材料力学公式汇总完全版

1、1截面几何参数 序号 公式名称 公式 符号说明 (1.1) 截面形心位置 0AfAydA 乙=，% = AA z为水平方向 丫为竖直方向 (1.2) 截面形心位置 送乙A 7 送yiA 工A yc - 工A (1.3) 面积矩 Sz = J ydA， Sy = J zdA AA (1.4) 面积矩 Sz =瓦 A%， Sy =瓦 Az (1.5) 截面形心位置 SySz zc 八，yc -A AA (1.6) 面积矩 Sy = Azc，Sz = Ayc (1.7) 轴惯性矩 lz = Jy2dA， A I y = fz2dA A (1.8) 极惯必矩 1 P= JP2dA A (1.9) 极惯

2、必矩 lp=lz+ly (1.10) 惯性积 1 zy = J zydA A (1.11) 轴惯性矩 Iz=i；A, Iyy2A (1.12) 惯性半径 （回转半径） 面积矩 轴惯性矩 Sz = W Szi， Sy = WSyi (1.13) 极惯性矩 1 z = 1 zi， 丨 y = l yi 惯性积 II p， 1 zy =l zyi I z = I zc * a2A (1.14) 平行移轴公式 2 ly = lyc +b A 丨 zy =丨 zcyc * abA 2应力与应变 序号 公式名称 公式 符号说明 (2.1) 轴心拉压杆横 截面上的应力 N = A (2.2) 危险截面上危

3、险点上的应力 N 。maxa (2.3a) 轴心拉压杆的 纵向线应变 = l (2.3b) 轴心拉压杆的 纵向绝对应变 Al =丨h = E (2.4a) (2.4b) 胡克定律 = Ez a z = E (2.5) 胡克定律 N.l Al = EA (2.6) 胡克定律 织知h EA (2.7) 横向线应变 也 b D b bb (2.8) 泊松比（横向 变形系数） v丄 z 1 & = (2.9) 剪力双生互等 定理 (2.10) 剪切虎克定理 I = gy (2.11) 实心圆截面扭 转轴横截面上 的应力 TP XP= I 1 P (2.12) 实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力

4、TR 可 max Ip (2.13) 抗扭截面模量 （扭转抵抗矩） I p WT = R (2.14) 实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力 丄 max Wt (2.15) 圆截面扭转轴的 变形 T GI p (2.16) 圆截面扭转轴的 变形 申一送i 乞Til GIp (2.17) 单位长度的扭转 角 申T 日=，日= 1GI p (2.18) 矩形截面扭转轴 长边中点上的剪 应力 TT 贰 一 Wt r b3 Wt是矩形截 面 Wt的扭转抵 抗矩 (2.19) 矩形截面扭转轴 短边中点上的剪 应力 石1 =旳max (2.20) 矩形截面扭转轴 单位长度的扭转 角 T T GItGb

5、4 I T是矩形截 面的 It相当极惯 性矩 (2.21) 矩形截面扭转轴 全轴的扭转 角 Gb 与截 面咼宽 比h/b有关 的参数 (2.22) 平面弯曲梁上任 一点上的线应变 P (2.23) 平面弯曲梁上任 一点上的线应力 旦 P (2.24) 平面弯曲梁的曲 率 1M 厂EIz (2.25) 纯弯曲梁横截面 上任一点的正应 力 一血 Iz (2.26) 离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力 M . V max max Iz (2.27) 抗弯截面模量 （截面对弯曲 的抵抗矩） I Wz - y max (2.28) 离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力 M max =7

6、77 Wz (2.29) 横力弯曲梁横截 面上的剪应力 * VSz T = Izb s；被切割面 积对中性轴 的 面积矩。 (2.30) 中性轴各点的剪 应力 * VSz max v max. Izb (2.31) 矩形截面中性 轴各点的剪应力 3V ” max -. 2bh (2.32) 工字形和T形截 面的面积矩 * * * Sz = 2 A yci (2.33) 平面弯曲梁的挠 曲线近似微分方 程 Elvz = -M (x) V向下为正 X向右为正 (2.34) 平面弯曲梁的挠曲 线上任一截面 的转角方程 Elzv =EI = -(M(x)dx + C (2.35) 平面弯曲梁的挠曲 线

