勾三股四弦五I

1、第七讲.勾三股四弦五I【教学目标】1. 复习直角三角形及勾股定理;2. 掌握勾股定理的直接应用；3. 掌握构造勾股定理法；4. 掌握勾股定理的综合应用。【知识、方法梳理】1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c有下面关系：a2，b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.2. 勾股数：满足a2 b2二c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a,b,c为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组.）* 附：常见勾股数：3,4,5 ； 6,8,10 ； 9,

2、12,15 ； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长 a,b,c满足a2 bc2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形.（2 ）有两个角互余的三角形是直角三角形用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c）；（2） 若ca2 b2，则 ABC是以.C为直角的三角形；若a2 b2 c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2 b2 c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2） 在直角三角形中，如果一个

3、锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系(3) 用于证明线段平方关系的问题 .(4) 利用勾股定理，作出长为xn的线段【典例精讲】类型一：勾股定理的直接用法例 1 在 Rt ABC 中，.C =90(1)已知 a =6, c =10，求 b , (2)已知 a=40, b=9，求 c; (3)已知 c = 25, b =15，求 a.【思路点拨】：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的

4、变形使用 【解析】：(1) 在-ABC 中，/ C = 90,a=6 ,c=10 , b = -. c2a2=8(2) 在：ABC 中，.C =90：,a =40,b=9, c=a2 b2=41(3) 在：ABC 中，.C =90：,c=25,b=15, a*c2 -b2 =20类型二：勾股定理的构造应用例 2如图，已知：在 ABC 中，.B=60：, AC =70, AB = 30。求：BC 的长。【思路点拨】：由条件 B=60；，想到构造含30角的直角三角形，为此作 AD_ BC于t1D，则有.BAD =30、, BDAB =15，再由勾股定理计算出 AD、DC的长，进而求出2BC的长。【

5、解析】：作AD _ BC于D，则因.B =60 , BAD =90：-60 =30： ( Rt ：的两个锐角互余)1 c- BD AB =15 (在Rt中，如果一个锐角等于 30 , 2那么它所对的直角边等于斜边的一半) 根据勾股定理，在 RV ABD中，AD . AB2 -BD2 二.302 -152 = 15 3.根据勾股定理，在 Rt ACD中，CD AC2 -AD2 = ,702 -152 3 =65. BC = BD DC =65 15 =80 .类型三：勾股定理的实际应用:(一)用勾股定理求两点之间的距离问题例3如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了

6、 500、.3m到达B点，然后再沿北偏西 30：方向走了 500m到达目的地C点（1）求A、C两点之间的距离.（2）确定目的地C在营地A的什么方向.【解析】：（1）过B点作BE/ AD . DAB = . ABE 二 60：/ 30：. CBA . ABE =180； . CAB =90%即. ABC为直角三角形由已知可得：BC = 500m , AB = 500”./3m由勾股定理可得： ACBC2 AB2所以 AC 二 BC2 AB2 二 5002 500.3 =1000 m（2） 在 Rt ABC 中，/ BC =500m , AC = 1000m . CAB =30： . DAB =

7、60： . DAC =30：即点C在点A的北偏东30的方向（二）用勾股定理求最短问题：例4国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改 造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村 庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架 设方案最省电线.【思路点拨】：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路 长，然后进行比较，得出结论.【解析】：设正方形的边长为 1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB BC CD =3,AB BC CD =3图（3）中，在Rt AB

8、C中AC = AB2 BC2 =运同理BD = 2图（3）中的路线长为 22 : 2.828图（4）中，延长EF交BC于H，则FHBC , BH二CH由.FBH =30：,BH =丄 及勾股定理得：2EA =ED =FB=FC =,FH312 / 9.3此图中总线路的长为 4EA EF3 ： 2.732?3 2.828 2.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。类型四：利用勾股定理作长为.n的线段:例5 作长为,2、.3、5的线段.、2，直角边【思路点拨】：由勾股定理得，直角边为 1的等腰直角三角形，斜边长就等于 为2和1的直角三角形斜边长就是3, 类似地可作 5.（1）

9、作直角边为1 （单位长）的等腰直角 =ABC，使AB为斜边；（2） 以AB为一条直角边，作另一直角边为 1的直角.B1BA.斜边为B1A ；（3） 顺次这样做下去，最后做到直角三角形AB2B3，这样斜边AB、AB1、AB2、AB3的 长度就是,2、,3、,4、,5.类型五：逆命题与勾股定理逆定理：例6.写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 原命题：猫有四只脚（正确）2 原命题：对顶角相等（正确）3 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）【思路点拨】：掌握原命题与逆命题的关系.【解析】：1.逆命题：有四只脚的是猫

