专题：阿氏圆与线段和最值问题,推荐文档

1、专题：阿氏圆与线段和最值问题 以阿氏圆（阿波罗尼斯圆）为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现， 对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下： 阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：一动点P到两定点A、 mm B的距离之比等于定比n（工1），则p点的轨迹，是以定比n内分和外分定线段 AB的两个分点的连线为直径的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发 现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB （k工1）P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+kPB,（k丰1）P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏

2、圆基本解法：构造母子三角形相似 例题1、问题提出： 如图1，在 Rt ABC中，/ ACB = 90，CB = 4，CA= 6，O C半径 为2，P为圆上一动点，连结 AP、BP，求 BP的最小值. （1 ）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2,连接CP，在CB 上取点D，使CD = 1，则有 PD ， PD = CP CB BP，. AP+BP= AP+PD . 2 ，又/ PCD = Z BCP， PCDBCP. 请你完成余下的思考，并直接写出答案: BP的最小值为 二AP+BP的最小值为 （2 ）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下, （3）拓展延伸：已知扇形

3、 COD 中，/ COD = 90，OC = 6, OA = 3, OB = 5，点 P 是一1 上一点，求 2FA+PB的最小值. 【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为Fad =方; 得到 连接CP，在CA上取点D，使CD 丁 PD AP,即: CD_CP_1 CP CA AP+BP = BP+PD，从而丄AP+BP的最小值为 BD; ，则有 ，可证 PCDs ACP, (3) 得到 【解答】解：（1）如图1, 连结AD , 延长OA到点E,使CE= 6，连接PE、OP,可证 OAPs OPE，得到EP= 2PA, 2PA+PB= EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值. .

4、AP+丄BP = AP+PD，要使 AP+二BP 最小， 2 2 AP+AD最小，当点 A, P, D在同一条直线时， AP+AD最小, 即：AP+丄BP最小值为 AD, 2 在 Rt ACD 中，CD = 1 , AC= 6, AD = J V 一 ， AP+*BP的最小值为佰，故答案为：時； D，使 CD = CDCP J_ / PCD = Z ACP, PCDs ACP, - PD = 丄 AP+BP = BP+PD, 3 同（1）的方法得出丄AP+BP的最小值为 故答案为：亠 :; BD =I： = : r - (3)如图3, e 延长0A到点E,使CE = 6, 0E= OC+CE

5、= 12 , 连接PE、0P, / 0A= 3, 坐盘丄 T _， / AOP=Z AOP , OAPs OPE , 坦J_ 丽P， EP= 2FA , 2PA+PB = EP+PB , 当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE= .= 13. 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的 PCD 确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出厶 ACP和厶OAPs OPE，也是解本题的难点. 例题2、问题背景如图1,在厶ABC中，BC = 4, AB= 2AC. 问题初探 请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB = ,AC =

6、问题再探 如图2,在AC右侧作/ CAD =/ B,交BC的延长线于点 D，求CD的长. 求厶ABC的面积的最大值. 问题解决 【分析】问题初探：设AC = x,则AB = 2x,根据三角形三边间的关系知 2x x v 4 且 2x+x 4，解之得出x的范围，在此范围内确定 AC的值即可得出答案; 问题再探: 设 CD = a、AD = b,证厶 DACDBA 得 CD AD AC AE AB r a 1 b2 b 1 ,据此知 4+a 2 解之可得; 问题解决: 设 AC= m、贝V AB= 2m,根据面积公式可得 Saabc = 2m i1 ，由余弦 定理可得 cosC，代入化简 S AB

7、C = ，结合m的取值范围，利用 二次函数的性质求解可得. 【解答】解：问题初探，设 AC= x,贝U AB= 2x, / BC= 4, / 2x xv4 且 2x+x4, 解得：一V xv 4, 取 x = 3,贝y AC = 3、AB = 6, 故答案为：6、3; 问题再探，/ CAD = Z B，/ D = Z D , 则-一= 亠- AC AD BD AB 设 CD = a、AD = b, 冋题解决，设 AC= m、贝U AB= 2m, 根据面积公式可得 Saabc=AC?BCsinC= 2msinC= 2m_ 1 , 2 由余弦定理可得 cosC=： 8 m Smbc= 2m i ,

