中考数学复习知识点专题讲解-求线段长度问题的一般方法

1、中考数学复习知识点专题讲解求线段长度问题的一般方法求线段长度问题是初中儿何中常见的题型之一，笔者就此类问题作了一些思考与归 纳，供大家参考.一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解例 1：如图 1,在 RtABC , ZACB = 90% CQ 丄 43 于 D, AC = 6, BC = 8,求 CD 的长.图1ft解析:由勾股定理,得AB = 10再由三角形的面积公式,得= ix6x8 = lxl0xCD于是得C)= 4.8.例2：如图2,在遊中，K30。，论吕，心顶,求仙的长.解析：作CD丄43于点D,这样就构造了两个用在 Rt BCD 中，CD 1tan B = 一，DB = 3CD

2、DB 3由勾股定理，得C)= l, BD = 3.在 RtACD 11:,AD = 5/3 9 从而 AB = 5/3 + 3 例3：如图3,在平面直角坐标系中，04与y轴相切于原点0,平行于x轴的直线 交GA于两点M, /V 若点M的坐标是(-4,-2),求点N的坐标.解析：如图3,作4丄耐于点E,连AM, AN ,则构造了两个直角三角形RfHAME , RtANE.不妨设AO = AM=R,易得R2=22+(4-R)2.R = 2.5, EN = Em = 42.5 = L5, :. NF = 2.5-i.5 = 从而点N的坐标为(-1,-2).例4：如图4,点E、O、C在半径为5的。A上

3、，BE是A上的一条弦，4cosZOBE = - , ZOEE = 30。,求 3C 的长解析：连EC,由条件，有四个直角三角形，分别是AOEC , OFF, bEBC, FBC.? ZCOE = 90 , EC为O A 的直径，A ZCBE = 90,4乂 ZOCE =乙OBE,r. cosZOCE = cosZOBE = T,在 RtLOEC 中，易知 OC = 8, O = 6,在 RtOEF 中，ZOEB = 30, OE = 6,得OF = 2y/3.:. FC = OC-OF = $-2书,又 ZOEB = ZOCB = 30,故在R仏FBC中，由边角关系，得BC = 4忑-3.说明

4、：上述儿例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知 识加以求解.值得注意的是，构造的直角三角形要与题LI中的已知条件相互关联，才能使 问题化繁为简，迅速求解.二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解例 5：如图 5,梯形 ABCD中，ABHCD, S.AB = 2CD, E、F 分别是的 AB , BC 的中点，EF与相交于点M.(1)求证：bEDM bFBM ; (2)若 BD = 9,求 3M 的长.解析：(1)由题意，易得四边形BCDE是平行四边形于是，有BC/DE ,FB 由FBM ,得 = DM DE1 1BM 1BF = BC = DE, = , . BM =

5、3 图52 29 BM 23 / 7例6：如图6,矩形ABCD中，AD = 5, 48 = 7 ,点E为DC上一个动点，把!)* 沿AE折叠，当点D的对应点D落在ZABC的平分线上，时，求DE的长.解析：过点D作DM丄初于点M,并反向延长交DC于N 山题意,9 / 7得ZM3D = 45,设DM=BM=x, /.AM=7-x在RtbADM 中有疋+(7一切2=25,解得= 3, x2=4.DN = 5-x = 2,或1ED 2 ED 1易知 ED N9 AM ,=-,或=一5453ED = ED =】,或】.23例7：如图7,在RfABC中，ZACB =90, BE平分ZABC交AC于点E,点

6、、D在AB _h, DE 丄 BE 于点 E, AD = 69 AE = 6迈(1) 判断直线AC与的外接圆的位置关系，并说明理山；(2) 求BC的长.解析：(l)lll ZEB = 90,DB为ADBE外接圆的直径.设ADBE外接圆的圆心为O,连OE,易知OE = -BD2OE = OBZ1 = Z2.又 Z1 = Z3,. Z2 = Z3,/.OE / BC.BC 丄 AC,.OE 丄 AC,故直线AC与ADEE的外接圆相切.(2)易知 Z4 + Z5 = Z3 + Z5 = 90。, Z4 = Z3,XE1Z1 = Z3,.Z4 = Z1.ZA = ZA,. AAED SABE,AE =

7、 AD AB .由 AD = 6,AE = 6JJ,得 AB = 12,进而得 BD = 6,0E = 3.由.OEBC,有 MEO AACB,EO AO3 9A=,= 9 BC = 4.BC AB BC 12说明：上述儿例是将该线段作为某三角形的一边，然后想方设法找一个三角形使之与该线段所在的三角形相似，借用“相似三角形对应边成比例”得到简易方程，进而求解.三、利用条件，构造方程(组)求线段长例& (1)如图&周长为68的矩形43CD被分成7个全等的矩形，求矩形ABCD的面AD图8解析：设矩形的宽与长分别为忑y则有仁解之得故S坯形ag=7q = 280例9：如图是AABC的内切圆，与三边AB

8、.BC.CA分别相切于点DF ,若A3 = 5,3C = 6,4C = 7,求 AD,BE,CF 的长.解析：山切线长定理衫可设AD = AF = X. BD = BE = y , CE = CF = z x+y = 5山题意得y + z = 6,解之得 y = 2.故 AD = 3,BE = 2,CF = 4例10：如图10,李明同学在东西走向的滨海大道A处，测得江中灯塔P在,北偏东60。方向上;他向东走了 400米至B处，测的灯塔P在北偏东30。方向上.求灯塔P到滨海 路距离.图10解析：作PQ丄48于点D设 ZPAD = a、ZPBD =仅 PD = & BD = % AD =乙 AB = a.在 RtAPAD 与 R3BD 中，有2 =于是 z-y =-tan a tan 0这里a = 30。,0 = 60,a = 400,代入得x = 200/3r.例 11：如图 11,在 RtAAO 中，ZAOB = 90,OB = OA = 4,C 是 Q4 上一点，且AC = 1,点P在BC上，OP与AO.AB都相切.求0P的半径.解析：设OP的半径为r, 0P分别与AO.AB相切于M,N,连结PM,PN.由条件易知 PN = PM=CM=r, BC = 3y/、PC = d、AN = AM=r + l,BN = 5-(r + l) =