求极限的方法总结

1、求极限的方法总结1约去零因子求极限例1 ：求极限X4 -1X -1【说明】X 1表明X与1无限接近，但x-二1，所以X-1这一零因子可以约去【解】lim（X _1）（x_1） = lim （x 1）（x2 1）=4x 12习题:x-3 x -2x 1 lim 2 lim 2 x)3x -9 x ：1x -12 分子分母同除求极限x3 _x2 lim 3 例2 :求极限x3x 1【说明】二型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求解32X -Xlim3J: 3x311 -丄=lim x_3 2【注】（1）一般分子分母同除G的最高次方；且一般G是趋于无穷的n丄 anXan jXn 1

2、.aolim mm4X %Xm bm4Xm4boanbnm nm：nm=n3x +4x2 +2比 n2 +1 + Jn习题 lim 3X34X22limn1nx ；：7x5x-3n4 n3 n2nlim nr： 33n (-5)n 1 (-5)nn+1limn ）：(T)32n 3n3 分子（母）有理化求极限例1:求极限凹3二市）【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式解:2:2(J X + 3lim (. x 3 7 x 1) = lim X ,X J :二x2_1)(_x2_3_x2_1),x23、x21=lim0x -lx2 3、x21+tan x J1 +sin x li

3、m求极限x 50tanx - sin x解1+tanx -+sinxlim3lim 3 x 10xx x . 1 tanx - 1 sinx1tan x , 1 sitan x-sin x 1 tan x-sinxlim2 x a【注本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键习题:lim - x2x -x 1 limX 厂x1：3x 1 -2x -14.用函数的连续求极限(当岡数连续时，它的函数值就是它的极岷值.)2x 3x 4 lim 厂x 10 x 2【其实很简单的5.利用无穷小与无穷大的关系求极限lim 77例题厂3 3-x【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分

4、子不为 时就取倒数！0而分母为06.有界函数与无穷小的乘积为无穷小例题limxacsin xxarcta n x limxx7.用等价无穷小量代换求极限【说明(1) 常见等价无穷小有：当 xt 0 时 x sin x tan x arcsin x arctan x ln( 1 + x)ex _ 11 2b1 - cosx x , 1 ax -1 abx2 ；(2) 等价无穷小量代换，只能代换极限式中的 因式；(3) 此方法在各种求极限的方法中 应作为首选。xln(1 x) lim=求极限x 30 .cosxxln(1 x)广 x x c limlim2【解】x 卩 1 -cosx x 1 2

5、x2sin x xlim3求极限x 50 tan x【解】sin x x lim 3 x 10 tan xsin x x =limx_0COSX 13= lim2x3x Q 3x21 22X2习题xl n(13x)2 1 tan(x sin ) xsin xsin xta nx叫 arctan(x2)四x sin xe -elimlim 一x 10 x-sinx x 0(3 x2 1 -1)(.1 sinx-1)lim1= lim(1 x)，= e,第x 0说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，sin 3x2lim1 lim (1 - 2x)，x 二 e例如：x 0 3x , x 0+ 1T

6、一 i-1还应能够熟练运用它们的变形形式,xlim (13)3 二 exx; 等等。例1 ：求极限li【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑1匚，最后凑指8.应用两个重要极限求极限=lim (1 丄)nn厂n两个重要极限是凹于“和四仆1)一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。数部分。【解】xlm： x-1飞X2Ix -1=limx42一1丿=e2lim匕字 例 2 x 0 3x2 x2si n29解：原式=叫c 22迥x0 3 xxx2 12(2)22si n2lim (1 -3sin x)x例3 x 0_6sin x1_6sin xlim (1

7、解：原式=J0-3si nx)= lim(1-3sinx)歸和二x 0lim (n 2)n例4n匚nlim (1解：原式=n匚n 申-3n= lim()丹=en (1) lim G -4r i习题：x_. x2x 2aI已知叫r =8，求a9.夹逼定理求极限例题：极限时片n2 n【说明】两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。所以lin2I1Mn2 +n 丿1.n2 n n21:nn =1=lim n 匸.n2121.n22n2 n=1习题:证明下列极限nim：Fm：n(亡2二1k110.数列极限中等比等差数列公式应用(等比数列的公比q绝对值要小于1)。11.利用x 1和xn与极限相同求极限例题:已知 x 2 , Xn 1 二, 2 Xn , (n = 1, 2，)，求 ”m： xn解：易证：数列Xn单调递增，且有界(0V X n 2 ),由准则1极限nmxn存在，设吨人二3。对已知的递推公式Xn12 *沧两边求极限，得：2 a，解得：a = 2或a