数值分析：9.3Runge-Kutta方法

1、 9.3 Runge-Kutta法法 第九章第九章 常微分方程数值解常微分方程数值解 8.3 Runge-Kutta法法 1 (,) kkkk yyhf xy 111 (,)(,) 2 kkkkkk h yyf xyf xy 考虑改进Euler法 如果将其改成 00 ()yy x 1 (,) kk Kf xy 211 (,) kk Kf xyhK 112 () 2 kk h yyKK -(1) 改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成 梯形公式具有2阶精度 形如(1)式的求解公式称为二阶二阶Runge-Kutta法法 同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度 0 11 ( (

2、, ), ) kkkk yy y f xx ay xy b hyx a 对于微分方程初值问题 如已知需要求， 1 1 01() ( , ,) kk k k kkk h h x f xhh yy y yy xhy 则由微分中值定理 可得 1 ),(, (,),) kkkk kkkkk fxxxhhx fx y xx y yyyy 其中为在区间上的平均斜率。 为在点上的斜率( ) 基本思路基本思路 0 1 1 2 (,) (,)(,) ( ) , () kkkk kkk k k k k yy yyyh a f x xf x x yy x hO y 在中 仅用一个点处的斜率 来近似代替区间上的平均斜

3、率， 局部 欧拉公式 截断误差为。 1 1211 121 1 (,) (,) (,)(,) 1 1 () () 2 2 pkk k ckpk kk kp k k c k k f x Kf h x f yyy y yyyy yy y xKf xK KK hh h yy 在 改进的欧拉公式 中 11 111 3 1 (,)(,) (,) (,) ,() kkk k k k k kk k k k h h xf x xK f xK xx yyy y O y h y 则是用点处的斜率和由此点 处信息预估的点处的斜率 的算术平均值来近似代替 区间上的平均斜率，局部截断误差为。 所以如果在区间上多预估几个点

4、的斜率值， 再将它们的线性组合作为平均斜率的近似值， 则就有可能构造出精度更高的计算格式。 推广 1 (, ) kkkk yyhxy h ( , )f x y其中 是用在一些点上值的线性组合来构成 这种单步法称为Runge-Kutta方法,简记为简记为R-K公式公式. ,Runge-Kutta.RRf若 是由 个 值线性组合构成 则称线性方法级 三阶三阶Runge-KuttaRunge-Kutta 1 4 , () kk h xx O 若在区间上再增加一个新点， 即用三个点上的斜率进行加权平均作为平均斜率， 则可望得到截断误差为的计算公式， 1 123 123 1 21 32 1213231

5、, , (,) (,) (,) () 1,1 kkkkk k k k k kk k k xphqhxxxx KKK Kf x Kf xK Kf x phph qhqh h pq y y yK KyyKK 预估预估 其中为区间上的三个点； ；00； 是三个斜率的线性组合系数。 即 三阶龙格三阶龙格- -库塔公式库塔公式 4 1 1 2 -() pq hO 如果取中点和终点的斜率， 则可得到三阶龙一种截断误差为格的库塔公式 1 21 32 3 231 12 1 (,) (,) 22 (,) (4) 6 141 , 666 k k k k k k k k y y y y Kf x Kf xK Kf

6、xK KK hh hh h Ky 即 三阶龙格三阶龙格- -库塔公式库塔公式 1 21 32 13 1 1 23 (,) (,) 33 22 (,) 33 (3) 4 13 ,0, 44 k k k kk k k k Kf x Kf xK Kf xK hh h y h h K y yyK y 即 4 12 33 ()- pq hO 如果取任意两点，如和终点的斜率， 则可得到另一种截断误差为的三阶龙格 库塔公式 四阶龙格四阶龙格- -库塔公式库塔公式 1 5 1 ,1 2 () - kk pq h xx O : 若在区间上仍取三个点 （，），但在中点处又校正， 则可望得到截断误差为 四阶古典形式

7、的龙格 库 的计 塔公式 算公式， 1 21 32 4 12341 3 / (,) (,) 22 (,) 22 (,) (22) 6 k k k k k k k k k k hh hh Kf x Kf xK Kf xK Kf x y y y y yy K KKKK hh h 多校即(RK4)正一次 构造一般的R级Runge-Kutta方法 1 22211 11 1 ,11 1122 (,) (,) () (,) () k k k kkR k k RkRRR RR R Kf x Kf xpqK RK Kf xpqKqK y h KKK y y yy h hhh h ,Taylor iiis p

8、q其中等均为待定的参数, 根据展开 并由期望的阶数确定, 且一般不唯一. Runge-kutta方法的阶与级的关系方法的阶与级的关系 在Runge-kutta计算格式(RK)中.计算函数值 f 的次数 R 称为级级, 级数与阶数是不同的, 可以证明R级Runge-kutta公式 的 最高阶数是 R . 通常所说的 R 级 m 阶Runge-kutta公式 指要计算 R个f(x,y)的函数值, 且对应的计算公式是 m 阶的. Butcher得出如下Runge-kutta方法的级数级数R与阶数阶数m的对应关系: 因此, 通常使用4级4阶Runge-kutta公式(RK4). ()fR每步计算 的个数级数 2 3 4 5 6 7 R8 2 3 4 4 5 6 R-2 可达到的最高精度阶数 应当注意，高阶应当注意，高阶R-K公式的推导是基于初公式的推导是基于初 值问题的解值问题的解y(x)的的