常数项级数的审敛法

1、1 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 小结小结 思考题思考题 作业作业 constant term infinite series 第二节第二节 常数项级数常数项级数的审敛法的审敛法 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 2 1. 定义定义 1n n u正项级数正项级数 n sss 21 2. 收敛的充要条件收敛的充要条件 单调增加数列单调增加数列 这时这时,只可能有两种情形只可能有两种情形: . n s ssn n lim ,)1(时时当当 n. 1 必发散必发散级数级数 n

2、n u ,)2(有上界有上界若若 n s)(正正常常数数即即 n s positive term series 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 0 n u 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 一、一、正项级数正项级数及其审敛法及其审敛法 3 定理定理1(1(基本定理基本定理) ) )( ssn 注注 正项级数可以任意加括号正项级数可以任意加括号,其其敛散性不变敛散性不变, 对收敛的正项级数对收敛的正项级数,其和也不变其和也不变. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列 n s有界有界. 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 4 例

3、例1 判定判定 的敛散性的敛散性. 1 12 1 n n 解解 12 1 n 12 1 12 1 12 1 2 n n S n 2 1 2 1 2 1 2 n 2 1 1 由定理由定理1 1知知, , 故级数的部分和故级数的部分和 可与另可与另一个一个已知已知敛散性的敛散性的正项正项级数级数比较来确定比较来确定. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 , 2 1 n 1 该正项该正项级数收级数收敛敛. 这个例启示我们这个例启示我们:判定一个判定一个正项正项级数级数的的敛散性敛散性, 由于由于 正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列 n s有界有界. 常数项级数的审敛法常数项级

4、数的审敛法 5 3. 比较审敛法比较审敛法 证证 定理定理2 2 nn uuus 21 且且 1n n v 设设 nn vu 即部分和数列有界即部分和数列有界. 1n n u n vvv 21 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 , nn vu 若若 则则 1n n v收收敛敛 1n n u收收敛敛 1n n u 发散发散 1n n v发散发散 收收敛敛 0 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 6 nn s 则则 )( nsn设设 nn vu 且且 不是有界数列不是有界数列 1n n v 定理证毕定理证毕. 比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数. 正项级数及其审敛法正

5、项级数及其审敛法 1n n u 发散发散 1n n v发散发散 发散发散 推论推论1 1 1 n n u 若正项级数(发散发散)收收敛敛 )(Nnkuv nn 且且 )( nn vku 1n n v则则收收敛敛(发散发散) 证证 ,0 nn vu 若若 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 例例 2 2 证明级数证明级数 1 )1( 1 n nn 是发散的是发散的. 证明 , 1 1 )1( 1 nnn , 1 1 1 n n 发发散散而而级级数数 . )1( 1 1 n nn 发散发散级数级数 8 解解, 1 p设设 级级数数则则 p , 1 p设设 1 0 p n pppn n s 1 3

6、 1 2 1 1 n n pp x x x x 1 2 1 dd 1 (1) (2) 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 1 1 n n 调和级数调和级数发散发散 11 0 p nn n n p x x 1 d 用用比较审敛法比较审敛法 发散发散. . 1 1 n p npp xn nxn 11 ,1 有有时时当当 n n p n x 1 d 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 例例2 2 讨论讨论 级数级数 p ppp n 1 3 1 2 1 1的收敛性的收敛性. )0( p 9 n p x dx 1 1) 1 1( 1 1 1 1 p np1 1 1 p ,有界有界即即 n s 正项级

7、数及其审敛法正项级数及其审敛法 n s 级级数数则则 p收敛收敛. . 1 1 n p n )1( p 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 级数级数 ,1 ,1 p p p 10 (1) 几何级数几何级数 使用使用正项正项级数的比较判定法时级数的比较判定法时, 常用的比较级数常用的比较级数 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 一些级数的敛散性一些级数的敛散性,作为比较的标准作为比较的标准. 需要知道需要知道 (2) p-级数级数 (3) 调和级数调和级数 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 ,1 ,1 0 q q aq n n 发散发散时时当当 收敛收敛

8、时时当当 ,1 ,1 p p 1 1 n p n nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 发散发散 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 11 例例3 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性. n n n 3 sin2)1( 1 1 3 )1( 1 )2( n nn 解解 (1) n n n u 3 sin20 而等比级数而等比级数 收敛收敛. n n 1 3 2 所以所以, 原级数收敛原级数收敛. n 3 2 n n 3 2 由由比较审敛法比较审敛法 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 12 解解 因为因为 3 )1( 1 nn un 2

