维数基与坐标

1、第六章线性空间本次课的内容： 3维数基与坐标 4基变换与坐标变换目的要求：掌握线性空间维数、基与坐标的概念复习：掌握过渡矩阵的概念及坐标变换公式.线性空间定义:（1）设V是非空集合，P是一个数域加法（2） V的元素之间定义两种运算丿莎壬数乘例如：V对于加法与数乘封闭，则称V为P上线性空间.pfxpn,pnn，注： 3维数基与坐标第三章 n维向量空间的一切定义与性质可以搬到任意线性空间中定义2（线性组合线性表出）（1） V是数域P中的一个线性空间， k!,k2,kP,： 1,： 2,，: r V,（一1）,（3） :- =kk2： 2kr ： r向量组1,2,-,亠是一个线性组合。称向量:可以用

2、向量12,，r线性表出。定义3（等价）设1,2,，r ；（ 1）-1, 2/ , s（ 2）是V中的两个向量组。如果（1）中的每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向 量组（1）可以用向量组（2）线性表出。如果（1）与（2）可以互相线性表，那么向量组（1）与（2 ）称为等价的。定义4 线形看见V中向量 r,2,，：（-1）成为线形相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k1,k2, ,kr，使心 k2： 2 亠 亠 kr ： r =0。（3）如果向量12,，r不线形相关，就称为 线形无关。换句话说，向量组1,2，r称为线形无关，如果等式（3）只有在 匕=k2二二kr - 0时才成立。性质：

3、1 .单个向量组 线性相关的充分必要条件是 =0.两个以上的向量 1 2 a r线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余的线性组合.2如果向量组1,：2,，亠线性无关，而且可以被 -1, -2/- , -s线性表出，那么 r s.由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同的个数的向量.3 .如果向量组1l,-,：线性无关，但向量组1,2,，:r，-:线性相关,那么-可以被：r,2,，r向性表出，而且表法是唯一的.我们知道，对于几何空间中的向量， 线性无关的向量最多是3个，而任意4个向量都是线性相关的.对于 n个元数组所组成的向量空间，有n个线性无关的向量.而任意 n+1个向量都是线

4、性相关的. 在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性武官的向量，显然是线性空间的一个重要属性.我们引入定义5(1) 如果在线性空间V中有 n个线性无关的向量，(2) 没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V称为无限维的.问题1: Pxlpn,Pnn，- 它们维数各是多少？问题2：n维向量的维数与线性空间的维数区别是什么？无限维空间是一个专门研究的对象，它与有限维空间有比较大的差别.在本课程中，我们主要讨论有限维空间.在解析几何中我们看到， 为了研究向量的性质， 引入坐标是一个重要的步骤.对于有限维空间，坐标同样是一个有力的工具.例 几何空

5、间中引入了坐标，任意向量可以由极大无关组线性表示3v2=10+ 21+ 302=X11+ X21+ X3013丿11定义6 (1) 在n维线性空间V中，n个线性无关的向量 jj,，；n称为V的一组基.(2)设是V中任一向量，于是；i,辽,，；线性相关，因此可以被基% ；2，线性表出：=6 a2；2 an ；n，其中系数a!,a2/ ,an是被向量和基；i,，；n唯一确定的，这组数就称为 在基；!, ；2，,；n 下的坐标，记为(ai,a2, ,an).问题：(1)基与维数的关系是什么？(2)不知道维数如何确定基的个数？由以上定义看来， 在给出的空间V中的一组基之前，必须先确定V的维数. 实际上

6、这两个问题是同时解决的.定理1(1) V为线性空间(2 ) 1,2,，n为线性无关的向量(3)V中任一向量都可以用它们线性表出则V是n维的，而 ,2,，n就是V的一个基证明既然宀，：,，n是线性无关的，那么V的维数至少是 n.为了证明V是n维的,只须证V中n+1个向量必定线性相关.设1, -2 , nd是V中的任意n+1个向量，它们可以用1,2,，:线性表出.假如它们线性无关.就有nW n +1,于是得出矛盾. 下面我们来看几个例子.例1在线性空间pxn中,2nV1,x,x ,x是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出， 所以P Xln是n维的，而1,

7、x,xnJ就是它的一组基.n _1在这组基下，多项式f (x) = a。anx的坐标就是它的系数(ao,a1,如果在V中取另外一组基；1 曰，；2 H(X-a), ；n H(X-a)n.那么按泰勒展开公式f (x) - f (a) f (a)(x - a)f z(a)(n-1)!(x-nVa)因此,f(x)在基；1, ；2,，；n下的坐标是f(a), f(a),(n 4)(a)(n -1)!例2 在n维空间pn中，显然引=（1,0，,0）, s =（o,1，,0）, I；n = （0,0,1）是一组基对每一个向量:-=（印82,an），都有:-=ai “ a2 ；2 亠亠 an ；n.所以（ai,a2,an）就是向量:-在这组基下的坐标.不难证明，H =（1,1，,1）, 严2 =（0,1，,1）, I ；n =（0,0,1）是Pn中n个线性无关的向量在基, S,，呂n下，对于向量a =（ a1,a2/t ,an）,有:二 a1；1（a2-aJ；2（-务_1）；因此，在基；，；2,；n下