7、上任一点挠度方 程 Elzv = - JJM (x)dxdx+ Cx + D (2.36) 双向弯曲梁的合成 弯矩 m = J m 2 + m y (2.37a) 拉（压）弯组合矩形 截面的中性轴在Z轴 上的截距 2 iy az Zo - Zp zp, yp是集中 力作用点的 标 (2.37b) 拉（压）弯组合矩形 截面的中性轴在Y 轴上的截距 2 i z ay = yo = yp 3应力状态分析 序号 公式名称 公式 符号说明 (3.1) 单元体上任 意截面上的 正应力 CT +CTCT -a y+ycosKJsi nN 2 2 (3.2) 单元体上任 意截面上的 剪应力 x _y . si

8、n 2：亠 & cos 2： 2 (3.3) 主平面方位 角 tan2：o 2 x 6J （： 0与-X反号） (3.4) 最大主应力 的计算公式 - max 2 (3.5) 最小主应力 的计算公式 、2 (3.6) (3.7) 单元体中的 最大剪应力 主单元体的 八面体面上 的剪应力 W 3 -max2 (3.8) :面上的线 应变 (3.9) :-+ 90面之 间的角应变 (3.10) 主应变方向 公式 (3.11) 最大主应变 (3.12) 最小主应变 (3.13) xy的替代公 (3.14) 主应变方向 公式 (3.15) 最大主应变 i=3、佑1_亦+阿32 +( 3 5十名y名x

9、yxy 二cos2二sin 2： 2 22 xy = 一( ；x 一 ；y)sin2xy cos2： tan2： xy max 2 4 max 2 4 xy2 xy = 2 ；45 ；max 二 tan? 2 45 :x 450 2 + 丿 J _ i y450 I L 2 2丿 2 (3.16) 最小主应变 22 5 七y(J 丄 fSy 豔5。 max小訂小小 2 L 2丿i 2丿 (3.17) 简单应力状 态下的虎克 定理 名x =辛，呂y =亠，呂z = 一辛 (3.18) 空间应和状 态下的虎克 定理 5 = kx _(CTy +6 9 利=音匕-吩z+耳P =丄 tQx+巧 9 E

10、y (3.19) 平面应力状 态下的虎克 定理（应变形 式） 1 S =Ex-By) 名y(口 y _VCT x) E 于) (3.20) 平面应力状 态下的虎克 定理（应力形 式） E j = d2(JWy) 1 -V E J2(科+強) 1 -V z =0 (3.21) 按主应力、主 应变形式写 出广义虎克 定理 % = 1 E _(ct2 +cr3 卩 S = 玩 _呻3 +W 9 客3 =E3 如1 7 jl (3.22) 二向应力状 态的广义虎 克定理 1 坷一2) 1 名2 =評2 -呷) % = _t(l1 +2) E (3.23) 二向应力状 态的广义虎 克定理 - 2十嵋2)

11、 1 -v 2任+叫) 1V 6=0 (3.24) 剪切虎克定 理 Jy =G?xy 1 yz = G ? yz 弋zx=G飞蠢 4内力和内力图 序号 公式名称 公式 符号说明 (4.1a) (4.1b) 外力偶的 换算公式 Te = 9.55 匕 n Np Te =7.02 n (4.2) 分布何载集度 剪力、弯矩之 间的关系 dV(x). =q(x) dx q（x）向上 为正 (4.3) dM(x) dx (4.4) d2M(x)() 2 = q(x) dx 5强度计算 序号 公式名称 公式 (5.1) 第一强度理论：最大拉 应力理论。 当 1 = fut （脆性材料）时 S = fu*.

12、（塑性材料） 材料发生脆性断裂破坏。 (5.2) 第二强度理论：最大伸 长线应变理论。 W V2 +S）= fut（脆性材料） 当*时， 耳V （!2 +。3）= fu （塑性材料） 材料发生脆性断裂破坏。 (5.3) 第三强度理论：最大剪 应力理论。 当 1 _ 3 = fy（塑性材料）时 -3 = 5（脆性材料） 材料发生剪切破坏。 (5.4) 第四强度理论：八面体 面剪切理论。 当 虻-丫十厲-2 +（-SfL fy（塑性材料） Ph j- 2 +( -5= fuc(脆性材料) H 2 时，材料发生剪切破坏。 (5.5) 第一强度理论相当应力 * O 1 = O 1 (5.6) 第二强度

13、理论相当应力 2 = O 1 V ( r2 +3) (5.7) 第三强度理论相当应力 * 6 =6 6 (5.8) 第四强度理论相当应力 ； = 治1 一6 )十 Q 2 . 2 -口3)+(口2-。3) (5.9a) 由强度理论建立的强度 条件 。t max 兰 t (5.9b) (5.9c) (5.9d) 由直接试验建立的强度 条件 |%max 兰% Imax 兰E N 口 t max A 5 (5.10a) (5.10b) 轴心拉压杆的强度条件 A |N cmax 七 A -牛c *T 耳=。1 = Tmax =- - t WT （适用于脆性材料） CT2=CT1-(CT + CT 3)

