中考专题复习线段和差的最大值与最小值

1、中考专题 线段和(差)的最值问题 、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一)、已知两个定点: 1、在一条直线 m上，求一点P, 使PA+PE最小; (1)点A B在直线m两侧: (2)点A B在直线同侧: A、A是关于直线m的对称点。 2、在直线m n上分别找两点P、 Q,使 PA+PQ+QB 最小。 (1)两个点都在直线外侧: (2)一个 (3)两 个点都在内侧: 点在内侧，一个点在外 (4八 台球两次碰壁模型 侧: B 变式一：已知点 A、B位于直线m,n的 内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形 ADEB周长最 变式二：已知点A位于直线m,n的内侧, 在直线 n分别上求

2、点P、Q点PA+PQ+Q周长最短. A 二）、一个动点，一个定点: （一）动点在直线上运动： 在直线m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点 点B在直线n上运动 P和点B） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B在。O上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PE最小（在图中画出点 P和 点E） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧: 三）、已知A、E是两个定点，P、Q是直线m上的两个 P A 点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求 Q两点，使得PA+PQ+Q的值最小。（原理用平移知识 解） （1）点A E在直线m两侧: 过A点作AC/ m,

3、且 AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长, 即为P点，此时P、Q即为所求的点。 （2）点A、B在直线m同侧： 练习题 ?1.如图，/ AOB45 P是/ AOB一点，PQ=10, Q R分别是OA 0B上的动点， 求厶PQR周长的最小值为?. 3 2、如图1,在锐角三角形 ABC中，AB=4：， BAC=45，/qBAC的平分线交 BC于点D, M,N分 AD和 AB上的动点，贝V BM+M N的最小值 为？. c B 别是 3、如 图，在 锐角 三角 形ABC 中，AB=5s/2，/ BAC=45 BAC的平分线交 BC于D, M N分别是AD和AB上的动 点，则BM+

4、M的最小值是多少？ 4、如图4所示，等边 ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E 是AC边上一点.若AE=2,EM+C的最小值为？. 5、如图 3,在直角梯形 ABCC中，/ ABO90，AD/ BC, AD= 4，AB= 5，BO6, 点P是AB上一个动点，当 PC+ PD的和最小时，PB的长为. 6、如图4,等腰梯形 ABCD中, AB=AD=CD=1 / ABC=60 , P是上底，下底中点 EF直线上的一点，贝y PA+PB的最小值为？. 7、如图5菱形ABCD中, AB=2 / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线 AC上的 一个动点，则PE+PB的最小

5、值为？. 8、 如图，菱形ABC的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点，点M N分别是边AB BC勺中点，贝V PM+PI的最小值是？ 9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处, 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm 10、如图，菱形 ABCD中，AB=2，/ A=120， 点P，Q, K分别为线段 BC, CD, BD上的任意一点，贝VPK+QK的最小值为？? ?11、如图，正方形ABC啲边长为2, E为AB的中点， 上一动点.则P由PE的最小值是 12、 如图6所

6、示，已知正方形ABCD勺边长为8,点 上，且 DM=2 N是AC上的一个动点，则 DN+MN勺最 为? ?. C M在 小 AC DC 值 13、如图，正方形ABCD勺边长是2,Z DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别 是AD和AE上的动点，贝V DQ+PQ勺最小值为? ?. 14、如图乙在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线 AC上一动点，连接PBPQ则厶PBQ周长的最小值为?cm (结 果不取近似值). 15、如图，。0的半径为 2,点 A B、C在O 0上，OALOB / AOC60, P是 0B 上一动点，则PA+PC的最小值是 . 16、如图8, M

7、N是半径为1的O 0的直径，点 A在O 0上，/ AMN= 30, B为AN 弧的中点，P是直径MN动点，则PA PB的最小值为(?) (A)2 ：？(B)?(C)1? (D)2 解答题 1、如图9,正比例函数y二lx的图象与反比例函数 y=： (k工0)在第一象限的图 象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为 M已知三角形OAM勺面积为1. (1) 求反比例函数的解析式; 轴 X2 占 八、 (2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点 AC相 取得 3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1， )， AOB勺面积是. (2)求过点 A O B的抛物线的解析式; (3)在(2) 中抛

8、物线的对称轴上是否存在点 C,使厶AOC的周长最小？若存 在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由; 4.如图，抛物线 3 2 18 y = x - x+ 3和y轴的交点为 55 A，M为0A的中点，若有一动点 (1) 求点B的坐标; P,自M点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点(设为点E),再沿直线运动到该抛 物线对称轴上的某点(设为点 F),最后又沿直线运动到点 A求使点P运动的总 路程最短的点E,点F的坐标，并求出这个最短路程的长. 5.如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直角梯形OABC勺边0A在y轴的正半轴 上, 0C在 x轴的正半轴上，OA=AB=2, 0(=3,过点B作BD丄

9、BC,交0A于点D.将 / DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y轴的正半轴、x轴的正半轴于 点E和F. (1) 求经过A B C三点的抛物线的解析式； (2) 当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求 CF的长； (3) 在抛物线的对称轴上取两点P、Q (点Q在点P的上方)，且Pd 1,要使四 边形BCPQ勺周长最小，求出P、Q两点的坐标. ?6 .如图，已知平面直角坐标系， A, B两点的坐标分别为 A(2 , - 3), B(4 , - 1) 若C(a, 0) , Da+3, 0)是x轴上的两个动点，则当 a为何值时，四边形 ABDC勺 周长最短. 7、如图11,在平面直角坐标系中

