(完整word版)全参数方程与极坐标(精华版)

1、实用标准文案参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、 定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，：x= f （t）即 y= f（t），其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点 m（x， y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（X。, yo）,半径等于r的圆：x =x0 r costy=yorsi（二为参数，二的几何意义为圆心角），屮x = r cos日特殊地，当圆心是原点时，:.i y = r sin 日注意：参数方程没有直接体现曲

2、线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。 2 2Eg1：已知点P （x, y）是圆x +y -6x-4y+12=0上的动点，求:2 2（1）x +y的最值；（2） x+y的最值；（3）点P到直线x+y-仁0的距离d的最值。文档Eg2：将下列参数方程化为普通方程(1) x=2+3cos 二x=s iny=3s invy=cos(3) -x=t+ -+t2y=t总结：参数方程化为普通方程步骤:(1)消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程:中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆:（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的

3、长轴和短轴为半径画两个同心圆, r X = x0 + a cos日的轨迹是椭圆，中心在（X0, y。）椭圆的参数方程：.y = y0 +bs in 日X2V2Eg：求椭圆=1上的点到M （2,0 ）的最小值。36203、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线:（二为参数，代表离心角），中心在（xo, yo），焦点在x轴上的双曲线:= x0 aseG Y = V btan4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上的抛物线：x = 2pt2y =2pt（t为参数，p0, t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方

4、程过定点Po （xo, yo）,倾角为:的直线，P是直线上任意一点，设 PoP=t, PoP叫点P到定点X = x0 t cos：Po的有向距离，在Po两侧t的符号相反，直线的参数方程-yryotsin（t为参数,t的几何意义为有向距离）说明：t的符号相对于点Po,正负在Po点两侧丨 PoP | = | t Iy y + a*直线参数方程的变式：0，但此时t的几何意义不是有向距离，只有当 t前面系y = y +bt数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得X = x0a a2b2(a2 b2t)by=y0a2 b2(,a2 b2t)，让.a2 b2t作为t，则此时t的几何

5、意义是有向距离。Eg：求直线 x=-1+3t.y=2-4t ，求其倾斜角极坐标知识回顾：一、定义：在平面内取一个定点0,叫做极点，引一条射线 Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点 M,用p表示线段 0M的长度，B表示从Ox到0M的角，p叫做点M的极径，B叫做点M的极角，有序数对（p , 0 ） 就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。IMji)C (3,)4练习：在同一直角坐标系中，画出以下四个点JIA (1 , -) B (2,4思考：上述点关于极轴以及极点的对称点,即极径；角度单位及它的说明：（1）极坐标有四个要素：极点；极轴；

6、长度单位 方向，即极角.（2）在极坐标系下，一对有序实数二对应唯一点P（ J，二），但平面内任一个点P的极坐标不唯一，因为具有周期（3）如无特殊要求，则极径取正值直角坐标与极坐标的互化:直角坐标（x, y）极坐标（：、，vP = Jx2 + y2yLtan日=上x极坐标（J ,二） 直角坐标（x, y）x=T COST5= P sinO练习练习1:将下列直角坐标化为极坐标A （ 1,-1 ） B （1 , n）2：将下列极坐标化为直角坐标2 二练习A（ 2，）B（ 1，2）33:分别求下列条件中 AB中点的极坐标(1)(2) (4,二、直线的极坐标方程COS0acosn匸二si n日Masin

7、图5si n日sin71三、圆的极坐标方程：?二-2 a cos图4? =2asi nv-2asin四、圆锥曲线统一方程(椭圆、抛物线、设 OA =P双曲线)MOP ep=e = e n P =MN p cosr1 -ecos-其中，当0e1为双曲线考点一：直线参数方程中参数的意义.1.已知直线I经过点P(1,1),倾斜角6(1)写出直线I的参数方程。(2)设I与圆x2 y2 =4相交与两点 代B，求点P到A,B两 点的距离之积。3Tx = 1 tcos 解：(1)直线的参数方程为6y = 1 tsi n I6f d屁x =1 t ，即2y =1t2f 丽x = 1 t(2)把直线2 代入,1

8、 y =1 t 2(1 乜t)2 (1 3)2 =4,t2 (一3 1)t -2 =02 2址2 - -2，则点P到A,B两点的距离之积为 210222过点P（丁,0）作倾斜角为的直线与曲线x 12y二1交于点M , N，求 PM PN102j = tsi na解：设直线为2x=+tcos。（t为参数），代入曲线并整理得(1 sin2 ： )t2 (. 10cos： )t 3则 PM PN=t1t21 sin2:所以当sin2。=1时，即a = , PM - PN的最23 TT小值为一，此时:-:4 2x =1 +2t3直线（t为参数）被圆x2 y2 =9截得的弦长为g+tx = 1、5t _