9、3 1 0 1n 而而 1 3 2 )1( 1 n n 是发散的是发散的p-级数级数. 所以所以, 原级数原级数 n n 3 2 1 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 1 3 )1( 1 )2( n nn 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 级数级数 ,1 ,1 p p p, 1 1 n p n 发散发散. 2 由由比较审敛法比较审敛法 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 13 例例4 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性. 2 11 154 (1);(2) 321 n nn n nnn （1） 提示：提示： 11 0,2 2 nn n n 时 常数项级数的审敛法常数项级数的

10、审敛法 14 （2） 提示：提示： 22 5455 1 0 32144 nn nnnn 问问 222 5441 0 3214 n nnnn , 2 n=1 而 n 收敛 1 2 1 54 321 n n nn 能否得到收敛? 不能！不能！ 说明用不等式形式不方便！说明用不等式形式不方便！ 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 15 , 11 都是正项级数都是正项级数与与设设 n n n n vu如果如果 ,liml v u n n n 则则 ,0)1(时时当当 l ,0)2(时时当当 l ,)3(时时当当 l 4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式 定理定理3 3 , 1 收敛收敛若

11、若 n n v; 1 收收敛敛则则 n n u , 1 发散发散若若 n n v. 1 发发散散则则 n n u 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性; 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: : (1) 1 1 sin n n ; (2) 1 3 1 n n n ; 解)1( n n n n 3 1 3 1 lim n n n1 1 sin lim , 1 原级数发散. )2( n n n 1 sinlim n nn 3 1 1 lim , 1 , 3 1 1 收敛收敛 n n 故原级数收敛.

12、17 例例5 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性. 2 1 54 321 n n nn （1） 1 (2)1 cos n n 提示：提示： 1 n n 取 v 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 18 1 (2)1 cos. n n 判定级数的敛散性 解解 n n cos1 lim 而级数而级数 2 1 2 1 n n 1 2 2 1 2 1 n n 收敛收敛 故级数故级数 1 cos1 n n 1 2 cos1 2 x x 0 x 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 收敛收敛. 级数级数的的 pp2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 2 n 2 19 结论：结论： 1

13、01 00 1 01 . ,0,0 . kk k n mm m a na na uab b nbnb 设 则则 11 1 n m k nn u n 与同时收敛同时发散. 即即 1 1, n n mku 当时收敛, 1 1, n n mku 当时发散 2 72 1 23173 ,21 22 32n nn mk nn 如收敛, 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 20 定理定理4 4 达朗贝尔达朗贝尔,17171783, 法国数学家、力学家、哲学家法国数学家、力学家、哲学家 , 1 n n u设设 n n n u u 1 lim 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 5.5.比值审敛法比值审敛法

14、( (达朗贝尔达朗贝尔 判定法判定法) ) AlembertD, 收敛收敛 发散发散 )0( n u 方法方法失效失效 1n n u 1n n u 1 1 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 21 2. 若用比值判别法判定级数发散若用比值判别法判定级数发散 注注 3. 一旦出现一旦出现=1 要用其它方法判定要用其它方法判定. 级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零. 后面将用到这一点后面将用到这一点. n n n u u 1 lim 或或 不存在时不存在时, 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 4. 条件是充分的条件是充分的, 1. 适用于适用于中中 n unn 或关于或关于含有含有

15、 ! 的若干连乘积的若干连乘积(或商或商) 但非必要但非必要. , 1 n n u由由)0( n u收敛收敛1lim 1 n n n u u 形式形式. ,)1(时时 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 22 n n 2 )1(2 1 2 )1(2 n n n 级级数数 n n u u 1 但但 n n a2lim 12 lim n n a n n n n n a u u limlim 1 1 2 )1(2 n n n 如如：级级数数 n 2 3 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 收敛收敛 )1(2(2 )1(2 1 n n n a 6 1 2 3 不存在不存在 , 1 n n u由由)

16、0( n u收敛收敛1lim 1 n n n u u 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 23 比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 由级数本身就能断定敛散性由级数本身就能断定敛散性. 例例6 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性 1 3! (1), n n n n n 解：解： 3! (1) n n n n u n 1 1 1 3(1)!3 limlim1 (1)3! nn n nn nn n unn unne 1 ! . 3n n n n n 故级数发散 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:

17、(1) 1 ! 1 n n ; (2) 110 ! n n n ; (3) 1 2)12( 1 n nn . 解 )1( ! 1 )!1( 1 1 n n u u n n 1 1 n ),(0 n . ! 1 1 收敛收敛故级数故级数 n n ),( n)2( ! 10 10 )!1( 1 1 n n u u n n n n 10 1 n . 10 ! 1 发发散散故故级级数数 n n n )3( )22()12( 2)12( limlim 1 nn nn u u n n n n , 1 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 , 1 2)12( 1 2 nnn , 1 1 2 收敛收敛级数级数 n

