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文档简介

1、数学 专题八立体几何 考向预测 1理解和掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征; 2能掌握并灵活利用柱、锥、台、球表面积和体积的公式; 3简单的几何体的三视图,能识别三视图所表示的立体模型; 4 能利用直线与直线,直线与平面,平面与平面平行的判定及性质解决问题; 5.能空间直线与平面,平面与平面垂直的判定与性质解决问题. 知识与技巧的梳理 1空间几何体的表面积与体积 (1) 多面体的表面积 S棱柱表=S棱柱侧+2S底,S棱锥表=S棱锥侧+S底,S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底. (2) 旋转体的表面积 圆柱:S表 =2 r(r丨),其中r为底面半径,I为母线长; 圆锥:S表 = r(r I

2、),其中r为底面半径,丨为母线长; 2 2 圆台:S表 = (r r r I rl),其中r,r为上、下底面半径分别,I为母线长; 球体:S球=4 r2,其中r为球的半径. (3) 几何体的体积公式 柱体:V柱体二Sh,其中S为底面面积,h为高; 椎体:V锥体二Sh,其中S为底面面积,h为高; 3 台体:V台体= g(SSS S)h,其中S、S分别为上、下底面面积,h为高; 43 球体:V球=r ,其中r为球的半径. 3 2空间点、直线、平面之间的位置关系 (1) 平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 公理2:过不同在一条直线上的三点,有且只有

3、一个平面. 推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一直线的两条直线平行. 3.直线、平面平行的判定及其性质 (1) 直线与平面平行的判定定理 文字语言:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号语言:a , b , a/b a/. 图形语言:如下图. (2) 直线与平面平行的性质定理 文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

4、行. 符号语言:a/, a , I b a/b. 图形语言:如下图. (3) 平面与平面平行的判定定理 文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 符号语言: a ,b , al b P, a/, b/ / 图形语言:如下图. (4) 平面与平面平行的性质定理 文字语言:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号语言:/ , I a, I b a/b. 图形语言:如下图. 4.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)直线与平面垂直的判定定理 文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 符号语言:丨 a, l b,

5、a , b , a I b P l . 图形语言:如下图. (2) 直线与平面垂直的性质定理 文字语言:垂直于同一个平面内的两条直线平行. 符号语言:a , b 图形语言:如下图. a/b. (3) 平面与平面垂直的判定定理 文字语言:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 符号语言:l 图形语言:如下图. 图形语言:如下图. a (4) 平面与平面垂直的性质定理 文字语言:两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言: 限时训练 (45分钟) o经典常规题 1已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 A .33B.34 6,圆心角为一的扇形,则圆锥的高为( 3

6、C. . 35D 5 【答案】C 【解析】因为侧面展开图是一个半径为 6,圆心角为i的扇形,所以圆锥的母线长为 设其底面半径为r ,则 62 r,所以r 3 1,所以圆锥的高为.36 135 -BC 2 2如图,在三棱锥 P ABC中, PAC为正三角形, M为棱PA的中点,AB AC , AC 平面PAB 平面PAC (1) 求证:AB 平面PAC ; (2) 若AC 2,求三棱锥P BMC的体积. 【答案】(1)证明见解析;(2) 1 【解析】(1)v PAC为等边三角形,且 M为PA的中点, CM PA 平面PAB 平面PAC,平面PAB I平面PAC PA , CM 平面PAC , C

7、M 平面 PAB , AB 平面 PAB , AB CM 又 AB AC , CM I AC C , AC、CM 平面PAC , AB 平面 PAC (2) AB AC,且 AC 2 , BC 2 AC 4 , - AB BC2 AC22.3 又 PAC是边长为2的等边三角形,且 M为PA的中点, CM PA,且 CM PC sin60 .3 , 即厶PMC的面积为S PMC 1 PM 2 CM 1 2 i . 三棱锥O BMC的体积为 VP BMC Vb PMC i 3 S PMC AB 3 i23 i 32 高频易错题 1在正方体ABCD AiB1C1 Di中,P , Q分别为ADi ,

8、B1C上的动点,且满足 AP 3Q,则下列4个 命题中,所有正确命题的序号是() 存在P,Q的某一位置,使 AB/PQ ; 、BPQ的面积为定值; 当PA 0时,直线PBi与直线AQ 一定异面; 无论P, Q运动到何位置,均有 BC PQ . A .B .C.D . 【答案】D 【解析】当P , Q分别为棱ADi , BiC的中点时满足,正确; 1 2 当P与A重合时:S ABP a ; 2 当P与Di重合时:s BPQ a2 ( a为正方体边长),错误; 当PA 0时,假设直线PBi与直线AQ是共面直线,则 AP与BiQ共面,矛盾,正确; 如图所示: F , G分别为P , Q在平面内的投影

9、,易证 BC 平面PFGQ,正确. 2在三棱锥P ABC中,平面PAB 平面ABC , ABC是边长为2、-3的等边三角形,其中PA PB .7 , 则该三棱锥外接球的表面积为 数学 【答案】 65 4 O,使得 PO OC . 【解析】如图所示,作 AB中点D,连接PD、CD , 在CD上作三角形 ABC的中心E,过点E作平面ABC的垂线,在垂线上取一点 三棱锥底面是一个边长为2、3的等边三角形,E为三角形的中心, 三棱锥的外接球的球心在过点E的平面ABC的垂线上, / PO OC , P、C两点在三棱锥的外接球的球面上,O点即为球心, 平面 PAB 平面 ABC , PA PB , D为A

