丰台区2015年高三年级第二学期数学理科统一练习+评分标准

1、2015.3丰台区2014 2015学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科）第一部分（选择题共40 分）选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数37 对应的点的坐标为4i(A) (1, 1)(B) ( 1,1)17(C) (25, 1)17(D)(, 1)52.在等比数列an中，a3a44, a22，则公比q等于(A) -2(B) 1 或-2(C) 1(D)1 或 23.已知双曲线1(a0,b0）的一条渐近线方程是y 、3X ,它的一个焦点坐标为（2,0）,丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第3页共12页则双曲线的

2、方程为2X(A)22X(B)62(C) X2X 2(D) y 134.当n=5时,(A) 7S值是(C) 11(D) 165.在极坐标系中，曲线执行如图所示的程序框图，输出的（B）10俯视图cos 2sin60与极轴交于A,B两点，贝U A, B两点间的距离等于(A)、3(B)2,3(C) 2.15(D) 46.上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是(A) 4(B) 5(C) 3、2(D) 3 3个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原317.将函数y cos（x）图象向左平移2 6来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是(A) y cos(x+ 6)(B

3、)1y cos x4(C) y cosx(D) y cos( x )43&如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B , C分别在x轴和y轴非负半轴上，点 A在第一象限，且 BAC 90 , ABAC4，那么0, A两点间距离的(A)最大值是4.2，最小值是4(B)最大值是8，最小值是(C)最大值是4,2，最小值是2(D)最大值是8，最小值是第二部分、填空题共6小题，每小题5分，共(非选择题30分.共110分)9 .定积分 0 (x cosx)dx10.已知二项式2(x -)n的展开式中各项二项式系数和是x16,则 n=，展开式中的常数项是11.若变量x,y40,y满足约束条件xy40,则z 2

4、xxy0,y的最大值是12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x 0时,f(x) x2函数g(x) f (x) m (m R)恰有4个零点，贝y m的取值范围是13.如图，AB是圆0的直径，CD与圆O相切于点DCD=; AD=,AB=8, BC=1 ,14.已知平面上的点集 A及点P ,在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点 P到集合A的距离，记作d(P, A).如果集合A=(x, y) | xy 1(0 x 1)，点P的坐标为(2,0)，那么 d(P, A);如果点集 A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集D P|0 d(P,A) 1所表示的图形的面积为 .二、

5、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题共13分)xxx 1已知函数f(x) cos23sincos(0)的最小正周期为2 2 2 2(I)求 的值及函数f(x)的最大值和最小值；(n)求函数f(x)的单调递增区间.16. （本小题共13分）甲、乙两人为了响应政府 “节能减排”的号召，决车型ABC甲1Pq乙1734定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主 流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型， A: 80R 150, B: 150250.甲从A, B, C三类车型中挑选，乙从 B, C两 类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型

6、的概率如下表：3若甲、乙都选 C类车型的概率为.（I）求p , q的值；（n）求甲、乙选择不同车型的概率;10（川）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表:车型ABC补贴金额（万元/辆）345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列.D17. （本小题共14分） 在如图所示的几何体中， 四边形ABCD为正方形，PA 平面ABCD ,PA/BE , AB=RA=4, BE=2 .（I）求证：CE/平面PAD ；（n）求PD与平面PCE所成角的正弦值； （川）在棱AB上是否存在一点F ,使得AF平面DEF 平面PCE ?如果存在，求的值；AB如果不存在，说明理由.18. (本小题

7、共 13 分)设函数 f (x) ex ax ， x R(I)当a 2时，求曲线f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(n)在(I)的条件下，求证：f(x)0 ；(川)当a 1时，求函数f (x)在0, a上的最大值.丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 # 页 共 12 页19. (本小题共14分)2 2 已知椭圆C :笃爲 a b1(a b 0)的离心率为2.32右顶点A是抛物线y2 8x的焦点.直丰台区高三数学第二学期统一练习(一)(理科)第5页共12页线丨：y k(x 1)与椭圆C相交于P，Q两点.(I)求椭圆C的方程；uuuu uuu uuirk的值.(n)如果 AM

8、 AP AQ，点M关于直线I的对称点N在y轴上，求20. (本小题共13分)如果数列 A: a1, a2，am(m Z ,且 m 3)，满足： ai Z , ai (i 1,2,L ,m);2 2q a2 L am 1，那么称数列 A为Q”数列.(I)已知数列 M ： -2, 1, 3, -1 ；数列N : 0, 1, 0, -1, 1.试判断数列 M , N是否为“ 数列；(n)是否存在一个等差数列是“数列？请证明你的结论；(川)如果数列 A是“数列，求证：数列 A中必定存在若干项之和为 0.丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）数学（理科）参考答案9.210.4,2411 .1

9、2. ( 1,0)13.3,12 10514.1, 6注：第10, 13, 14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分.二、解答题：15.（本小题共13分）x解：（I） f （x） cos2 -2x x 1 -cos一 -1 cos x.3 .sin23 .sin21cos2sin(2因为T 0，所以题号12345678答案ABCCBDCA选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.6小题，每小题5分，共30分.、填空题：本大题共2丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第7页共12页所以1sin (2x才1 .所以函数f （x）的最大值为1,最小值为-1.8分n)令 2k2x2k(

10、k Z),262得2k-2x2k(k Z),33所以kxk(kZ).36所以函数f （x）的单调递增区间为k- , kJ (k Z)13分R,因为 f (x) sin(2x), x616.(本小题共13分)3 q解:(I)因为4101p q 152所以p匚，q5(n)设“甲、乙选择不同车型”为事件A,丰台区高三数学第二学期统一练习(一)(理科)第11页共12页则 P(A) 12 1 2 3 3 .5 5 4 5 4 5答：所以甲、乙选择不同车型的概率是111P(X 7)-5420小、21232P(X 9)54545所以X的分布列为：(川)X可能取值为 7, 8, 9, 10.P(X8)132

11、1 1545 44P(X10)2335410X78910P112320451013分17.解:EPCDBzPAD(本小题共14分)(I)设PA中点为G,连结EG , DG .因为 PA BE，且 PA 4, BE 2,所以 BE/AG 且 BE AG ,所以四边形BEGA为平行四边形.所以 EG /AB，且 EG AB .因为正方形 ABCD，所以CD / AB , CD AB , 所以 EG / CD，且 EG CD .所以四边形CDGE为平行四边形.所以 CE/DG .因为DG 平面PAD , CE 平面PAD ,所以CE/平面PAD . 4分(n)如图建立空间坐标系，贝UB(4,0,0)

12、 , C(4,4,0),E(4,0,2) , P(0,0,4) , D(0,4,0),uuruuu所以 PC (4,4,4), PE (4,0, 2),uuurPD (0,4, 4).设平面PCE的一个法向量为 m (x, y, z),LTrniu所以mPC0x y z0uruuumPE02x z0x1ur令x1 ,则y1,所以m(1,12)z2设PD与平面PCE所成角为则sinir uuur cos m, PDur uiur m PD11 in i r6 2所以PD与平面PCE所成角的正弦值是 3.6u(川)依题意，可设 F(a,0,0)，贝U FEuuur(4 a,0,2) , DE(4,

13、 4,2).设平面DEF的一个法向量为n (x, y, z),Tuuurntt nDE02x2y z 0则ruuunFE0(4a)x 2z 0x2令x2，则ya2za 4所以n (2,旦,a 4).2因为平面DEF 平面PCE ,ir ra所以 m n 0,即 2 a 2a 80,2所以a1212点 F (,0,0)5所以AFAB14分18. (本小题共13分)解：(I)当 a 2 时，f(x) ex 2x ,f(0)1，所以 f (x) ex 2.因为f (0) e 21，即切线的斜率为1,(n)证明：由(I)知所以切线方程为 y 1 (x 0)，即x y 10 .当x(,ln 2)时，f(

14、x)0 , f (x)在(,ln 2)上单调递减，当x(In 2,)时，f(x)0 , f (x)在(ln2,)上单调递增，所以当xln 2时，函数最小值是f(ln 2) eln22ln 22 2ln命题得证.因为f(x：)ex ax，所以f (x) ex a .令f(x)0，则xln a 0当a1时,设 M (a)a lna，因为M (a)lai1 0,aa所以M (a)a In a在(1,)上单调递增，且M(1) 1 ln1 1所以M (a)a ln a0在(1,)恒成立，即a ln a .所以当x(0,ln a),f (x)0 , f(x)在(0,ln a)上单调递减；当x(ln a,

15、a),f (x)0, f (x)在(ln a, a)上单调递增.f (x) ex 2 .令 f (x) 0 ,则 x In 2 .(出)2 0所以f(x)在0, a上的最大值等于 maxf (0), f(a),因为 f(0) e0 a 0 1, f(a) ea a2,a2a不妨设 h(a) f (a) f (0) e a 1 (a 1)，所以 h (a) e 2a .由(n)知h (a) ea 2a 0在(1,)恒成立，所以h(a)f (a)f (0)eaa21在(1,)上单调递增.又因为 h(1) e1121 e 20,所以 h(a)f (a)f (0)eaa210在(1,)恒成立，即f(a

16、) f(0).所以当a 1时，f(x)在0, a上的最大值为f(a) ea a2 . 13分19. (本小题共14分)解：（I）抛物线y 8x,所以焦点坐标为（2,0），即A（2,0）,所以a 2 又因为e.3 所以b2c21，所以椭圆2C的方程为4(n)设uuuu uuuQ (x2, y2)，因为 AM APUULTAQ，A(2,0)，所以AP（为2,yJ，AQ(X22, y2),uuuuuuuuuu所以AMAPAQ(%X24,y1+y2)，所以M x1X22,y1y2 P(xi, yi)，umruur22 xk(x，得(4 k21)1)x28k2x 4k24 0 （判别式0），得XiX22

17、4k2y2k(xX2 2)2k4k2+1,即M(_2_4k2 1薦)-设 Ng），则MN中点坐标为_1(4k21_k_4k2 1因为M , N关于直线 所以MN的中点在直线I对称,I上，k所以 一4k 1Ya21k(4k2 11），解得y32k，即 N(0, 2k) 由于M , N2k2所以业1 _2 4k2 1关于直线I对称，所以M ,N所在直线与直线I垂直,(2k)k 1，解得k014分丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第13页共12页20. （本小题共13分）解：（I）数列 M不是“ Q”数列；数列 N是“ Q”数列.（n）不存在一个等差数列是 Q”数列. 证明：假设存在等差数列是“ Q”数列，则由ai a2 Lam 1 得 aiamZ，与 aiZ矛盾,所以假设不成立，即不存在等差数列为“Q”数列.（川）将数列 A按以下方法重新排列:设Sn为重新排列后所得数列的前n项和（n Z且1 n m）,任取大于0的一项作为第一项，则满足 m i S1 m ,2 2假设当 2 n m,n N 时，m 1 Sn 12 2若Sn 1 0 ,则任取大