9、 _【解析】：x=2t=.i，5，把直线x=2t代入沪t|y十阳4旷羽IV5x2y2二 9得(1 2t)2(2 t)2 =9,5t2 8t -4 =0=J(t1 +t2)2 _4址2 = J(_8)2 二12，弦长为 V5|t1 _t2X 555= 12.-55的值及相应的:-的值。4.直线x =1t2；（t为参数）和圆y = 33 虫 tI2为x2 y16交于A, B两点，贝y AB的中点坐标1 J3解： (1 t)2 (-3、3 t)2 =16 ,2 2得 t2 8t -8 =0 , h t2 =8丄t21x =14I 2 中点为考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定1.直

10、线x沁y =tsi nB与圆x2c如相切，则八y =2si na2.在极坐标系中，已知圆-2C0SV与直线3COST 4si nr a = 0相切，求实数a的值。考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题1.在极坐标系匕二，0岂二：:2-中，曲线- 2sinr 与tcost - -1 的交点的极坐 标为I x 5 cos X = t?2.已知两曲线参数方程分别为xs (0)和4 (r R),它们的交点y=s in，y=t极坐标为 考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题|X =1 +tL1.求直线l1:- （t为参数）和直线l2 ： x - y -2、，3=0的交点P的坐标，及点

11、Py 一5、3t与Q（1,-5）的距离。I x = 1 + 3t2.已知直线h :（t为参数）与直线l2:2x-4y =5相交于点B ,又点A（1,2）,则y =2 _4tAB =x=2丄3.直线2 （t为参数）被圆x2十y2 =4截得的弦长为 y - -1 -t2二、距离最大最小问题2 2X y4.在椭圆1上找一点，使这一点到直线 x -2y -12 =0的距离的最小值。16 12Icos日 一 V3sin 日 一34*5=出 2cos(T + ?) 353rJi当 COS一)=1 时，dmi3min乞5，此时所求点为（2, -3）。52 25.点P在椭圆X 匕=1上,169求点P到直线3x

12、 -4y二24的最大距离和最小距离。解：设 P(4co,3sin 讨，则 d 二 T-1224 即 d512 V2 cos但+卫) 2445兀12I当 cos（ ） 一1 时，dmax （22）4512 l dmin（2-、2）。5考点五：极坐标方程与参数方程混合1.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为xt,（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆jx =4cos 日4cos 日-3 sin 日-12?l， d 解：设椭圆的参数方程为y = 2 3sinC的方程为T =2、5sin。（I）求圆C的直角坐标方程；（H）设圆C与

13、直线I交于点A、B,若点P的坐标为（3, 5）,求 |PA|+|PB| 。【解析】（I）由=2、5sin 得 x2 y2 -2、5y = 0,即 x2 （ . 5）2 =5.t)2 =5 ,（n）将|的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得 ft）2 （即t2 -3.2t 0,由于斤=（3、2）2-4 4=20,故可设鮎花是上述方程的两实根,所以”乜=3血,又直线i过点p（3,J5）,故由上式及t的几何意义得： 址2二4|PA|+|PB|= | t1|+|t2|=t1 +t2= 3. 2。2.x = 2cos在直角坐标系xoy中，曲线 G的参数方程为（为参数），M为c1上的y = 2 +2s i

14、na动点，P点满足OP/OM，点p的轨迹为曲线C2.（I ）求C2的方程;(II）在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线jr匕与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为 B,求|AB| .解:X Y设p（x , y），则由条件知M牙丁由于M点在G上，所以x2-=2 2sin :2x = 4 cosay = 4 + 4si na3T 1 = 4si n ,3：-2 二 8sin 。3x = 4cos从而C2的参数方程为（为参数）y =4 +4sin a（n）曲线Ci的极坐标方程为 =4si，曲线C2的极坐标方程为3T射线与C1的交点A的极径为3n射线与C2的交点B的极径为3所以 | AB|=|1| = 2、.3.=1 + tcos a,3.已知直线C1:y = tsin a,（t为参数），圆C2:x= cos 0y= sin 0,n（1）当久=时，求C与 C的交点坐标;3(2)过坐标原点 0作C1的垂线，垂足为 A P为0A的中点.当a变化时，求 P点轨迹 的参数方程，并指出它是什么曲线.n解： 当= y时，C1的普通方程为y = 3(