哥德巴赫猜想和陈景润

1、哥德巴赫猜想和陈景润 在研究任何数表示成几个质数的和的问题上， 两百多年前， 彼得堡科学院院 士哥德巴赫曾研究过这个问题， 他取了很多数做试验， 想把它们分解成几个素数 的和，结果得到一个断语： “总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和 ”但是哥德巴赫不能证明 这个问题， 甚至连如何证明的方法也没有， 于是他写信给另一名彼得堡科学院院 士、著名数学家欧拉，他在 1742年 6月 7日的信中写道： 我想冒险发表下列假定 “大于 5 的任何数都是三个素数的和 ”这就是以后 举世闻名的哥德巴赫猜想 同年 6 月 30 日，欧拉给哥德巴赫的回信中说， “我认为每一个偶数都是两个素数之和虽然我还不能证

2、明它，但我确信 这个论断是完全正确的” 这样两个数学家的通信内容传播出来之后， 人们就称这个猜想为哥德巴赫猜 想或者哥德巴赫欧拉猜想 完整些说，哥德巴赫猜想是， “大于 1 的任何数都是三个素数的和” 后来，人们把它归纳为： 命题A :每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和； 命题B:每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和. 例如: 50=19+31； 51=7+13+31； 52=23+29； 53=3+19+31 或 50=3+47=7+43=13+37=19+31 等 哥德巴赫猜想是极难证明的， 1900年，著名数学家希尔伯特在巴黎国际数 学家会议上提出了

3、世界数学要研究的 23个题目 （名为希尔伯特问题 ），其中哥德 巴赫猜想命题 A 与另外两个有关问题一起，被概括成希尔伯特第 8 问题这是 著名的世界难题 1912 年，第五届国际数学家会议上，著名数论大师兰道发言说，有四个数 论上的问题是当时的科学水平不能解决的，其中一个是哥德巴赫猜想，即使把它 改为较弱的命题：不论是不超过 3个，还是不超过30个，只要证明存在着这样 的正数C,而能使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过C个素数之 和”（称为命题C），也是当代数学家力所不能及的. 1921年，著名数论大师哈代，在哥本哈根召开的国际数学会上说，哥德巴 赫猜想的困难程度，可以与任何没有解

4、决的数学问题相比，是极其困难的，但是 他没有说是不可能的. 事情出乎意料，哥德巴赫猜想问题的解决出现了一些转机， 坚不可摧的哥德 巴赫堡垒正在逐个被攻破. 1930年，25岁的苏联数学家列夫格里高维奇西涅日尔曼 （19051938）, 用他创造的“正密率法”证明了兰道认为当代数学家力所不能及的命题C,还估 算出这个数C不会超过S,并算出S 800000人们称S为西涅日尔曼常数.这 是哥德巴赫猜想的第一个重大突破，可惜这位天才数学家只活了三十三岁. 西涅日尔臭 1930年以后，数学家兰道、罗曼诺夫、赫力邦、李奇等对西涅日尔曼方法 作了最准确的分析，竞相缩小 S的估值，至V 1937年，得到S 6

5、7,又是一大进 步. 重要的是不论一个数是多么大，都可将它分解成索数的和的问题已被证明 了，如对于数 835042000000000000000000000 或者对于我们已知的999（这个数之大可以写出来编成 30大卷的书），即使这 样，我们同样可以断定，它们可以表示成不超过67个素数的和.甚至休克斯提 出的“空前的数” 34 10 10 10 这种比999大得多的数，也能根据西涅日尔曼的证明，表示成不超过67个素 数的和的形状. 1937年，苏联科学院院士伊凡马特维奇维诺格拉多夫，应用英国数学 家哈代与李脱伍特创造的“圆法”和他创造的“三角和法”证明了： 维诺格拉多夫 对于充分大的奇数，西涅

