博弈论作业及答案浙江财经大学张老师作业答案

1、文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借欢迎下载支持.第1次作业1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企 业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工 作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学 生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足： W1/2W22W1,则问：a. 写出以上博弈的战略式描述b. 求出以上博弈的所有纳什均衡(包括混合策略均衡)2、设古诺模型中有家厂商。幺为厂商/的产量，0 = 4+心+绻为市 场总产量。P为市场出清价格，且已知P = P(Q) = a-Q

2、(当Qa时, 否则P = 0)o假设厂商i生产产量g的总成本为C； =Cj(q) = cq.，也就 是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数c(c a) o假设各厂同时 选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有 效？3、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为 2 = ioo-p,设厂商1和厂商2都没有固定成本。若他们在相互知道对方 边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别主产20单位和30单位。问这两个 厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？4、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭壬二每只鸭子的收逆P是鸭 子总数N的函数，并取决于N是否超

3、竺某个临界值N；如果NN时，三0。再假设每只鸭子的 成本为c = 2元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什 么？5、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何? 矩阵1：妻子丈夫活着死了活着1, 1-1, 0死了0, -10, 0矩阵2：妻子丈夫活着死了活着0, 01, 0死了0, 10, 0矩阵3：妻子丈夫活着死了活着-1, -11, 0死了0, 10, 06、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度0J（/= 1.2）,成本 为c（）（i = l,2）,该项目的产出为/（，勺）。个体

4、的努力程度不影响到 项目的分配方法，项目的产出在2个体之间均分。试回答以下问题：2 1、如果/（勺0）= 3华2，c（W）= （i = l，2）,试求此博弈的的Nash 均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。2、如果/（0）= 4华2，。（弓）=弓（心1,2）,试求此博弈的的Nash 均衡。第2次作业1、企业中和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品， 每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业屮先于企业 乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业中的选择，而 且这一点双方都清楚。（1）用扩展型表示这一博弈。（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是

5、什么？企业乙企业甲高档低档高档500, 5001000, 700低档700, 1000600, 6002、两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是 兀i = （p aq + c）_ + g,企业2的利润函数是）=（q _ by + p, 其中P是企业i的价格，g是企业2的价格。求：（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4）是否存在参数a.b.c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决 策？3、考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2 口前情况下的生 产成本都是C = 2。企业1可以引进一项新技术

6、使单位成本降低到c = 1,该项 技术需要投资于在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两 个企业同时选择产量。假设市场需求函数为p = 14q,其中#是市场 价格，g是两个企业的总产量。问上述投资额/处于什么水平时，企业1会选 择引进新技术？4、在市场进入模型中，市场逆需求函数为p = 13-Q,进入者和在位者生产 的边际成本都为1,固定成本为0,潜在进入者的进入成本为4o博弈时序为： 在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否 进入；如果不进入，则惮弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。求解以上 博弈精炼纳什均衡。5、在三寡头的市场中，市场的逆需求函

7、数p = a-Q,Q为三家产量之和,每 家企业的不变边际成本为c,固定成本为0o如果企业1首先选择产量，企业2 和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。第3次作业1、两个人合作开发一项产品，能否成功与两个人的工作态度有关，设成功概率如下:BA努力偷懒努力9/163/8偷懒3 81/4再假设成功时每人有4单位的利益，失败则双方都没有利益，偷懒本身有1单位的利益。问该博弈无限次重复博弈的均衡是什么？2、两寡头古诺产量竞争模型中厂商的利润函数为 一 一），= 1，2。若人=1是两个厂商的共同知识，而J则是厂商2的私人信息，厂商1只知道G=3/4或G =4/5,且G取这两个 值的

8、概率相等。若两个厂商同时选择产量，请找出该博弈的纯策略贝叶斯均衡。3、两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。第1个厂商的成本函 数为q ,其中为厂商1的产量。第2个厂商的成本函数为c2 = cq2,其中心 为厂商2的产量，c为其常数边际成本。两个厂商的固定成本都为零。厂商2的 4word版本可编借.欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借欢迎下载支持.边际成本c是厂商2的“私人信息”，厂商1认为c在1 % 上呈均匀分布。设 市场需求函数为P = 4-公，其中P为价格，两个厂商都以其产量为纯战略, 问纯战略贝叶斯均衡为何？。4、两个企业同时决定是否进入一个市场，企

9、业i的进入成本0 WO,8）是 私人信息，是服从分布函数尸（仇）的随机变量以及分布密度/（0）严格大于 零，并且G和&2两者独立。如果只有一个企业进入，进入企业i的利润函数为-6.:如果两个企业都进入，则企业i的利润函数为卅-Q ；如果没有企 业进入，利润为零。假定丹和/是共同知识，且丹 利0,试计算此博 弈的贝叶斯均衡。4word版本可编借.欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.博弈论第1次作业答案1、a.写出以上博弈的战略式描述学生B企业1企业2学生A企业1(丄用1 丄W2)2 2(WLW2)企业2(W2W1)(丄W2丄W1)2 2b.求出以上博

