[理学]吴赣昌编 概率论与数理统计 第5章new.ppt

1、第五章第五章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 o总体和样本总体和样本 o几个常用的分布和抽样分布几个常用的分布和抽样分布 概率论中概率论中， 随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统 计规律计规律. . 概率分布已知概率分布已知 如：某养鸡厂母鸡的年产蛋量如：某养鸡厂母鸡的年产蛋量300 PX 如如: :某校学生某校学生身高身高状况状况 2 10,160 NY 数数 理理 统统 计计 数理统计中，数理统计中，概率分布未知或不完全知道概率分布未知或不完全知道. . 通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，采集数据，通过对所研究的随机变量进行重复

2、独立的观察，采集数据， 分析数据，从而对变量的分布做出分析数据，从而对变量的分布做出估计或推断估计或推断. . 1.1.某养鸡厂母鸡的年产蛋量某养鸡厂母鸡的年产蛋量 PX 2.2.某校学生身高状况某校学生身高状况 2 ,NY 3.3.某厂生产的灯泡的使用寿命某厂生产的灯泡的使用寿命 eY 5.1 总体和样本总体和样本 从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随 机变量的分布。即一个具有确定概率分布的随机变量的分布。即一个具有确定概率分布的随 机变量。机变量。 一、总体一、总体 在数理统计中，把所研究的对象的全体称为在数理统计中，把所研究的对象的全体称为总体

3、总体。 通常指研究对象的某项数量指标，一般记为通常指研究对象的某项数量指标，一般记为X。 把总体的每一个基本单位称为把总体的每一个基本单位称为个体个体。 如全体在校生的身高如全体在校生的身高X，某批灯泡的寿命，某批灯泡的寿命Y。 对不同的个体，对不同的个体，X的取值是不同的。的取值是不同的。X是一个随机变量是一个随机变量 或随机向量或随机向量。X或或Y的分布也就完全描述了我们所关心的分布也就完全描述了我们所关心 的指标，即总体的分布。为方便起见，我们将的指标，即总体的分布。为方便起见，我们将X的可的可 能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称X为总为总

4、体。体。X的分布也就是总体的分布。的分布也就是总体的分布。 二、随机样本二、随机样本 从总体从总体X中抽出若干个个体称为中抽出若干个个体称为样本样本，一般记为一般记为 (X1,X2,Xn)。n称为样本容量。而对这称为样本容量。而对这n个个体的一次个个体的一次 具体的观察结果具体的观察结果(x1,x2,xn)是完全确定的一组数值是完全确定的一组数值 ，但它又随着每次抽样观察而改变。，但它又随着每次抽样观察而改变。(x1,x2,xn)称为称为样样 本观察值本观察值。 如果样本如果样本(X1,X2,Xn)满足满足 (1)代表性：样本的每个分量代表性：样本的每个分量 Xi与与X有相同的分布；有相同的分

5、布； (2)独立性：独立性： X1,X2,Xn是相是相 互独立的随机变量，互独立的随机变量， 则称样本则称样本(X1,X2,Xn)为为简单简单 随机样本。随机样本。 总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系 总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总样本观察值，去推断总 体的情况体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总总体分布。样本是联系两者的桥梁。总 体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到 样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总样本

6、观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总 体。体。 设总体设总体X的分布为的分布为F(x)，则样本则样本(X1,X2,Xn)的联合分的联合分 布为布为 ),(),( 221121nnn xXxXxXPxxxF )()()( 2211nn xXPxXPxXP n i in xFxFxFxF 1 21 )()()()( ii pxXP)( 样本的联合分布律为样本的联合分布律为 1 () n i i P Xx 当总体当总体X是是连续型连续型时，时， Xf(x)，则样本的联合密度为则样本的联合密度为 n i in xfxxxf 1 21 )(),( 当总体当总体X是是离散型离散型时，其分布律为时，其

7、分布律为 )()()(),( 22112211nnnn xXPxXPxXPxXxXxXP 例例5.1 设设 ),( 2 NX(X1,X2,Xn)为为X的一个样本，的一个样本， 求求(X1,X2,Xn)的密度。的密度。 解解 (X1,X2,Xn)为为X的一个样本，故的一个样本，故 ),( 2 NX i n i in xfxxxf 1 21 )(),( n i xi e 1 2 )( 2 2 2 1 n i i x n e 1 2 2 )( 2 1 2 1 ni, 2 , 1 例例5.2 设某电子产品的寿命设某电子产品的寿命X服从指数分布，密度函数服从指数分布，密度函数 00 0 )( x xe

