因式分解拓展题及解答必考题型(20210121131238)

1、因式分解拓展题解板块一： 换元法例 1 分解因式： (x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2 【解析】 将 x2 4x 8 u 看成一个字母，可利用十字相乘得原式 u23xu 2x2 (u x)(u 2x) (x24x8x)(x24x 82x)例 2 分解因式：(x2 5x 2)(x2 5x 3) 12【解析】 方法 1：将 x25x 看作一个整体，设2 x5xt，则原式2=(t 2)(t 3) 12 t2 5t6(t1)(t6) (x22)(x 3)(x2 5x 1)方法 2：将 x25x 2 看作一个整体，设2 x5x2 t ，则原式2=t(t 1) 12 t2 t 12(t

2、3)(t4)(x 2)(x23)(x2 5x 1)方法 3：将 x2 5x 3看作一个整体，过程略 . 如果学生的能力到一定的程 度，甚至连换元都不用，直接把 x2 5x 看作一个整体，将原式展开，分组 分解即可，则原式 (x2 5x)2 5(x2 5x) 6 (x2 5x 1)(x2 5x 6) (x 2)(x 3) (x2 5x 1). 【巩固】 分 解因式： (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15【巩固】 分解因式： (x2 x 1)(x2 x 2) 12 例 3 证明：四个连续整数的乘积加 1 是整数的平方【解析】 设这四个连续整数为： x 1、 x 2、x 3、 x 4原式(

3、x25x 5)21( x 2 5x 5)1 1(x25x5)2 11(x25x 5)2【巩固】若 x ，y是整数，求证：xyx 2yx3yx 4yy4是一个完全平方数令x25xy4y2 u上式u(u242y2) y4 (uy2)2 (x25xy25y2)2即xyx2y x3y x4y y4(x25xy5y2)2例 4 分解因式(2a5)(a29)(2a7) 91【解析】原式(2a5)(a3)( a3)(2a 7)291 (2a2a215)(2 a2a 21)91设 2a2a 15x，原式x(x 6)91x2 6x91 (x13)(x 7)(2a2a228)(2a2 a8)【巩固】分解因式(x2

4、 3x2)(38x 4x2)90【解析】原式(x21)(x 2)(2x 1)(2x 3) 90 (2x25x23)(2x2 5x2) 90原式 (y 3)(y 2) 90 y2 5y 84 (y 12)(y 7) (2x2 5x 12)(2 x 7)(x 1) 例 5 分解因式： 4(3x2 x 1)(x2 2x 3) (4x2 x 4)2【解析】 咋一看，很不好下手，仔细观察发现： (3x2 x 1) (x2 2x 3) 4x2 x 4 ， 故可设 3x2 x 1 A,x2 2x 3 B ，则 4x2 x 4 A B.故原式 =4AB (A B)2 A2 B2 2AB (A B)22 2 2

5、 2(3x x 1) (x 2x 3)(2x 3x 2).【巩固】分解因式：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故米取换元法后会大大简化计算过程，不妨设 a b x,ab y ,【解析】则原式=(x 2y)(x 2) (1 y)2 x2 2xy y2 2y 2x例6分解因式：(x 1)4 (x 3)4 272【解析】 设 y x 2，则原式=(y 1)4 (y 1)4 272 2(y4 6y2 1) 272 2【巩固】分解因式：a4 44 (a 4)4【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令 x a 2板块二：因式定理因式定理

6、：如果x a时，多项式anXn a.用1 . a/ a的值为0 ,那么x a是该多 项式的一个因式.有理根：有理根c P的分子p是常数项ao的因数，分母q是首项系数an的因数. q例7分解因式：2x3 x2 5x 2【巩固】ao2的因数是1，2， an 2的因数是1，2 .因此，原式的有理根只可能是1，2(分母为1)，12 因为 f(1) 2 1 5 26， f( 1)2 1 5 20，于是1是f (x)的一个根，从而x 1是f (x)的因式，这里我 们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂 排列，没有的补0：可得原式(2x2 3x 2)(x 1) (x 2)(2x 1)(x 1)2

7、2x 3x 2321 2x x 5x 2八 32x 2x23x 5x3x2 3x2x 22x 2点评：观察，如果多项式f(x)的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说 明 f(1) 0 ；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明f( 1) 0.【巩固】分解因式：x6 2x5 3x4 4x3 3x2 2x 1解析：本题有理根只可能为1. 1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1是根，所以原式有因式x 1，【巩固】解析：原式 (x 1)(x5 x4 2x3 2x& x 1)容易验证1也是x5 x4 2x3 2x2 x 1的根，54324222x x 2x 2x x 1