10、弈的所有纳什均衡(包括混合策略均衡) 存在两个纯战略纳什均衡：分别为(企业1,企业2),收益 为(W1,W2) e (企业2,企业1),收益为(W2,W1)。 存在一个混合策略均衡：令学生A选择企业1的概率为P, 选择企业2的概率为1-P ;学生B选择企业1的概率为q ,选择企业 2的概率为1-Q。当学生A以(p,lp)的概率选择时，学生B选择企业1的期望 收益应该与选择企业2的期望收益相等，即：p 丄 Wl + (1 p)Wl = pW2 + (l P).丄 W2解得：2W1 W22W2-IV1p = 1_ p =W1 + W2 W1 + W2同理求出：q.-Wi + (l-q)Wl = c

11、jW2 + (-q).-W2解得：2W1-W22W2-WIq = 1-7 =WX + W2 W1 + W2所以，混合策略纳什均衡为：学生A、B均以（2W1-W2 2W2-W1W1 + W2 W1 + W2的概率选择企业1，企业2。2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍 然有效？各厂商的利润函数为：n坷=Pq -C. = （u-Q）q -cq =（a-Q-c）q 二_c_工gjqk=求解：n max - max（a-c-qk）.qj4M对其求导，令导数为0,解得反应函数为：Qi+% +_i +G+i +/）纳什均衡（/，/，幺：），必是n条反应函数的交点4 =尹/_ （纟2+

12、引3 +%）Qi =-c-（7j +引3 +%）G =ac(Q +的+G-i+G+i+/“)Qn =laC（Q +02 +么一1）得到：*4（水 d c4 =%=么二打二y,且为唯一的纳什均衡。 n + Y当趋向于无穷大时博弈分析无效。辄：= 辄匚匚7 = ,此时为完全竞争市场，此时博弈分析无 效。3、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？ 设：边际成本不变，为C,。2。计算得市场岀清价格为：P = P(2) = 100-2 = 100-(+)两个厂商的利润函数为：%i = P9i 54 = (P q )Qi = 100 q (4 + 纟2)1U2 = P02 ”202 = (P

13、_。2)$2 100 C2(91 +%)%求解：max况=max100q _(引 +?)切maxw2 = max100-c2 一(今对其求导，令导数为0,解得反应函数为：Q 4(%)= (100q 2)q2 = 7?2(,) = (100-c2 -)纳什均衡(q；，q；),即(20,30)为两条反应函数的交点20 = *(100 q30)30 = |(100-c2-20)得到：q = 30 , c2 = 20 o此时：ux 400 ,妁=900。4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么?设居民选择的养鸭数目为 (： = 1,2,3,4,5),则总数为5N =I OZ = 1假

14、设:_N 40,则N ,上述博弈成立。文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借欢迎下载支持.若A (1)两个企业同时决策的纯策略纳什均衡； 同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化 分别对各自利润求导，并令导数为0= -2(p _ aq + c) = 0字= _2(g_b) = O解得：p = aq-c 叭=bq = b，7r2 ab c此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1, 2的价格为(aq-c,b)(2) 企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；企业1先决策，则企业2会在知道企业1的决策后，寻求自身利润最大化 所以：竺= _2(g_b) = 08qq = b将 q = b

15、带入兀= (p aq + c)2 + q = (p ab + c)2 +brrr=-2(p-ab + c) = 0p = cib-c此时，兀、=b7r2=ab-c，跟同时决策时的纳什均衡相同。企业1先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1, 2的价格为(ab-c,b)(3) 企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；企业2先决策，则企业1会在知道企业2的决策后，寻求自身利润最大化 所以：込= 2(g b) = 0cqp = aq-c将p = aq-c带入龙2 =一餉_疔 十 p = C.q_b)2 +ciq_c 害= _2(g_b) = 0Wa ,q = + b2此时，2p =+ ab-c1 2兀 = +

16、b,7r = + ab c1224企业2先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1, 2的价格为(彳+山生+ “ 。)(4) 是否存在参数a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决 策？企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策 企业1希望先决策：9ab cab oQ a - + b0 ovO,b-12 2a -结论：2 , c =16得到f A，即5*,采取触发策略。、 均衡为（努力，努力），合作产生。92、假设：厂商2在0=3/4时，产量为訂，利润为兀2 ； 厂商2在t. =4/5时，产量为込，利润为听对于厂商2来说，分别具有50%的概率得到以下的利润心=彳2（才一 4 弘

17、）“ 4“兀2=%）对于厂商1来说，利润为1 , 1 “=刁创（1一4一42）+ 空4（1一4一02 ）求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到17 word版本可编辑欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑欢迎下载支持.4” Q 2鼻=01 , 1 1_2i ch _ 2 =0得到严竺,乂仁巴240240240该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1的产量为4 =卷，厂商2在2 = 3/4时,f 41 47产量为的=金；在2=4/5时，产量为的=缶3、考虑到c在丄, 上呈均匀分布，f(c) = 1,E(c) = J7/(c).cz/c = 1-2 2对于厂商1,兀I =(3 彳一)4对于厂商 2,兀