6、日尔曼常数不超过 3.或者说成：对于充分大的奇 数，都可表示为三个奇数之和. 维诺格拉多夫基本上解决了命题 B、通常称为“三素数定理”.他的工作， 相当于证明了西涅日尔曼常数 SW 4. 命题B基本上被解决了，然而到命题 A的证明竟是如此困难，有人从6- -3300000中的任何偶数，发现都能表示成两个奇素数之和，但这仅是验证即使 到三千三百亿也还是有限个数，用它来作为证明还是不行的，人们追求的仍然是 从数学上证明，每个大于或等于6的偶数都可表示为两个奇素数之和，再多的有 限数，即使再大到无法想象的数也无用，除非找到反例否定哥德巴赫猜想. 人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念.

7、所谓“殆素 数”就是素数因子（包括相同的和不同的）的个数不超过某一固定常数的自然数. 我们知道除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中 每一个素数，都叫做这个正整数的素因子.相同的素因子要重复计算，它有多少 素因子是一个确定的数. 例如从2530这六个数中 25=5 X 5有2个素因子， 26=2 X 13 有2个素因子， 27=3X 3X 3 有3个素因子， 23=2X 2X 7 有3个素因子， 29是素数 有 1个素因子， 30=2X 3X 5 有 3 个素因子 于是可说 25、26、29是素因子不超过 2的殆素数， 27、28、30是素因子不 超过 3 的殆素数 用殆素

8、数的新概念，可以提出命题 D 来接近命题 A 命题D:每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过 m与n的两个殆 素数之和这个命题简化为“ m+n” 这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向目标就更明朗化了， 就是如果能证明， 凡是比某一个正整数大的任何偶教， 都能表示成一个素数加上两个素数相乘， 或 者表示成一个素数加上一个索数，就算证明了“ 1+2”当然如果能证明“ 1+1” 就基本上证明了命题 A ，也就是基本上解决了哥德巴赫猜想了， 这是一个世界性 的数学会战的大难题 向“1+1”进军开始了 纪录不断被刷新，且看: 1920 年 挪威数学家布朗证明了“ 9+9” 1924 年 德国数学家拉代

9、马哈证明了“ 7+7” 1932年 英国数学家埃斯特曼证明了“ 6+6” 1938 年 苏联数学家布赫雪托布证明了“ 5+5” 1940 年 苏联数学家布赫雪托布证明了“ 4+4” 1938 年 中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素 数之 和，即几乎所有偶数“ 1+1”成立 1956 年 中国数学家王元证明了“ 3+4” 1956 年 苏联数学家维诺格拉多夫证明了“ 3+3” 1957年 中国数学家王元又证明了“ 2+3” 1962年 中国年轻数学家潘承桐证明了“ 1+5”，这是证明了相加的两个数 中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5 1962年 苏联数学

10、家巴尔巴恩也证明了” 1+5” 1963年 中国数学家王元、潘承桐、及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了 “1+4”. 1965年 维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“ 1+3”. 1965年 意大利数学家朋比尼也证明了“ 1+3”. 1966年 中国数学家陈景润宣布证明了“ 1+2”. 这是哥德巴赫猜想的攻坚战中，在经历了 240年的漫长的历程中所取得的全 世界公认的最好的研究成果，可是由于没有发表详细的证明，因此在国际上反响 不大. 1973年 陈景润在极其困难的条件下，继续奋战，发表了他的著名论文：大 偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和，发表了全部详细的论 证.这一成就立即轰动了全世界，在数学界引起了强烈的反响.人们都称道中国 年轻数学家陈景润的巨大贡献.英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特合著的 数论著作筛法已在印刷厂排印，当见到陈景润的论文后，立即增补了专章， 并冠以“陈氏定理”，基本上全文转载了陈景润的论文.这使我国在哥德巴赫猜 想研究上居于世界领先的地位. 陈悬润 当然，从陈景润的“1+2”到“ 1+1 ”似乎只差最后的一步就可以摘取数学