10、，矩形 二忙三的顶点O在坐标原点，顶点 A、B分 别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3 OB=4 D为边OB的中点. (1) 若E为边OA上的一个动点，当 CDE勺周长最小时，求点 E的坐标； (2) 若E、F为边OA上的两个动点，且 EF=2,当四边形CDEF的周长最小时， 求点E、F的坐标. 二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线 m上，求一点 P,使PA与PB的差最大； (1) 点A、B在直线m同侧：A P 解析：延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P A P Bv AB,而PA-PB二AB此时最大，因此点P为所求的点

11、(2) 点A B在直线m异侧： 解析：过B作关于直线m的对称点 AB交点直线m于P,此时 PA-PB最大值为AB A BB,连接 | m PB=PB , P ： P B 练习题 1. 如图，抛物线y = 4x2-x+ 2的顶点为A,与y轴交于点B. 求点A、点B的坐标； PB AB 当PA- PB最大时，求点P的坐标. 若点P是x轴上任意一点，求证：PA- 2. 如图，已知直线 y=丄x+ 1与y轴交于点A,与x轴交于点D, 2 2 抛物线y =丄x + bx + c与直线交于 A E两点，与x轴交于B C两点，且B点 2 坐标为(1 , 0). (1)求该抛物线的解析式; (3)在抛物线的对

12、称轴上找一点 M使|AM-MC的值最大，求出点 M的坐标. 4. 如图，直线y= 3x+ 2与x轴交于点C,与y轴交于点B,点A为y轴正半 轴上的一点A经过点B和点0,直线BC交。A于点D. (1) 求点D的坐标； (2) 过0, C, D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段P0 与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标.若不存在，请说 明理由. 5、 抛物线的解析式为y X2 2x 3，交X轴与A与B,交y轴于C, 在其对称轴上是否存在一点 P,使/ APC周长最小，若存在，求其坐标。 在其对称轴上是否存在一点 Q,使I QB-QCI的值最大，若存在求其坐标

13、。 x V 1 6、已知：如图，把矩形0CBA放置于直角坐标系中，0C=3 BC=2 XTX 取AB的 C W得到 y 中点M,连接MC把厶MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后 / DA0A (1)试直接写出点D的坐标； ! (2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在 第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQL x轴于点Q连接0P 若以O P、Q为顶点的三角形与 DA0相似，试求出点P的坐标； 试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|T0-TB|的值最大？ 7、如图，已知抛物线Ci的解析式为y=-x2+2x+8,图象与y轴交于D点，并且顶点 A在双曲线上. (1)求过顶点A的双曲线解

14、析式； (2) 若幵口向上的抛物线 C2与C的形状、大小完全相同，并且 C2的顶点P始终在C1上，证明：抛物线 C一定经过A点; (3) 设(2)中的抛物线G的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于 E点, 当D O E、F四点组成的四边形的面积为 16.5时，先求出P点坐标，并在直线 y=x上求一点 M,使|MD-MP|的值最大. 8、如图，已知抛物线一经过A(3，0)，B(0，4)， (1).求此抛物线解析式 (2) 若抛物线与x轴的另一交点为C,求点C关于直线AB的对称点C的坐标 (3) 若点D是第二象限内点，以 D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切 于点E、F、H问在抛物线的对

15、称轴上是否存在一点一点P,使得|P2 PA的值最 大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。 三、其它非基本图形类线段和差最值问题 1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角 形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其 他两线段之差。 2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中 线。 3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点 之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。 1、如图，在 ABC中，/ C=90, A(=4, BG=2，点A C分别在x轴、y轴上，当 点A在x轴

16、上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点 B到原点的 最大距离是() A.2、22 B . 2 .5 C。2 6 D .6 2、已知:在厶ABC中，BC=a，AC=b以AB为边作等边三 ABD.探究下列问题: (1) 如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时， a=b=3,且/ ACB=60，贝U CD ; (2) 如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时， CD=; (3) 如图3,当/ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最 大值及相应的/ ACB的度数. 图3 3、在 Rt ABC中，/ ACB：90, tan / BAG1 .点 D在边 AC上(不与 A, C重

17、合)， 2 连结BD F为BD中点 (1)若过点D作DEIAB于E,连结CF EF CE如图1.设CF kEF，贝U k ? (2)若将图1中的 ADE绕点A旋转，使得 D E、B三点共线，点F仍为BD 中点，如图2所示.求证： BEDE=2CF; (3) 若B(=6,点D在边AC的三等分点处，将线段 AD绕点A旋转，点F始终 为BD中点，求线段CF长度的最大值. 4、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B 点)上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转60得到BN连接EN AM CM求 证： AMB2A ENB 当M点在何处时，AM CM的值最小; 当M点在何处时，AM BW CM的值最小，并说明理由; 当AM BW CM的最小值为.3 1时，求正方形的边长. 于 到 记 2 可 OABC的两边在坐标轴上，以点 C为顶点的抛物线 A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF丄BC于 (-4,0)，连接 PD，PE，DE.