22.3.2-商品利润最大问题

1、边城高级中学边城高级中学 张秀洲张秀洲 导入新课导入新课 情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关 的实际问题的实际问题. .商品买卖过程中，作为商家追求利润最商品买卖过程中，作为商家追求利润最 大化是永恒的追求大化是永恒的追求. . 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 利润问题中的数量关系一 讲授新课讲授新课 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出 300件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售元，则

2、每星期销售 额是额是 元，销售利润元，销售利润 元元. . 探究交流 180006000 数量关系 （1 1）销售额）销售额= = 售价售价销售量销售量; ; （2 2）利润）利润= = 销售额销售额- -总成本总成本= =单件利润单件利润销售量销售量; ; （3 3）单件利润）单件利润= =售价售价- -进价进价. . 例例1 1 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每件；每 降价降价1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件件

3、，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？ u涨价销售涨价销售 每件涨价每件涨价x元，则每星期售出商品的利润元，则每星期售出商品的利润y元，填空：元，填空： 20300 20+x 300-10 x y=(20+x)(300-10 x) 建立函数关系式：建立函数关系式：y=(20+x)(300-10 x), 即：即：y=-10 x2+100 x+6000. 如何定价利润最大二 6000 自变量自变量x的取值范围如何确定？的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑 销售量就可以，故销售量就可以

4、，故300-10 x 0，且，且x 0,因此自变量的因此自变量的 取值范围是取值范围是0 x 30. 涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10 x2+100 x+6000， 当当 时时, ,y=-1052+1005+6000=6250. 100 5 2 ( 10) x 即定价即定价65元时，最大利润是元时，最大利润是6250元元. . u降价销售降价销售 每件降价每件降价x元，则每星期售出商品的利润元，则每星期售出商品的利润y元，填空：元，填空： 20300 20-x300+18xy=(20-x)(300+18x) 建立函数关系式：建立函数关

5、系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：即：y=-18x2+60 x+6000. 例例1 1 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每件；每 降价降价1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？ 6000 综合可知，应定价综合可知，应定价6565元时，才能使利润最大元时，才能使利润最大. . 自变量自变量x的取值范围如何确定？的取值范围如何确

6、定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件 利润就可以，故利润就可以，故20-x 0，且，且x 0,因此自变量的取值范因此自变量的取值范 围是围是0 x 20. 涨价多少元时，利润最大，是多少？涨价多少元时，利润最大，是多少？ 当当 时时, , 605 2 ( 18)3 x 即定价即定价57.5元时，最大利润是元时，最大利润是6050元元. . 即：即：y=-18x2+60 x+6000， 2 55 18 ( )6060006050. 33 y 由由(1)(2)(1)(2)的讨论及现在的销的讨论及现在的销 售情况售情况, ,你知道应该如何

7、定价你知道应该如何定价 能使利润最大了吗能使利润最大了吗? ? 例例2 某网络玩具店引进一批进价为某网络玩具店引进一批进价为20元元/件的玩具，如果件的玩具，如果 以单价以单价30元出售，那么一个月内售出元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经件，根据销售经 验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上 涨涨1元，月销售量将相应减少元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元件，当销售单价为多少元 时，该店能在一个月内获得最大利润？时，该店能在一个月内获得最大利润？ 每件商品的销售单价上涨每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的

8、商品元，一个月内获取的商品 总利润为总利润为y元，填空：元，填空： 10180 10+x180-10 xy=(10+x)(180-10 x) 1800 建立函数关系式：建立函数关系式： y=(10+x)(180-10 x), 即：即：y=-10 x2+80 x+1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就 可以，故可以，故180-10 x 0，因此自变量的取值范围是，因此自变量的取值范围是x 18. 涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10 x2+80 x+1800 =-10

9、(x-4)2+1960. 当当x=4时，即销售单价为时，即销售单价为34元时，元时，y取最大值取最大值1960元元. 答：当销售单价为答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最元时，该店在一个月内能获得最 大利润大利润1960元元. 自变量自变量x的取值范围如何确定？的取值范围如何确定？ 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 （1 1）建立利润与价格之间的函数关系式：）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用运用“总利润总利润= =总售价总售价- -总成本总成本”或或“总利润总利润= =单件利润单件利润 销售量销售量” （2 2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；）结合实际意义，确定自变

10、量的取值范围； （3 3）在自变量的取值范围内确定最大利润：）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函 数的简图，利用简图和性质求出数的简图，利用简图和性质求出. . 例例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元元/件，件， 经过一段时间的试销发现，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整每月的销售量会因售价的调整 而不同而不同.令每月令每月销售量为销售量为y件，售价为件，售价为x元元/件，件，每月的总利每月的总利 润为润为Q元元. （1）当售价在）当售价

11、在4050元时，每月销售量都为元时，每月销售量都为60件，则件，则 此时每月的总利润最多是多少元？此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当解：由题意得：当40 x50时，时， Q = 60(x30)= 60 x1800 y = 60 0，Q随随x的增大而增大的增大而增大 当当x最大 最大= 50时， 时，Q最大 最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是答：此时每月的总利润最多是1200元元. （2）当售价在）当售价在5070元时，每月销售量与售价的关系如元时，每月销售量与售价的关系如 图所示，则此时当该商品售价图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月是多少元时，该商店每月

