导数与最值解题方法指导

1、v1.0可编辑可修改当求解函数的最值问题时，所用的一般都是配方法、二次函数 图象、反函数法、换元法、判别式法或基本不等式等常用的方法，但 有些问题仅用上述初等方法不能解决或解答起来较繁琐，学了导数 后，这种困惑大多可迎刃而解。本文以几道典型题目为例，和大家共 同探讨用导数求最值的方法步骤以及需要注意的问题。一、求函数在特定区间上的最值例1:求函数f(x)二x2-4x+6在区间1，5内的最大值和最小值。 题目分析：函数在特定区间上的最值一般有两种情况：(1) 如果函数f (x)在a, b上单调增加(减少)，贝S f (a)是f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b)是f (x)在a, b

2、上的最大值(最小值)。 如果函数在区间a, b内有极值，将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值正确解答：f(x)=2x-4，令 f(x)=O,即 2x-4=0,得 x=2。x1(1, 2)2(2, 5)5/y负0正y3减2增11故函数f(x)在区间1 , 5内有极小值为2,最大值为11，最小值为2。总结升华：求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间(a ,b)内的极值(极大值或极小值)(2) 求出区间端点处的函数值；(3) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大 值，最小的一个最小值。趁热

3、打铁：求函数y = x3 + 3 x2 9x在上4 , 4 的最大 值和最小值。题目解析：(1)由 f (x)=3x2 +6x 9,得驻点为Xi二一 3, X2=1驻点处的函数值为f ( 3)= 27, f (1)= 4区间端点4 , 4处的函数值为f ( 4) =20 , f =76 比较以上各函数值，可知函数在4, 4 上的最大值为f (4)=76,最小值为 f ( 3)= 27。警铃长鸣：1、看清楚题目中给的条件到底是开区间还是闭区间，若 是闭区间，则将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一 个为最大值，最小的一个最小值；若是开区间，则不需要和端点值比 较。2、求函数

4、极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但 不是充分条件。二、实际应用中的最值问题 例2:把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少题目分析：建立面积和正方形的周长的函数关系，再求最小值.正确解答：设一段长为xcm则另一段长(16 x)cm.二面积和5 S= 4 2,令 S= 0 有 x = 8列表:x(0 , 8)8(8 , 16)S，一0+当x = 8时，S有最小值8cm.总结升华：这是解实际应用题的一般方法.先构造函数关系，再求满足条件的解，极值或最值。趁热打铁：如图所示，在二次函数f(x)=4x-x 2的图象与x轴所围成图 形中有个内接矩形ABCD求这个矩形面积的最大值。题目解析：设点B的坐标为(x,0)且0x2,2 . _ f(x)=4x-x图象的对称轴为x=2, 点C的坐标为(4-x,0), |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x。二矩形面积为 y=(4-2x)(4x-x 2)=16x-12x 2+2x3y =16-24x+6x2=2(3x2