8、xf x (X1,X2,Xn)为为X的一个样本，求其密度函数。的一个样本，求其密度函数。 解解 因为因为(X1,X2,Xn)为为X的一个样本，的一个样本， )( ii xfX n i in xfxxxf 1 21 )(),( 其他0 ), 2 , 1(0 1 nixe i n i xi 其他0 ), 2 , 1(0 1 nixe i x n n i i 例例5.3 某商场每天客流量某商场每天客流量X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布， 求其样本求其样本(X1,X2,Xn)的联合分布律。的联合分布律。 解解 e x xXP x ! )(, 2 , 1 , 0 x 1122 1 (,)()

9、 n nnii i P Xx XxXxP Xx n i i x e x i 1 ! n n x e xxx n i i ! 21 1 三、统计量三、统计量 样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我 们并不直接用样本进行推断，而需对样本进行们并不直接用样本进行推断，而需对样本进行“加工加工” 和和“提炼提炼”，将分散于样本中的信息集中起来，为此，将分散于样本中的信息集中起来，为此 引入引入统计量统计量的概念。的概念。 (X1,X2,Xn)g(X1,X2,Xn) 其中其中g(x1,x2,xn)是是(x1,x2,xn)的连续函数。的连续函数。 如果如果g(

10、X1,X2,Xn)中不含有未知参数，称中不含有未知参数，称g(X1,X2,Xn) 为统计量。为统计量。 （不含未知参数的样本的函数不含未知参数的样本的函数） ),( 2 NX如如 2 ,未知，未知， (X1,X2,Xn)为为X的一个样本的一个样本 n i i X n X 1 1 n i i X 1 2 均为统计量均为统计量 X 2 2 1 i X 不是统计量不是统计量 若若已知，已知，2未知，未知， (X1,X2,X5)为为X的一个样本的一个样本 521 ,maxXXX X 几个常用的统计量几个常用的统计量(P131) 样本均值样本均值 n i i X n X 1 1 样本方差样本方差 n i

11、 i XX n S 1 22 )( 1 1 样本均方差样本均方差 n i i XX n S 1 2 )( 1 1 样本样本k阶原点矩阶原点矩 n i k ik X n A 1 1 , 2 , 1k n i k ik XX n B 1 )( 1 , 2 , 1k 样本样本k阶中心矩阶中心矩 与总体矩比较与总体矩比较P111 样本均值的期望和方差：样本均值的期望和方差： 11 11 ()()() nn ii ii E XEXE X nn 2 2 11 11 ()()() nn ii ii D XDXD X nnn 样本方差的期望：样本方差的期望： (1,2,., ) i X in是是X的样本，设的

12、样本，设 2 (),(),(1,2,., ) ii E XD Xin 222 11 2222 11 2 22222 1 2 11 ()() )() ) 11 11 (2)() 11 11 ( ()() 11 nn ii ii nn iii ii n i i E SEXXEXX nn EXX XXEXnX nn EXnEXnnn nnn 5.3 几个常用的分布和抽样分布几个常用的分布和抽样分布 (一一) 2分布分布 1、定义：设、定义：设n个相互独立的个相互独立的 X1,X2,Xn，XiN(0,1)， i=1,2,n 则则 一、常用分布一、常用分布 2分布、分布、 t 分布和分布和F分布。分布。

13、 )( 2 1 22 nX n i i 称为自由度为称为自由度为n的的 2分布。分布。 n个个相互独立的相互独立的服从服从标准正态分布的随机变量的平方标准正态分布的随机变量的平方 和和服从服从 2(n)。 2分布的密度函数分布的密度函数f(y)曲线曲线 0, 0 0, )( 2 1 2 )2/(2 1 2/ y yey yf yn n n 2、性质、性质 (1)nE)( 2 nD2)( 2 (2) 2分布的分布的可加性可加性)( 1 2 1 nX)( 2 2 2 nX X1,X2 相互独立，则相互独立，则X1+X2 2(n1+n2) 例例5.4 ),( 2 NX(X1,X2,X3)为为X的一个

14、样本的一个样本 求求 2 3 2 2 2 1 XXX 的分布。的分布。 解解 因为因为(X1,X2,X3)为为X的一个样本的一个样本 ，i=1,2,3 则则 ) 1 , 0( N X i i=1,2,3 )3( 2 2 3 2 2 2 1 XXX ),( 2 NX i 3、 2分布表及有关计算分布表及有关计算 (1)构成构成 P 2(n)=p，已知已知n,p可查表可查表(P298)求得求得; (2)有关计算有关计算 2 ( )Pn )( 2 n 水平为水平为 的上侧分位的上侧分位 数数分位点分位点 p eg1.求 解： )10( 2 95. 0 2 0.95(10) 3.940 1、定义、定义

15、 若若XN(0, 1)，Y 2(n)，X与与Y独立，则独立，则 ).(nt nY X T t(n)称为自由度为称为自由度为n的的t分布。分布。 (二二) t分布分布 例例5.5 ),( 2 NX (X1,X2,X3)为为X的一个样本，求的一个样本，求 2 3 2 2 1 )()( )(2 XX X 的分布的分布 ),( 2 NX i) 1 , 0( N X i i=1,2,3 )2( 2 2 3 2 2 XX )2( 2 2 3 2 2 1 t XX X ) 1 , 0( 1 N X )2( )()( )(2 2 3 2 2 1 t XX X t(n) 的概率密度为的概率密度为 t n t n