8、(x 1)(x 2x 1) (x 1)(x 1)，所以 x6 2x5 3x4 4x3 3x2 2x 1 (x 1)2(x2 1)2分解因式：x3 9x2y 26xy224 y33223x 9x y 26xy 24y (x 2y)(x 3y)(x4y)例 8 分解因式：x3 (a b c)x2 (ab bc ca)x abc【解析】 常数项 abc的因数为 a， b， c， ab， bc， ca， abc 把x a代入原式，得所以a是原式的根，x a是原式的因式，并且【巩固】 分 解因式： (l m)x3 (3l 2m n)x2 (2l m 3n)x 2(m n)【解析】 如果多项式的系数的和等

9、于 0 ，那么 1 一定是它的根；如果多项式的偶次 项系数的和减去奇次项系数的和等于 0，那么 1 一定是它的根现在正是 这样：所以 x 1是原式的因式，并且板块三： 待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等 即，如果n n 1 n 2 an xan 1xan 2x另E么 an bn , an 1 bn 1， 玄1 例 9 用待定系数法分解因式： 【解析】 原式的有理根只可能为1nn1n21L a1x a0 bnx bn 1xbn 2xL b1xb1 ， a0 b0 .5x x 11 ，但是这 2 个数都不能使原式的值为b00 ，所以原式没有有理根，因而也没有 ( 有理系数的

10、) 一次因式1 (x2a故caca故 x5 xax b ab b c1)(x3 bx2 cx 1) 或 x5 x 1 (x20111ax 1)(x3 bx2 cx 1)a 0 ，解得 b 0c11，所以 x5 x01 (x2 x 1)(x3x2 1)事实上， 42 xx【巩固】 解析： 我们知道分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况 1是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积 4 2 2 2x4 x2 1 (x2 x 1)(x2 x 1) .x4 x2 1 不能分解成两个整系数的二次因式的乘积如 果 x4 x2 1 能 够 分 解 ， 那 么 一 定 分 解 为 (x2 ax 1)(x2 bx

11、1) 或 22a b 0(1)ab 21(2)1 ,即 a23或 a21 ,没有整数a能满足这两个方(x2ax 1)(x2 bx 1)比较x3与x2的系数可得由 (1) 得 ba ，代入 (2) 得 a22程所以， x4 x2 1 不能分解成两个整系数的二次因式的积( 从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)【巩固】 x6 x3 1 能否分解为两个整系数的三次因式的积 ? 解析： 设 x6 x31 (x3 ax2 bx 1)(x3 cx2 dx 1) ，ac0比较X5， X3及x的系数，得ad bc 1bd0由第一个方程与第三个方程可得 c a， d b, 再把它们代入第二个方程 中，得

12、ab ab 1矛盾 !所以， x6 x3 1不可能分解为两个整系数的三次因式的积例 10 分解因式： x4 x3 2x2 x 3【解析】 原式的有理根只可能为 1，3，但是这四个数都不能使原式的值为 0，所以原式没有有理根，因而也没有 ( 有理系数的 ) 一次因式我们设想x4 x3 2x2 x 3可以分为两个整系数的二次因式的乘积由于原式是首1的(首项系数为 1) ，两个二次因式也应当是首 1 的于是，设 x4 x3 2x2 x 3 (x2 ax b)(x2 cx d) 其中整系数a、b、c d有待我们去确定.比较式两边 x3, x2 , x的系数 a c 1(2)及常数项，得b d ac 2

13、bc ad 1(3)(4)bd 3(5)这一点，这样的方程组，一般说来是不容易解的.不过，别忘了b、 d 是整数! 根据从(5)可以得出 bd 13或 db 13 ，当然也可能是 db 31或 bd 31在这个例子中由于因式的次序无关紧要，b 1 b 1我们可以认为只有 b 1 或 b 1 这两种情况.d 3 d 3将 b 1 ， d 3 ，代入 (4) ，得 c 3a 1将与相减得2a 2，于是a 1,再由得c 2这一组数(a 1， b 1， c 2， d 3)不仅适合、，而且适合.因此 x4 x3 2x2 x 3 (x2 x 1)(x2 2x 3)将b 1， d 3，代人，得 c 3a 1

