直线倾斜角与斜率[稻谷书屋]

1、直线倾斜角与斜率通化市第一中学 史俊友一、教材分析：本课是人教版数学必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。二、学情分析：两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画

2、这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念。三、三维目标知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式。过程与方法：1.在平面直角坐标系中，观察具体图形并结合动画演示，在探索描述直线的倾斜程度的几何要素中，抽象出直线倾斜角的概念，明确倾斜角的取值范围。2.借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出描述直线倾斜程度的直线斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，明确倾斜角和斜率之间的关系。情感态度价值观：通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生了解解析几何的“坐标法”思

3、想和基本研究方法，进一步体会“数形结合”的思想方法。四、重难点教学重点：抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。教学难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解。五教学过程（一）导入在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。我们先研究坐标平面内最简单的图形直线。为此，我们先探索确定直线位置

4、的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。（二）探究新知1倾斜角概念问题1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？ 问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？问题4：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？2斜率概念引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如

5、何用代数的语言描述上述几何要素呢？问题6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？问题7：（1）观察图5，6，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？（2）观察图7，坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？3

6、斜率公式问题10：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？问题11：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?（三）应用举例例1.如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。变式1.直线的斜率为k，倾斜角为，若，则k的范围是（ ）A.（-1，1）B.（-，-1）（1，+）C.-1，1D. （-，-11，+）变式2.设直线的斜率为k，倾斜角为，若-1k1，则的取值范围是 （ ）A（-,） B. C.（0，）（，）D. 例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。 （四）课堂小结（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？六、目标检测设计1已知直线的倾斜角为，若