16、 n n tf n ,)1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( )( 2 12 2、基本性质、基本性质: (1) f(t)关于关于t=0(纵轴纵轴)对称；对称； (2) f(t)的极限为的极限为N(0,1)的密度函数，即的密度函数，即 3、t分布表分布表(P296)及有关计算及有关计算 (1)构成：构成： Pt(n)=p (2)有关计算有关计算 Pt(n) tp(n)=p，tp(n)为水为水 平平p的上侧分位数的上侧分位数 xettf t n , 2 1 )()(lim 2 2 p 注注:)()( 1 ntnt pp )( 1 nt p )(nt p (三三) F分布分布 1、定义、定义 若若X

17、2(n1)，Y 2(n2) ，X,Y独立，则独立，则 ),( 21 2 1 nnF nY nX F 称为称为第一自由度第一自由度为为n1 ，第二自由度第二自由度为为n2的的F分布分布， 其概率密度为其概率密度为 0, 0 0, )1)( 2 ()( )/)( 2 ( )( 2/ )( 2 12 2 1 2 2/ 21 21 211 1 1 y y y n nn ynn nn yh nnn n n 例例5.6 (X1,X2,X5)为取自正态总体为取自正态总体XN(0,2)的样本的样本 求统计量求统计量 )(2 )(3 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 XXX XX 的分布的分布 解解),

18、0( 2 NX i )5 , 2 , 1(i) 1 , 0( 0 N XX ii )2( 2 2 2 2 1 XX ) 3( 2 2 5 2 4 2 3 XXX )3 , 2( 3 2 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 F XXX XX )3 , 2( )(2 )(3 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 F XXX XX 2、 F分布表分布表(P294)及有关计算及有关计算 (1)构成：构成：PF(n1,n2)=p (2)有关计算有关计算 PF(n1,n2)=p =Fp(n1,n2) 性质：性质： p 1 1 ( , ) ( , ) F m n Fn m 抽样分布抽样分布 o 总体分

19、布类型已知总体分布类型已知, 但含有未知参数但含有未知参数. 对总对总 体的未知参数或总体的数字特征进行统计推体的未知参数或总体的数字特征进行统计推 断断, 称为称为参数统计推断参数统计推断. o 抽样分布抽样分布: 构造合适的统计量构造合适的统计量, 使其服从或使其服从或 渐近服从已知分布，泛称统计量分布为抽样渐近服从已知分布，泛称统计量分布为抽样 分布分布. o 小样本统计推断小样本统计推断和和大样本统计推断大样本统计推断. 二、正态总体的抽样分布定理二、正态总体的抽样分布定理 ) 1, 0( N n X U 证明证明 n i i X n X 1 1 组合，故服从正态分布。组合，故服从正态

20、分布。 n i i XE n XE 1 )( 1 )( n XD n XD n i i 2 1 2 )( 1 )( ),( 2 n NX 1、若、若 ),(, 2 21 NXXX iid n 则则 是是n 个独立的正态随机变量的线性个独立的正态随机变量的线性 ) 1, 0( N n X U 2、设、设(X1,X2,Xn)是正态总体是正态总体N(,2)的样本，的样本， 则则 (1) (2) (3) X与与S2独立独立 P143144定理定理1，2 ) 1( ) 1( 2 2 2 n Sn 2 22 2 1 1 ()( ) n i i Xn 例例5.75.7. . 设设X X1 1， ，X X10

21、 10是取自 是取自N N（2 2，16)16)的样的样 本本, , 求求a a及及样本方差的期望与样本方差的期望与 方差方差 解：解： 10 1 22 )( 9 1 i i XXS ) 9 ( 16 9 2 2 S 95. 0 40 9 16 9 2 5 22 a S Pa S P 2 99 0.05 1640 9 40 s Pa a 196.75 a 95. 0 2 5 2 a S P 2 0.05(9) 16.919 例例5.8. 5.8. 设设X X1 1，X X2 2, , ，X X8 8 是取自 是取自N(1,9)N(1,9)的样的样 本本, ,求样本方差求样本方差S S2 2的期望与方差。的期望与方差。 解：解： 8 1 22 )( 7 1 i i XXS )7( 9 7 2 2 S 7)( 9 7 ) 9 7 ( 2 2 SE S E 9)( 2 SE 14)( 81 49 ) 9 7 ( 2 2 SD S D 7 162 )( 2 SD 3、设、设(X1,X2,Xn)是正态总体是正态总体N(,2)的样本，的样本， 则则 ) 1( nt nS X 证明证明 (X1,X2,Xn)是正态总体是正态总体N(,2)