14、将与 相加得 2a 0. 于是 a 0，再由 得 c 1.这一组数(a 0，b 1，c 1，d3)，虽然适合、，却不适合，因而 x4 x3 2x2 x 3 (x21)(x2 x 3).事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要.板块四：轮换式与对称式对称式： x、y 的多项式 x y， xy， x2 y2， x3 y3， x2y xy2，在字母x与y互换时，保持不变.这样的多项式称为x、y的对称式.类似地，关于 x、y、z 的多项式 x y z，x2y2z2，xy yz zx，x3y3z3，x2y x2z y2z y2x z2x z2

15、y， xyz，在字母x、y、z中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x、y z的对称式.轮换式：关于 x、y、z 的多项式 x y z ， x2 y2 z2 ， xy yz zx ， x3 y3 z3 ，2 2 2 2 2 2x y y z z x， xy yz zx ， xyz 在将字母x、y、z轮换(即将x换成y，y换成z， z换成x)时，保持不变. 这样的多项式称为x、y、z的轮换式.显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z的轮 换式.但是，关于x、y， z的轮换式不一定是对称式.例如，x2y y2z z2x就不是对称式.次数低于 3 的轮换式同时也是对称式.两个轮换式 (对称

16、式 ) 的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除 ) 仍然是轮换式 (对 称式 ) .例 11：分解因式： x2(y z) y2 (z x) z2 (x y) 解析： x2(y z) y2(z x) z2(x y) 是关于 x、y、z 的轮换式如果把x2(y z) y2(z x) z2(x y)看作关于x的多项式，那么在x y时，它的值为y2(yz)y2(zy)z2(y y) 0.因此，xy是x?(y z)/(zx)z?(x y)的因式.由于 x2(y z) y2(z x) z2(x y) 是 x、y、z 的轮换式， 可知y z与z x也是它的因式.从而它们的积(x y)(y z)(z x)

17、是 x2(y z) y2(z x) z2(x y) 的因式.由于、都是x、y、z的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有x2(y z) y2(z .x) z2(x y) k(x y)(y z)(z x)现在我们来确定常数k的值.为此，比较的两边x2y的系数：左边系数为 1 ，右边系数为k .因此，k 1 .于是 x2(y z) y2(z x) z2(x y) (x y)(y z)(z x)思路 2:利用 y z = (y x) (z x).例 12 分解因式：xy(x2 y2) yz(y2 z2) zx(z2 x2)【解析】此式是关于x，y，z的四次齐次轮换式，注意到 x y时，原

18、式0，故x y 是原式的一个因式 .同理，y z，z x均是原式的因式，而(x y)(y z)(z x)是三次轮换式，故 还应有一个一次轮换式，设其为 k(x y z)，故原式k(xyz)(xy)(yz)(z x) ，展开并比较系数可知，k 1，故原式 (xyz)(xy)(yz)(z x).思路 2:利用 x2 y2= (x2 z2)+(z 2 y2).家庭作业练习 1. 分解因式： 4(x 5)(x 6)(x 10)(x 12) 3x2原式 4(x2 17x 60)(x2 16x 60) 3x2 4 (x2 16x 60) x (x2 16x 60) 3x2 练习2.要使x 1 x 3 x

19、4 x 8 m为完全平方式，则常数 m的值为【解析】 x 1 x 3 x 4 x 8 m(x2 5x 4)(x2 5x 24) m (x2 5x)2 20(x2 5x) 96 m，贝卩 m 196练习 3.分解因式：(x26x8)(x214x 48)12【解析】原式 (x2)(x4)(x6)(x228)12 (x210x16)(x210x24)12设 t x210x16，则原式 t(t8)12(t2)(t6) (x210x218)(x210x22)练习 4.分解因式：(x2xy22y)224xy(x2y2)【解析】设 x2y2a， xy b，则原式 (a b)24ab2 2 2 2(a b)2

20、(x2 y2 xy)2练习 5.分解因式：32x32 x5x2练习 6.分解因式：3x26x211x6【解析】原式的有理根只可能为1，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式.故 x5X41(X2ax1)(x3 bx2 ex1)或 x5x41(x2 ax 1)(x3 bx2 ex 1)e)x 1x5 x41(x2 ax 1)(x3bx2 ex1)x5(a b)x4 (ab e 1)x3 (aeb 1)x2 (aa b 1a 1故 e ab 1 0，解得 b 0，所以 x5 x4 1 (x2 x 1)(x3 x 1)ae b 10e 1a e 0事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况练习 8.分解因式：a3(b e) b3(e a) e3(a b)【巩固】 a3(b e) b