10、B中点, 平面ABC , cd 、CA AD2、12一3 3,CE 2CD 2, 3 DE CD CE 1, PD PB2 BD2 设球的半径为r,则有 PO OC r,OE OE)2 DE2 PO2, 即(2. r2 4)2 1 解得 65 16, 故表面积为S 4 r2 65 4 O精准预测题 1.设 a , b为两条直线, 为两个平面, F列四个命题中, 正确的命题是( A .若a b与所成的角相等,则a/b B .若 a/ b ,则 a/b C.若a ,b , a/b,贝U / D.若a ,则a b 【答案】 【解析】 A选项中两直线a , b还可能相交或异面,错误; B选项中两直线a

11、 , b还可能相交或异面,错误; C选项两平面,还可能是相交平面,错误,故答案为 2个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()cm3 正视因左视图 T/ 俯视图 13 3 B. 4 三 C.匕D. 4 2 333 【答案】C 【解析】由三视图知,几何体是长方体与四棱锥的组合体,长方体的体积为.2 .2 2 4 ; _2 四棱锥的底面是边长分别为 2,-. 2的矩形,四棱锥的高为 2 , 2 三棱锥的体积为 2 143 即几何体的体积 V 4( cm ). 3 3 B .平面 CBiDi 平面 Ai BiCi Di 3如图,多面体 ABCD ABQDi为正方体,则下面结论正确

12、的是( A. A.B/B.C C.平面CBiDi/平面AiBDD.异面直线AD与CBi所成的角为30 【答案】C 【解析】在A中,若AiB/BiC,由AiB/CDi,得BQCDi,矛盾,A不符合题意; 在B中, BBi 平面A)B1C1D1,a平面BBiDiD 平面AiBiCiDi,则平面CBiDi 平面AiBiCiDi也是错 误的,B不符合题意; 在 C 中, AiB/CDi , A1D/CB1,平面 CBiDi/ 平面 ABD , C 符合题意; 在D中,多面体 ABCD AiBiCiDi为正方体,BCBi 45 ,又AD/BC,. AD与CBi所成角为45 , D不符合题意. 4.已知三

13、棱锥D ABC的外接球的表面积为128, AB BC 4 , AC 4、2则三棱锥D ABC体积的 最大值为() 27 A. 32 B . 10 8、6 C 16 .6 33 D 32“ 16.6 3 【答案】 D 【解析】 设外接球的球心为 0,半径为R,则4 R2128 ,故 R 4 2 . 设球心0在底面上的投影为 E , / 0A 0C 0B , EABC 的外心, 又 AB BC 4 , AC,二 AC2 AB2 BC2,即 ABC 为直角三角形, 故E为AC的中点,所以0E , OA2 AE22 6, 设D到底面ABC的距离为h,则h OE R 26 即三棱锥D ABC的体积的最大

14、值为 1 1 4 4 (2 .64 .2) 3 2 32、2 16 用 3 5.如图,在正方形 ABCD中,E , 体, C. F分别是BC , CD的中点,沿 使B , C , D三点重合,重合后的点记为 0是厶AEF的垂心 0是厶AEF的外心 AE , AF , EF把正方形折成一个四面 B. 0是厶AEF的内心 0,则下列说法正确的是 () D. 0是厶AEF的重心 【答案】A 【解析】由题意得,可知 PA , PE , PF两两垂直, 由PA 平面PEF,从而PA EF , 而PO 平面PEF,从而PO EF,所以EF 平面PAO,所以EF AO , 同理可知AE FO , AF EO

15、,所以0是厶AEF的垂心,故答案为 A. 6如图,侧棱长为2.3的正三棱锥V ABC中,AVB BVC CVA 40,过A作截面AEF与VB、 VC分别交于E、F点,则截面 AEF的最小周长是 【答案】6 【解析】如图所示,将正三棱锥 V ABC沿侧棱VA展开. 当A , E , F三点共线时, AEF的周长最小,在展开图中应为直线段,此时AEF的周长 l AE EF FA 2ASsin 602 2,3 sin60 6 7如图,在三棱锥 P ABC中,D , E分别为AB , PB的中点,且ED AB , PA AC , PC BC (1)求证:BC 平面PAC ; (2)若PA 2BC且AB

16、 EA,三棱锥P ABC的体积为1,求点B到平面DCE的距离. 【答案】 (1) 【解析】 (1) ED AB D , E分别为 又 PA PA AB , 证明见解析;(2)上3 AB , PB的中点, PA/ED , AC ,且 AB I AC A, AB 面 ABC ,AC 面 ABC , PA 面 ABC , / BC 面 ABC , PA BC / PC BC,且 PAI PC P ,PA 面 PAC , PC 面 PAC BC 面 PAC (2)设 AB x , B点到平面DCE的距离为h D为AB中点, ED AB , EB EA , ED .3 X , 2 E分别为 AB PB的中点,

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