14、= (5.11a (5.11b) (5.11c) (5.11d) max 一(0 max) = (1 +Fmax 兰6 由强度理论建立的扭转 轴的强度条件 Sax -兰（适用于脆性材料） Wr1 +v 。1一 max (忑 max) 2 max 兰 陥ax =工兰凹（适用于塑性材料） Wr2 1 r222 1 问6 ) + 何) + (s) 2 匕 max 0 ) + (0 + max ) + (三 max 忑 max ) 7 3忑 max 兰 Emax =丄兰卑(适用于塑性材料) Wt3 (5.iie 由扭转试验建立的强度 条件 巧 max = Wt (5.12a (5.12b) 平面弯曲梁

15、的正应力强 度条件 M r 、 tmax =廿兰t Wz |m| cmax =了兰 Qc wz (5.13) 平面弯曲梁的剪应力强 度条件 * Tmax=VS W Izb (5.14a) (5.14b) 平面弯曲梁的主应力强 度条件 CT； = #CT2 十 42 兰CT CT； = JcT2十3巧2兰石 (5.15a) (5.15a) 圆截面弯扭组合变形构 件的相当弯矩 * yM；+M：+T2 M； =3 13ww * Jm P b 2 2 +何1 -S f +何2 - 2 ；+M：+0.75T2 M； ww (5.16) 螺栓的抗剪强度条件 4N -2如 n兀d (5.17) 螺栓的抗挤压

16、强度条件 crb =N m-b c 匹 t c (5.18) 贴角焊缝的剪切强度条 件 “ NW 0.7hQ lw 6刚度校核 序号 公式名称 公式 符号说明 （6.1） 构件的刚度条件 Amax ( l （6.2） 扭转轴的刚度条件 %ax二亠兰日 GI p (6.3) 平面弯曲梁的刚度条件 Vmax = cr，小于 1 Q 动荷载 序号 公式名称 公式 符号说明 (8.1) 动荷系数 IXPdNdGd心 d Kd = P M 巧纠 P-何载 N-内力 CT -应力 -位移 d-动 j-静 (8.2) 构件匀加速 上升或下降 时的动荷系数 1 a Kd =1 + g a-加速度 g-重力加速

17、度 (8.3) 构件匀加速 上升或下降 时的动应力 %=(1 +2)巧 g (8.4) 动应力强度条 件 口 d max K d j max 兰 Q-杆件在静荷载作用下 的容许应力 (8.5) 构件受竖直方 向冲击时的动 荷系数 丄！丄2H K =1 + 丨1 + Kd 1 f H-下落距离 (8.6) 构件受骤加荷 载时的动荷系 数 Kd =1 +1+0 =2 H=0 (8.7) 构件受竖直方 向冲击时的动 荷系数 心-1+v Vgj v-冲击时的速度 (8.8) 疲劳强度条件 max兰闪讨= K 0p-疲劳极限 Bp-疲劳应力容许值 K-疲劳安全系数 9能量法和简单超静定问题 序号 公式名

18、称 公式 （9.1） 外力虚功： 姚=鸥 +啓2 +Me3&3 +.=送 R6 （9.2） 内力虚功： W =瓦 JMd&送（Vdff送 L Nd送Td (9.3) 虚功原理： 变形体平衡的充要条件是： We + W = 0 （9.4） 虚功方程： 变形体平衡的充要条件是：We = W （9.5） 莫尔定理： A =X MdB+瓦VMY+瓦 JNMI+瓦（Td护 （9.6） 莫尔定理： “ Mdx+z fKG/dx+z. 粘+書严 （9.7） 桁架的莫尔定理： A=E NNl EA （9.8） 变形能： U = -W （内力功） （9.9） 变形能： U =We （外力功） （9.10） 外力功表示的变形能 111 u = Rq+ P2A2+.RA 222 （9.11） 内力功表示的变形能： M2(x)KV2(x)N2(x)T2(x) 心=送 dx +送 f，dx+送dx+送 dx Jl 2EI 2GA山 2EA 2GI p (9.12) 卡氏第二定理： A別 也i = (9.13) 卡氏第二定理计算位移公式： .rM_ _ .KV. N. T cT. A =送 dx+送 dx+送 dx+送 dx 1 EI gR4 GA 鋼 EA 铝PI p WR (9.14) 卡氏第二定理计算桁架位移公式