8、 I =2 1-( 2 80 A 2, 256 由三角形三边关系知 v mv 4, 所以当m = 时 ,Sa ABC取得最大值 16 9 Un 16 2 80 BK，推出PB+丄PA = PB+PK的最小值为 2 BK的长. 【解答】解：如图，取点 K ( 1, 0)，连接OP、PK、BK . = = =丄，/ POK = Z AOP, OA OF 2 POKAOP, 在厶 PBK 中，PB+PK BK, PB+*PA= PB+PK的最小值为 BK的长, B (4, 4), K (1 , 0), BK = I 4 = 5. 故答案为5. 【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质

9、、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的 思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题. 2.如图，正方形 ABCD的边长为4, O B的半径为2, P为O B上的动点，贝U PD丄PC的 最小值等于 BC = 4= CD , BP= 2, EC= 3,可证 PBEs CBP，可得 PE = PC,即当点D，点P,点E三点共线时, PD+PE 有最小值，即 PD pc有最小值, 【解答】解：如图，在 BC上截取BE= 1,连接BP, PE, 正方形ABCD的边长为4, OB的半径为2, BC= 4= CD , BP= 2, EC = 3 .BP

10、 1 BE 且/ PBE =Z PBE PBE CBP .LL讣丄 PE，PC PD+丄 PC = PD+PE 2 当点D，点P,点E三点共线时，PD + PE有最小值，即 PDPC有最小值, PD+丄PC 最小值为 DE =，.|5 := 5 故答案为：5 【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰 当的辅助线构造相似三角形是本题的关键. 3.如图，四边形 ABCD为边长为4的正方形，O B的半径为2, P是O B上一动点，则PD + PE+PD DE 即 可解决问题; PBECBP, 连接DB, PB，在BD上取一点E,使得BE= ，连接EC,作EF丄BC

11、于F.只要 ,推出 PE = PD,推出: PD+4PC= 4 证明 PBEDBP ,可得 PE PB V2 BD PD+PC)= 4 (PE+PC)，根据三角形的三边关系 PE+PC:八、八、 共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求 2PA+PB的最小值. 连结AD，过点A作AF丄CB于点F, APBP = AP+PD，要使 AP兮BP 最小, AP+AD最小，当点 A, P, D在同一条直线时， AP+AD最小, 即：AP+丄BP最小值为 AD, / AC= 12, AF丄 BC，/ ACB = 60 CF = 6, AF = 6 二 DF = CF CD = 6 3= 3 AD =

12、 I =31: (2)如图, 在AB上截取BF = 1，连接PF , PC, / AB= 9, PB = 3, BF = 1 ，且/ ABP =Z ABP, AB 3 BP ABPPBF , 丁 T I : PF = AP 丄 AP+PC = PF+PC, 3 当点F，点P,点C三点共线时，二AP+PC的值最小, CF丄，二,=5 AP+ PC的值最小值为 5 . ：:, (3)如图, 延长0C,使CF = 4，连接BF , OP , PF，过点F作FB丄OD于点M , OC = 4, FC = 4, FO = 8,且 OP= 4, OA = 2, ，且/ AOP=Z AOP OP 2 OF

13、AOPs POF 二亠二二 PF = 2AP 2PA+PB = PF+PB, 当点F，点P,点B三点共线时，2AP + PB的值最小， / COD = 120 / FOM = 60，且 FO = 8, FM 丄 OM OM = 4, FM = 4 .； MB = OM +OB = 4+3 = 7 FB =【= ：? 2PA+PB的最小值为M斫. 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定 和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思 路构造出相似三角形，也是解本题的难点. 7. ( 1)如图1，已知正方形 ABCD的边长为4，圆