10、（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）【总结升华】：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。例7.如果二ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2 b2 c250 = 6a 8b 10c ,判断 ABC的形状.【思路点拨】：要判断:ABC的形状，需要找到 a、b、c的关系，而题目中只有条件a2 b2 c250 6a 8b 10c，故只有从该条件入手，解决问题【解析】：由a2 b2 c2 5 6a 8b 10c，得：2 2 2a -6a 9 b -8b

11、16 c -10c 25 =0,2 2 2a -3b -4c-50.2 2 2a -3-0, b-4_0, c-5_0.a =3,b =4,c=5. 3242 =52, a2 b2 =c2.由勾股定理的逆定理，得 . ABC是直角三角形.【总结升华】：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。【双基训练】1.如图，.B=/ACD=90：, AD =13,CD =12, BC =3,则 AB 的长是多少？A2.如图，已知：C =90； , AM =CM , MP _ AB于 P .求证：BP2 二 AP2 BC2。3.已知：如图， B=90；, A =60； ,

12、AB =4,CD =2 .求：四边形 ABCD 的面积.AC4.四边形 ABCD 中，.B =90 , AB =3, BC =4, CD =12 , AD =13，求四边形 ABCD的面积。CAD2 2 2 25.已知:ABC的三边分别为 m -n ,2mn,m n（ m,n为正整数，且m n）,判断匚ABC是 否为直角三角形.1F为AB上一点，且BF AB。请问FE与DE是46.如图正方形ABCD， E为BC中点, 否垂直？请说明。AB【纵向应用】7辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ？FTr-i匚2垛一8. 在数轴上表

13、示 10的点。【横向拓展】9. 如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高AB为4cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.练习题目答案【双基训练】1.【答案】 . ACD =90： AD =13,CD =12,2 2 2AC 二AD -CD2 2=13 -1=25二 AC =5又 . ACB =90*且 BC =3由勾股定理可得AB2 =AC2 -BC2=52 -32-16- AB = 4 AB的长是4.2.【解析】：连结BM，根据勾股定理，在 Rt BMP中, BP=BM -PM2.而在Rt AMP中，则根据勾股定理有MP2=AM -

14、AM 24.S四边形 ABCD = S ABE sc DE【答案】：连结ACab becd de =6、3.22步根据本题给定的边C BP2 二 BM 2 - AM 2 - AP2 二 BM 2 - AM 2 AP2又 AM =CM （已知），2 2 2 2 BP =BM -CM AP .在Rt BCM中，根据勾股定理有2 2 2BM -CM =BC ,2 2 2 BP =BC +AP .3.【分析】：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E ,根据本题给定的角应选后两种，进 选第三种较为简单.【解析】：延长AD、BC交于E. A =60

15、： , B =90； E =30 AE =2AB =8,CE =2CD =4,BE2 = AE2 - AB2 =82 -42 =48, BE.78 =4 3.:DE2 =CE2 - CD2 =42 -22 =12, DE =五=2、G . B =90； , AB =3, BC =4二 AC?二 AB2 BC2 =25 （勾股定理） AC =52 2 2 AC2 CD2 =169, AD2 =1692 2 2 AC CD =AD . ACD =90：（勾股定理逆定理）S四边形 ABCD 二 S.abC S.acD11AB BC AC CD =36225.【分析】：本题是利用勾股定理的的逆定理，只

16、要证明：a2 b2=c2即可【证明】：2 2 2 2m -n i 亠 i2mn42 242 2=m -2m n n 4m n二 m4 2m2n2 n4=m2n2连接于厂门正中间所以- ABC是直角三角形。6.答案】答：DE _ EF 证明：设 BF =a，贝U BE=EC=2a, AF =3a，AB=4a, EF2 =BF2 BE2 =a2 4a2 =5a2 ； DE2 =CE2 CD2 =4a2 16a2 =20a2 .DF （如图）DF2 AF2 AD2 = 9a2 16a2 = 25a2.DF2 二 EF2 DE2,DE _ EF.& 疔7.【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位 时其高度是否小于 CH 如图所示，点 D在离厂门中线0.8米处，且 CD _ AB ,与地面交于H .【解析】：OC = 1米（大门宽度一半），OD = 0.8米（卡车宽度一半） 在Rt OCD中，由勾股定理得：CD = OC2 ODh12 -0.82 =0.6米， CH =0.6 2.3 =2.9 （米）2.5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门。8.【解析】：可以把,10看