18、 n . )12(2 1 1 收收敛敛故故级级数数 n nn 26 例例7 证明证明:级数级数 发散发散. 1 ! n n n n ne 证证 n n u u 1 n n n e 1 n n e 1 1 因因, e 故故. 1 1 n n u u 从而从而. 1nn uu . 0lim n n u由级数收敛的必要条件由级数收敛的必要条件, 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 知级数知级数发散发散. !)1( )!1( 1 1 ne n n ne n n n n n n 1 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 27 这里用比值法判断级数的收敛性时这里用比值法判断级数的收敛性时, n n

19、u u 1 虽然如此虽然如此,也还能利用比值也还能利用比值, 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 求出比值的极限为求出比值的极限为1,比值审敛法失效比值审敛法失效. 从而得到一般项不收敛于零从而得到一般项不收敛于零. 因为因为 恒大于恒大于1, 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 28 , 1 , 1 n n n 设级数设级数如如 n 1 )(0 n 级数收敛级数收敛. 定理定理5 5 柯西柯西(Cauchy) (法法)17891857 适用于适用于:以以n为指数幂的因子为指数幂的因子 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 6. 根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法) , 1 n

20、n u设设 收敛收敛 发散发散 )0( n u 方法方法失效失效 1n n u 1n n u 1 1 1 n n ulim n n n 1 n n u n 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 29 注注 1. 根值法条件是充分的根值法条件是充分的,但非必要但非必要. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 , 1 n n u由由)0( n u收敛收敛1lim n n u n 2. 凡涉及证明的命题一般不可用比值法与凡涉及证明的命题一般不可用比值法与 而只能用比较法而只能用比较法.根值法根值法, 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 30 例例9 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性. an n

21、n n 1 12 解解 因为因为 a n n n 12 lim a 2 1 所以所以, 当当a0时时, a 2 1 级数级数收敛收敛; 当当a0时时, a 2 1 级数级数发散发散; 当当a=0时时,根值法根值法失效失效, 但此时级数为但此时级数为, 1 1 n 是是发散的发散的. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 n n u lim n an n n n 12 lim n , 1 , 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 31 总结：总结： 思维顺序：思维顺序： ? ( )0, ( ),(1) ( )(1) n a u b c 用比值 根值时失效 用比较 特别时 （1）比较判别法：一

22、般选几何级数，）比较判别法：一般选几何级数，p-级数；级数； （2）比值判别法：通项中出现幂次或阶乘时，）比值判别法：通项中出现幂次或阶乘时， 用此法；用此法； （3）根值判别法：当通项中的指数位置含有）根值判别法：当通项中的指数位置含有n时，时， 用此法。用此法。 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 32 例例10 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性. 3 cos 2 2 1 nn n n 解解 1 3 cos0 2 n 因为因为 所以所以 3 cos 2 0 2 nn n 又因为又因为 n n nn n 2 2 1 lim 1 所以所以, 1 2 n n n 收敛收敛,再由再由比较判别法

23、比较判别法知知, 原级数也收敛原级数也收敛. 2 1 2 1 lim n n n 1 n n 2 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 ), 2 , 1( n 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 33 例例 11 利用级数收敛性利用级数收敛性,证明证明. 0 ) !( lim 2 n n n n 证证 考查级数考查级数, ) !( 1 2 n n n n 由于由于 n n n u u 1 lim n n n n n n n 2 2 1 ) !( )!1( )1( lim n n nn 1 1 1 1 lim0 故级数故级数 收敛收敛. 1 2 ) !( n n n n 由由级数收敛的必要条件

24、级数收敛的必要条件知知, . 0 ) !( lim 2 n n n n 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 34 正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为 n n n u 1 1 ) 1()0( n u其中其中 莱布尼茨莱布尼茨 (Leibniz) (德德) 16461716 :) 1( 1 1 满足条件如果交错级数 n n n u , 0lim)2( n n u);, 3 , 2 , 1()1( 1 nuu nn 则则 .| 1 nn ur ,0 1 us 且和 的绝对值的绝对值其余项其余项 n r 定义定义 )1( 1 n n nu 或或 ,

25、级数收敛级数收敛 alternate series 交错级数交错级数. . 定理定理6 6 ( (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) ) 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 二、二、交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法 35 注注 un与与un+1大小的方法有三种大小的方法有三种: (1)比值法比值法, n n u u 1 ? 1 nn uu ? (3) 由由un找出一个连续可导函数找出一个连续可导函数 ), 2 , 1(),( nnfun使使考察考察 ? (2)差值法差值法, 交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 n n n u 1 1 )1( )0( n u 用莱布尼茨定理判别交错级数用莱布尼茨定理判别交错级数 是否收敛时是否收敛时,要考察要考察un与与un+1大小大小, 比较比较 ),(xf )(x f 1 0 0 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 36 例例1212 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 1 1 ( 1)