14、B的半径为2，点P是圆B上的一个动 点，求PD+丄的最小值和 PD-丄的最大值; (2)如图2，已知正方形 ABCD的边长为9,圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动 点，那么 PD+ PD - 二二厂的最大值为F 3 (3)如图3，已知菱形 ABCD的边长为4，/ B = 60，圆B的半径为2，点P是圆B 【分析】(1)如图1中，在BC上取一点G,使得BG = 1.由 PBGCBP，推出二 PC =竺=丄，推出 PG = = PC,推出 PD+丄PC= DP + PG，由 DP+PG DG，当 D、G、P PB 222 共线时，PD+gPC的值最小，最小值为 DG =护+护=5.由PD -吉P

15、C= PD - PGDG , 当D、G、P共线时，PD+寺PC的值最小，最小值为 / PD - PC= PD - PGw DG, 丄PC的值最大（如图2中），最大值为 DG = 5. 当点P在DG的延长线上时，PD - PBGs CBP, BG = 4. P1_L2_2 -_ PB PG = PC, PD+PC = DP + PG , / DP+PG DG , DG=!I. 当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为 / PD -二PC= PD - PG DG , 当D、G、P共线时，PD+亍PC的值最小，最小值为 DG, 在 Rt CDF 中，/ DCF = 60, CD = 4, D

16、F = CD?sin60 = 2一二 CF = 2, 在 Rt GDF 中，DG =.匚一；亠工-=丁 / PD - PC= PD - PGW DG, 当点P在DG的延长线上时，PD PC的值最大（如图 2中），最大值为 DG = . 故答案为.I J 【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、 两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的 思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题. (1)把 A (- 4,- 4), B (0, 4)代入 y=- x2+bx+c 得 一1 区一第 4亡二-4

17、L 口 抛物线的解析式为 y=- x2- 2x+4 ; (2)设直线AB的解析式为y= kx+m, 把A (- 4, - 4), B (0, 4)代入得一业+岸-4,解得丿k=2 直线AB的解析式为y= 2x+4, 设 G (x,- x2 - 2x+4)，贝U E (x, 2x+4), / OB/ GE, 当GE = OB时，且点G在点E的上方，四边形 GEOB为平行四边形， - x2- 2x+4 -( 2x+4)= 4，解得 xi = x2=- 2，此时 G 点坐标为(-2, 4); (3)存在. 当 x = 0 时，y=-二x- 6=- 6，贝y C ( 0,- 6), / AB2= 42

18、+82= 80, AC2= 42+22= 20, BC2= 102= 100, AB2+AC2= BC2, BAC为直角三角形，/ BAC = 90, / AHF = / AEF , 点H在以EF为直径的圆上， EF的中点为 M，如图，设 H (0, t), G (- 2, 4), E (- 2, 0), F (- 2,- 5), r M (- 2,-亍)， / HM = EF, - 22+ (t+二)2= X 52,解得 t1=- 1, t2=- 4, H点的坐标为(0，- 1)或(0,- 4). 【点评】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行 四边形的判定；

19、会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三 角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公 式. 2 9.如图1,抛物线y= ax + (a+3) x+3 (0)与x轴交于点 A (4, 0),与y轴交于点B, 在x轴上有一动点 E (m, 0)( 0v mv 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N,交 抛物线于点 P,过点P作PM丄AB于点M . (1 )求a的值和直线 AB的函数表达式； 求m的值; (2)设厶PMN的周长为 &, AEN的周长为C2，若 (3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到 OE,旋转角为a( 0 P 8 % E A v aV 90），连接 E A、 【分析】(1 )令y= 0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出 a，根据待定系数法 可以确定直线AB解析式. (2)由厶PNMANE，推出目=学，列出方程即可解决问题. AN 5 4 (3 )在y轴上 取一点M使得OM =,构造相似三角形， 可以证明AM就是E A+ E B的最小值. 3 【解答】