初中数学重要的九大几何模型

.初中数学九大几何模型模型一：手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形DOOCDEBECAAB图1图2△和△OCD均为等边三角形；①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③平分∠AED（2）等腰直角三角形DDOOCEECABAB图1图2△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形..△和△OCD均为等腰三角形；且∠COD=∠DOOC①△OAC≌△OBD；DEE②∠AEB=∠AOB；C③平分∠AEDABAB图1图2模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况OOCD∥，DCDE将△OCD旋转至右图的位置CABAB①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情况DOOCBECD∥，∠AOB=90°CD将△OCD旋转至右图的位置ABA①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；12⑤连接、BC，必有AD2BC22CD2；⑥S..模型三：对角互补模型ADC（1）全等型-90°①∠AOB=∠DCE=90°；②平分∠OEB图112①CD=CE；②OD+OE=2OC；③SSS2证明提示：AMC①作垂直，如图2，证明△≌△CEND②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△※当∠DCE的一边交的延长线于D时（如图4ONEB图2以上三个结论：①CD=CE；②2；A12③SS2CMACDBONEOEFB（2）全等型-120°图3D图4①∠AOB=2∠DCE=120°；②平分∠3①CD=CE；②OD+OE=OC；③S证明提示：①可参考全等型-90°”证法一；SS24②如右下图：在OB上取一点，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。AACCFFOEBOEFB..（3）全等型-任意角ɑ①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；①平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③DCEOCDOCEOC2ααACDOBE模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1①正方形ABCD②∠EAF=45°；①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；DDF①∠EAF=45°；AAFBECGBEC（2）角含半角模型90°---2①正方形ABCD；②∠EAF=45°；①EF=DF-BE；..AAADDDCFCFCFEBEBEB（3）角含半角模型90°---3①△ABC；②∠DAE=45°；BD222（如图1）若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论BD222仍然成立（如图2）AAFBDEACBDECFABCBCDEDE（4）角含半角模型90°变形ADFADFHHGGBCBCEE..①正方形ABCD；②∠EAF=45°；△为等腰直角三角形；证明：连接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型ADADFFBCEHBEH①矩形ABCD②BD=BE；③DF=EF；⊥CF模型提取：①有平行线∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△。（2）倍长中线类模型---2FAAMMDDEEBCBC..①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；∠EMD=3∠MEAAB∥CDAM=DMEM△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360°旋转模型CCGFFDDABABE（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法①△ADE、△均为等腰直角三角形；②EF=CF；①DF=BF；②DF⊥到点FG=DFCGBGBD△为等腰直角三角形；突破点：△ABD≌△CBG；难点：证明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法..CCGFDFADBABEEH①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；①DF=BF；②DF⊥BF△AEG△AHC；辅助线思路：将DF与BF转化到CG与。（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法HOGODDAABBEECC①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；①AE=DE；②∠AED=2∠到AG=ABCD到点H使DH=CD△OGB、..△OCH构造旋转模型。转化与到CG与BH，难点在转化∠AED。（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法OODADABECBECM①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；①AE=DE；②∠AED=2∠辅助线：延长至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，将△AMD∽△继续转化为证明△∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）A总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：两点之间，线段最短：解决；特点：①动点在直线上；②起点，终点固定BPA+PBlPB'..1PAAABP12BQl2QPQB（2）最短路程模型二（点到直线类1）①平分∠AOB②M为③P为上一动点；④Q为上一动点；MP+PQ最小时，、Q的位置？辅助线：将作Q关于对称点，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥，A则MP+PQ=MP+PQ’MH(垂线段最短）AHQQ'POBPM（3）最短路程模型二（点到直线类2）A(0,4),B(-2,0),P(0,n）5n为何值时，最小？55①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=②过B作BD⊥ACy轴于51点E，即为所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）2..yyAAPOPDEBBxOCx（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）BA最小值位置O最大值位置①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；AB的最大值，最小值分别为多少？OOB三角形两。最大值：OA+OB；最小值：OA-OBBCAOP①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，为半径作圆；③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；的最大值为10OC=6的最小值为1OC=3；若的最小值为2，则PC的取值范围是0<PC<2..CPCPBOAAOB①△OBC，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④点P为⑤△绕点O旋转1最大值为OA+OB=123；的最小值为312如下图，圆的最小半径为O到垂线段长。模型八：二倍角模型△ABC中，∠B=2∠C；辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点，连接、、注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。AAA'BCBC模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型--基本型..AA平行类：DE∥BC；EDADEDEBCBCBCA字型8字型A字型结论：(注意对应边要对应）AAE（2）相似三角形模型---斜交型∠AED=∠ACB=90°；BAE×AB=AC×ADEDCDBC斜交型斜交型AAE∠ACE=∠ABC；AC=AE×ABEB斜交型CBC双垂型第四个图还存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC=BE×BA；CE=AE×BE；（3）相似三角形模型---一线三等角型E1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；A（2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=