过点A作AD丄x轴，垂足为D, /. ZAD0=90 , 点A的

22、坐标为（2, -2），点D的坐标为（2, 0）,A0D=AD=2,?. ZA0B=45 ；（2）四边形ACOC为菱形.1 由题意可知抛物线m的二次项系数为叵，且过顶点C的坐标是（2, -4）,丄丄抛物线的解析式为：y=2（x-2） *-4,即y= 2x- - 2x - 2,过点C作CE丄x轴，垂足为E；过点A作AF丄CE,垂足为F,与y轴交与点II,A0E=2, CE=4, AF=4, CF=CE-EF=2,.0C=a/0E2+EC2=V224-42=2V5,同理，AC=2a/5, 0C=AC,由反折不变性的性质可知，OC=AC=OCZ =ACZ , 故四边形ACOC为菱形.丄(3)如图1,点

23、C不在抛物线y=2x*+2x上. 理由如下：过点C作C G丄x轴，垂足为G,0C 和 0C关于 0A 对称,ZA0B=ZA0H=45 ,.-.ZC0H=ZC/ 0G,VCE/70H,.Z0CE=ZC/ 0G,又 V ZCE0=ZCf G0=90 , OC=OCZ ,又 V ZA0B-300 ,A ZE0A=90p ,ZAEO二 180 - ZEOA-ZEAO二 180 -90 - 30 =60 , ZAEO 二 ZC,BCAE,V ZBA0=ZC0A=90o ,ACOAB,四边形ABCE是平行四边形；(2)解：在 RtAABO 中，V Z0AB-900 , ZA0B=30 ,BO二2AB, 0A=qB2 _ Ab2_V3ab,设OG二x,由折叠可得：AG二GC二2AB-x,在 RtAOAG 中，0G2+0A2=AGx2+ (JAB) 2= (2AB-x) 解得：x-丄AB,4即 og-1ab.412 在菱形ABCD中，ZABC=60 , E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE,连接BE、 EF.（1）如图1,当E是线段AC的中点时，求证：BE二EF.（2）如图2,当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： 成立.（填“成立”或“不成立”）(3) 如图3,当点E是线段AC延长线上的