【文数】2020届高考二轮精品复习资源专题八立体几何

1、数学 专题八立体几何 考向预测 1理解和掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征； 2能掌握并灵活利用柱、锥、台、球表面积和体积的公式； 3简单的几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型； 4 能利用直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质解决问题; 5.能空间直线与平面，平面与平面垂直的判定与性质解决问题. 知识与技巧的梳理 1空间几何体的表面积与体积 (1) 多面体的表面积 S棱柱表=S棱柱侧+2S底，S棱锥表=S棱锥侧+S底，S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底. (2) 旋转体的表面积 圆柱：S表 =2 r(r丨)，其中r为底面半径，I为母线长； 圆锥：S表 = r(r I

2、)，其中r为底面半径，丨为母线长； 2 2 圆台：S表 = (r r r I rl)，其中r,r为上、下底面半径分别，I为母线长; 球体：S球=4 r2，其中r为球的半径. (3) 几何体的体积公式 柱体：V柱体二Sh，其中S为底面面积，h为高； 椎体：V锥体二Sh，其中S为底面面积，h为高； 3 台体：V台体= g(SSS S)h，其中S、S分别为上、下底面面积，h为高; 43 球体：V球=r ,其中r为球的半径. 3 2空间点、直线、平面之间的位置关系 (1) 平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 公理2:过不同在一条直线上的三点，有且只有

3、一个平面. 推论1:经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一直线的两条直线平行. 3.直线、平面平行的判定及其性质 (1) 直线与平面平行的判定定理 文字语言：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号语言：a , b , a/b a/. 图形语言：如下图. (2) 直线与平面平行的性质定理 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

4、行. 符号语言：a/, a , I b a/b. 图形语言：如下图. (3) 平面与平面平行的判定定理 文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号语言: a ,b , al b P, a/, b/ / 图形语言：如下图. (4) 平面与平面平行的性质定理 文字语言：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言：/ ， I a， I b a/b. 图形语言：如下图. 4.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)直线与平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 符号语言：丨 a, l b,

5、a , b , a I b P l . 图形语言：如下图. (2) 直线与平面垂直的性质定理 文字语言：垂直于同一个平面内的两条直线平行. 符号语言：a , b 图形语言：如下图. a/b. (3) 平面与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号语言:l 图形语言：如下图. 图形语言：如下图. a (4) 平面与平面垂直的性质定理 文字语言：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言: 限时训练 (45分钟) o经典常规题 1已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 A .33B.34 6，圆心角为一的扇形，则圆锥的高为( 3

6、C. . 35D 5 【答案】C 【解析】因为侧面展开图是一个半径为 6，圆心角为i的扇形，所以圆锥的母线长为 设其底面半径为r ,则 62 r，所以r 3 1，所以圆锥的高为.36 135 -BC 2 2如图，在三棱锥 P ABC中， PAC为正三角形， M为棱PA的中点，AB AC , AC 平面PAB 平面PAC (1) 求证：AB 平面PAC ; (2) 若AC 2，求三棱锥P BMC的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 1 【解析】(1)v PAC为等边三角形，且 M为PA的中点， CM PA 平面PAB 平面PAC，平面PAB I平面PAC PA , CM 平面PAC , C

7、M 平面 PAB , AB 平面 PAB , AB CM 又 AB AC , CM I AC C , AC、CM 平面PAC , AB 平面 PAC (2) AB AC，且 AC 2 , BC 2 AC 4 , - AB BC2 AC22.3 又 PAC是边长为2的等边三角形，且 M为PA的中点, CM PA，且 CM PC sin60 .3 , 即厶PMC的面积为S PMC 1 PM 2 CM 1 2 i . 三棱锥O BMC的体积为 VP BMC Vb PMC i 3 S PMC AB 3 i23 i 32 高频易错题 1在正方体ABCD AiB1C1 Di中，P , Q分别为ADi ,

8、B1C上的动点，且满足 AP 3Q，则下列4个 命题中，所有正确命题的序号是（） 存在P，Q的某一位置，使 AB/PQ ； 、BPQ的面积为定值； 当PA 0时，直线PBi与直线AQ 一定异面; 无论P， Q运动到何位置，均有 BC PQ . A .B .C.D . 【答案】D 【解析】当P , Q分别为棱ADi , BiC的中点时满足，正确； 1 2 当P与A重合时：S ABP a ； 2 当P与Di重合时：s BPQ a2 （ a为正方体边长），错误； 当PA 0时，假设直线PBi与直线AQ是共面直线，则 AP与BiQ共面，矛盾，正确; 如图所示： F , G分别为P , Q在平面内的投影

9、，易证 BC 平面PFGQ，正确. 2在三棱锥P ABC中，平面PAB 平面ABC , ABC是边长为2、-3的等边三角形，其中PA PB .7 , 则该三棱锥外接球的表面积为 数学 【答案】 65 4 O，使得 PO OC . 【解析】如图所示，作 AB中点D，连接PD、CD , 在CD上作三角形 ABC的中心E，过点E作平面ABC的垂线，在垂线上取一点 三棱锥底面是一个边长为2、3的等边三角形，E为三角形的中心, 三棱锥的外接球的球心在过点E的平面ABC的垂线上, / PO OC , P、C两点在三棱锥的外接球的球面上，O点即为球心, 平面 PAB 平面 ABC , PA PB , D为A

10、B中点, 平面ABC , cd 、CA AD2、12一3 3，CE 2CD 2, 3 DE CD CE 1, PD PB2 BD2 设球的半径为r，则有 PO OC r，OE OE)2 DE2 PO2, 即(2. r2 4)2 1 解得 65 16， 故表面积为S 4 r2 65 4 O精准预测题 1.设 a , b为两条直线， 为两个平面, F列四个命题中, 正确的命题是（ A .若a b与所成的角相等，则a/b B .若 a/ b ，则 a/b C.若a ,b , a/b，贝U / D.若a ，则a b 【答案】 【解析】 A选项中两直线a , b还可能相交或异面，错误; B选项中两直线a

11、 , b还可能相交或异面，错误; C选项两平面，还可能是相交平面，错误，故答案为 2个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）cm3 正视因左视图 T/ 俯视图 13 3 B. 4 三 C.匕D. 4 2 333 【答案】C 【解析】由三视图知，几何体是长方体与四棱锥的组合体，长方体的体积为.2 .2 2 4 ； _2 四棱锥的底面是边长分别为 2，-. 2的矩形，四棱锥的高为 2 , 2 三棱锥的体积为 2 143 即几何体的体积 V 4( cm ). 3 3 B .平面 CBiDi 平面 Ai BiCi Di 3如图，多面体 ABCD ABQDi为正方体，则下面结论正确

12、的是( A. A.B/B.C C.平面CBiDi/平面AiBDD.异面直线AD与CBi所成的角为30 【答案】C 【解析】在A中，若AiB/BiC，由AiB/CDi，得BQCDi，矛盾，A不符合题意； 在B中， BBi 平面A)B1C1D1,a平面BBiDiD 平面AiBiCiDi,则平面CBiDi 平面AiBiCiDi也是错 误的，B不符合题意； 在 C 中， AiB/CDi , A1D/CB1，平面 CBiDi/ 平面 ABD , C 符合题意； 在D中，多面体 ABCD AiBiCiDi为正方体，BCBi 45 ,又AD/BC,. AD与CBi所成角为45 , D不符合题意. 4.已知三

13、棱锥D ABC的外接球的表面积为128, AB BC 4 , AC 4、2则三棱锥D ABC体积的 最大值为（） 27 A. 32 B . 10 8、6 C 16 .6 33 D 32“ 16.6 3 【答案】 D 【解析】 设外接球的球心为 0，半径为R，则4 R2128 ，故 R 4 2 . 设球心0在底面上的投影为 E , / 0A 0C 0B , EABC 的外心， 又 AB BC 4 , AC，二 AC2 AB2 BC2，即 ABC 为直角三角形, 故E为AC的中点，所以0E , OA2 AE22 6， 设D到底面ABC的距离为h，则h OE R 26 即三棱锥D ABC的体积的最大

14、值为 1 1 4 4 (2 .64 .2) 3 2 32、2 16 用 3 5.如图，在正方形 ABCD中，E , 体, C. F分别是BC , CD的中点，沿 使B , C , D三点重合，重合后的点记为 0是厶AEF的垂心 0是厶AEF的外心 AE , AF , EF把正方形折成一个四面 B. 0是厶AEF的内心 0,则下列说法正确的是 （） D. 0是厶AEF的重心 【答案】A 【解析】由题意得，可知 PA , PE , PF两两垂直, 由PA 平面PEF，从而PA EF , 而PO 平面PEF，从而PO EF，所以EF 平面PAO，所以EF AO , 同理可知AE FO , AF EO

15、，所以0是厶AEF的垂心，故答案为 A. 6如图，侧棱长为2.3的正三棱锥V ABC中，AVB BVC CVA 40，过A作截面AEF与VB、 VC分别交于E、F点，则截面 AEF的最小周长是 【答案】6 【解析】如图所示，将正三棱锥 V ABC沿侧棱VA展开. 当A , E , F三点共线时， AEF的周长最小，在展开图中应为直线段，此时AEF的周长 l AE EF FA 2ASsin 602 2,3 sin60 6 7如图，在三棱锥 P ABC中，D , E分别为AB , PB的中点，且ED AB , PA AC , PC BC (1)求证：BC 平面PAC ; (2)若PA 2BC且AB

16、 EA，三棱锥P ABC的体积为1，求点B到平面DCE的距离. 【答案】 (1) 【解析】 (1) ED AB D , E分别为 又 PA PA AB , 证明见解析；（2）上3 AB , PB的中点， PA/ED , AC ，且 AB I AC A, AB 面 ABC ,AC 面 ABC , PA 面 ABC , / BC 面 ABC , PA BC / PC BC，且 PAI PC P ,PA 面 PAC , PC 面 PAC BC 面 PAC (2)设 AB x , B点到平面DCE的距离为h D为AB中点, ED AB , EB EA , ED .3 X , 2 E分别为 AB PB的中点，