12、 获利最大，最大利润是多少元？获利最大，最大利润是多少元？ 解：当解：当50 x70时，时， 设设y与与x函数关系式为函数关系式为y=kx+b, 线段过线段过(50，60)和和(70，20). 50k+b=60 70k+b=20 y =2x +160（50 x70） 解得：解得： k =2 b = 160 y =2x +160（50 x70） Q=(x30)y =(x30)(2x + 160) =2x2 + 220 x 4800 =2(x55)2 +1250 (50 x70) a = 20，图象开口向下，图象开口向下， 当当x = 55时，时，Q最大 最大= 1250 当售价在当售价在5070

13、元时，售价元时，售价x是是55元时，获利最大，元时，获利最大， 最大利润是最大利润是1250元元. 解：解：当当40 x50时，时， Q最大 最大= 1200 1218 当当50 x70时，时， Q最大 最大= 1250 1218 售价售价x应在应在5070元之间元之间. 令：令：2(x55)2 +1250=1218 解得：解得：x1=51，x2=59 当当x1=51时，时，y1=2x+160=251+160= 58(件件) 当当x2=59时，时，y2=2x+160= 259+160= 42(件件) 若若4月份该商品销售后的总利润为月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品元，则该商品 售

14、价为售价为51元或元或59元，当月的销售量分别为元，当月的销售量分别为58件或件或42件件. （3）若）若4月份该商品销售后的总利润为月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？品售价与当月的销售量各是多少？ 变式：变式：(1)若该商品售价在若该商品售价在4070元之间变化，根据例元之间变化，根据例 题的分析、解答，直接写出每月总利润题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价与售价x的函数的函数 关系式；并说明，当该商品售价关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店是多少元时，该商店 每月获利最大，最大利润是多少元？每月获利最大，最大利润是多少元

15、？ 解：解：Q与与x的函数关系式为：的函数关系式为： 60 x1800 （40 x50 ） 2(x55)2 + 1250 （50 x70） Q = 由由例例3可知：可知： 若若40 x50， 则当则当x=50时，时，Q最大 最大= 1200 若若50 x70， 则当则当x=55时，时，Q最大 最大= 1250 12001250 售价售价x是是55元时，获利最大，最大利润是元时，获利最大，最大利润是1250元元. （2）若该商店销售该商品所获利润不低于）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试元，试 确定该商品的售价确定该商品的售价x的取值范围；的取值范围； 解：当解：当40 x50时，时

16、， Q最大 最大= 1200 1218， 此情况不存在此情况不存在. 60 x1800 （40 x50 ） 2(x55)2 + 1250 （50 x70） Q = 当当50 x70时，时， Q最大 最大= 12501218， ， 令令Q = 1218，得，得 2(x55)2 +1250=1218 解得：解得：x1=51，x2=59 由由Q = 2(x55)2 +1250的的 图象和性质可知图象和性质可知: 当当51x59时，时，Q1218 若该商品所获利润不低于若该商品所获利润不低于1218元，元， 则售价则售价x的取值范围为的取值范围为51x59. x Q 055 1218 5951 125

17、0 （3）在（）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品）的条件下，已知该商店采购这种新商品 的进货款不低于的进货款不低于1620元，则售价元，则售价x为多少元时，利润最为多少元时，利润最 大，最大利润是多少元？大，最大利润是多少元？ 解：由题意得：解：由题意得： 51x59 30 (2 x +160)1620 解得：解得：51x53 Q=2(x55)2 +1250的顶点的顶点 不在不在51x53范围内，范围内， 又又a =20， 当当51x53时时 ， Q随随x的增大而增大的增大而增大 当当x最大 最大 = 53时， 时，Q最大 最大= 1242 此时售价此时售价x应定为应定为53元，元，

18、 利润最大，最大利润是利润最大，最大利润是1242元元. x Q 055 1242 5351 你学会了吗你学会了吗? 对自己说，你有什么收获？对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么提示？对同学说，你有什么提示？ 对老师说，你有什么疑惑？对老师说，你有什么疑惑？ 最大利最大利 润问题润问题 建立函数建立函数 关 系 式关 系 式 总利润总利润= =单件利润单件利润销销 售量或总利润售量或总利润= =总售价总售价- - 总成本总成本. . 确定自变量确定自变量 取 值 范 围取 值 范 围 涨价涨价: :要保证销售量要保证销售量0 0； 降件：要保证单件利润降件：要保证单件利润0.0. 确定

19、最大确定最大 利润利润 利用配方法或公式求最利用配方法或公式求最 大值或利用函数简图和大值或利用函数简图和 性质求出性质求出. . 2021年5月16日 【课后作业课后作业】完成完成学法大视野学法大视野 【预习预习】课本课本P49P50商品利润最大问题商品利润最大问题 必做题必做题:教材教材 P51 习题习题22.3 第第2、8题题 选做题选做题:课件课件 课后提升课后提升 学有驰，习有张学有驰，习有张 书山有路勤独秀书山有路勤独秀 学漠无垠恒至洲学漠无垠恒至洲 边城高级中学边城高级中学 吴泠华吴泠华 一工艺师生产的某种产品按质量分为一工艺师生产的某种产品按质量分为9 9个档次个档次. .第第1 1档次档次 （最低档次）的产品一天能生产（最低档次）的产品一天能生产8080件，每件可获利润件，每件可获利润1212 元元. .产品每提高一个档次，每件产品的利润增加产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2 2元，但元，但 一天产量减少一天产量减少4 4件件. .如果只从生产利润这一角度考虑，他如果只从生产利润这一角度考虑，他 生产哪个档次的产品，可获得最大利润？生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ w