必修二立体几何经典证明题

1、1、垂直干同一条直线的两条直线一定A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能2、a, b, c表示直线，AT表示平面，给出下列四个命题：若bll M,则all b; 若bu M,all b,则all M；若&丄c, b丄c,则a H b;若&丄Af, 丄M,则a H b.其中正确命 题的个数有A、0个B、1个C、2个D、3个3、对两条不相交的空间直线自与方，必存在平面G使得（）A.自u a, Zx= qE.自u a, b / aCw丄a, b_aD自u a,方丄a4. 下面四个命题： 若直线自，b异面，b, c异面，则c异面； 若直线自，方相交，b, c相交，则日，c相交； 若a/b,则自，6与

2、c所成的角相等； 若自丄方，方丄G贝ij a/c.其中真命题的个数为（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 15. 在正方体ABCD-ABGP中，E, 分别是线段儿耳，B.C,上的不与端点重合的动点，如果A、E= EF,有下面四个结论： 册丄加*EF几40;丽与力O异面;曲V平面ABCD. 其中一定正确的有（）A. B. C. D.6. 设自，方为两条不重合的直线，a, 0为两个不重合的平面，下列 命题中为真命题的是（）A.若自，b与a所成的角相等，则a/bB.若自a, bB、C若日u a, 0,a/b,贝Ia/3D.若吕丄a,乃丄0,a丄0,则日丄方7.已知平面a丄平面0,=,点 Aq, /

3、, AB/厶直线力O丄厶直线m/a, n/p,则下列四种位置关系中，不一定成 立的是（）E AC_mA. AB/mC ABIIBD ACVp1. 女口图，三棱柱ABCA】B】C】中，侧棱垂直底面，ZACB=90 , AC=BC=|aA1, D是 棱AAi的中点(I)证明：平面BDCi丄平面BDC(U)平面图5“2. 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，丄平面PAD, AB II CD . PD = ADy E 是的中点，F是CD上的点且DfJaB ,阳为PAD中AD边上的高.(1) 证明：PH丄平面ABCD；(2) 若 PH=1, AD = /2t FC = 1,求三棱锥 E-BCF 的体积；

4、(3) 证明：EF丄平面PAB.3.如图，在1三棱柱 中， E分别是棱BC, CC；上的点(点D同干点C),且AD丄DE, F为EC的中点求证：(1)平面APE丄平面BCCH；(2)直线人尸平面ADE4.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA丄平面ABCD, PD/MA , E. G、F分别为MB、PB. PC的中点，且 AD = PD = 2MA.(I)求证：平面EFG丄平面PDC；(II)求三棱锥P-MAB与四棱锥P ABCD的体积 之比.5如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2 , EF/AB,EF丄FB,/BFC=90 , BF=FC,

5、H 为 BC的中点，(I)求证：FH/平面EDB;(U)求证：AC丄平面EDB;(ID)求四面体B-DEF的体积;6 如图4,在边长为1的等边三角形A3C中,DE分别是AB.AC边上的AD = AE,F是3C的中点与DE交干点G,将AABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥V2(1)证明:DE/平面BCF ;证明:CF丄平面ABF;7 如图，在四棱锥P 一 ABCD中.AB/CD ,AB丄AD,CD = 2AB，平面PAD丄底面ABCD，丄AD,E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA丄底面ABCD ;(2) BE/平面PAD ;平面BEF丄平面PCD1.【解析】(I )由题设知BC丄C

6、q,BC丄AC,CCcAC = C,BC丄面ACC.A,又DC、u面ACCA,DC】丄BC,由题设知= ZADC = 45, ZCDG = 90 ,即DC|丄DC,又DCcBC = C, . . DC】丄面 BDC, ：DC、u面BDC、,.面BDC丄面BDC；(n)设棱锥B-DACC的体积为叫，AC = 1,由题意得,V1 = lxxlxl = L，由三棱柱ABC-AQ的体积V =1,(V - ) ： X = 1 ： 1,平面BDC、分此棱柱为两部分体积之比为1 ： 1图5“2.【解析】(1)证明：因为A3丄平面PAD, 所以PH丄A3。因为PH为 PAD中AD边上的高,所以PH丄AD。 因

7、为ABQAD = At所以PH丄平面ABCD。连结BH ,取BH中点G ,连结EG。因为是刖的中点，所以EG/77。因为丄平面ABCD,所以EG丄平面ABCD。则 EG = -PH=-,2 2V,. . =-SsliC. EG = - -FC AD EG= o 53 BF 3 212证明：取P4中点M,连结MD, ME。因为E是的中点，所以MEU：AB_ 2因为DFIIAB ,所以MEH DF ,所以四边形是平行四边形，所以一 2 -EF HMD.因为P = AQ,所以MD丄H4。因为43丄平面PAD,所以MQ丄AB。因为PAQAB = A9所以MQ丄平面PAE,所以EF丄平面尢48。3.【答

8、案】证明：(1) MC ABG是直三棱柱，.CC；丄平面ABC。又AD u平面ABC, CG丄AD 又AD 丄DEu 平面 BCCBCCXDE = E , A AD 丄平面 BCCXBX o又:ADu平面ADE,平面ADE丄平面BCCfi(2) 8=9F为坊C；的中点,：,F丄g。又.cg丄平面A4G，且AFu平面4$G，.cg丄a/。又 CCp BCU 平面 BCCB、CG n BC = C , :.F 丄平面 gC、由(1)知，AD丄平面BCC、B、:.F II AD.又/ AD u平面ADE. 平面ADE, A直线A/平面ADE4. 【解析】(I)”证明：由巳知MA 平面ABCD, PD

9、 II MA,所以PD 平面 ABCD,又 BC 平面 ABCD , 因为四边形ABCD为正方形，所以PD丄BC又PDC1DC=D,因此BC丄平面PDC在APBC中，因为G平分为PC的中点，所以GF II BC,因此GF丄$ 平面PDC又GF 平面EFG,所以平面EFG丄平面PDC(H )解：因为PD丄平面ABCD,四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1,则 PD=AD=2, ABrCD,所以 V“abcd=1/3S 正方形abcd, PD=8/3 由于DA丄面MAB的距离，所以DA即为点P到平面MAB的距离， 三棱锥 Vp-MAB=l/3xl/2xlx2x2=2/3,所以 Vp-MAB： V

10、p-ABCD=1:4O5.H(1)证：设AC与BD交于点G,则G为AC的中点，连EG,GH,山于H为BC的史克 GH/-AB.=2乂EFH-AB.:.四边形EFGH为平行四边形=2，十/. EG/FH,而EG u 平面EDB .FH /平面反W(n)证：由四边形ABCD为正方形，有AB丄BC。乂EF/AB,EF 丄 BCo 而EF 丄 FB,:. EF 丄平面BFG,:. EF 丄 FH:.AB 丄 FH.乂BF = FG, H为勺中点.FH 丄 BC.FH丄平面ABCD/. FH 丄 AC. 乂 FH /EG,:.AC 丄 EG, XAC 丄 BD, EGcBD = G :.AC丄平面(II

11、I)解：T EF 丄 FB,ZBFC = 90,/. BF 丄平面CDEF./. BF为四面体B - DEF的高，丈BC = AB = 2.:. BF = FC = 41BF6.【答案】在等边三角形ABCrAD = AEAD AE DB EC ,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立, . .DEMBC , DE (Z 平面 BCF,BC u平面 BCF, DE7/平面 BCF ；BF = CF = -(2)在等边三角形A3C中，尸是3C的中点，所以AF丄3C，2 .BC出在三棱锥 A-BCF 中，2 ,.BC2=BF2+CF2.CF 丄 3F BFcCF = F :. CF 丄平面由可知GE/CF，结合可得GE丄T MiDFG.- VDEG = Ve-DFG= DG FG GF3 21 1 1 仃 0 1 VJ3 2 3(3 2 ) 33247.【答案】(I)因为平面PAD丄平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD 所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB II CD,CD=2AB,E为CD的中点，所以AB II DE,且AB=DE，所以ABED为平 行四边形，所以BE