XX6年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

1、2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分选择题和非选择题两部分.共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上 用2B铅笔将答题卡试卷类型（B）涂黑。2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回第一部分选择题（共 50 分）一、选择题：本大题共一项是符合题目要求的共50分.在每小题给出的四个选项中，只有10小题，每小题5分，1、函数 f(x) = 3x1 2 5 6lg（3

2、x 1）的定义域是2、1A. （-j ：）3若复数z满足方程1B. (,1)3z2 *2=0，贝V z31 1C. (一3,3)D.3、A. 2. 2B. -2 2C. -2. 2iD._22iF列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. y 二-X3 , x RB. y=sinx ,xR C. y=x ,xRD.4、如图1所示,D是 ABC的边AB上的中点，则向量 Cd1 -A. -BCBA21B. _BC BA21 *D. BC BA2那么这条直线和7、函数y = f (x)的反函数 y二f(x)的图像与y轴交于点P(0, 2)(如图2所示)，则方程f(x) =0在1,4上的根是x

3、 =A.4B.3C. 2D.18、已知双曲线3x2-y =9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于A. 2 B.等C. 2D. 4x _0 I,y兰09、在约束条件y +x 兰sy 2x 乞 43乞x乞5时，目标函数3x 2y的最大值的变化范围是A. 6,15 B. 7,15 C. 6,810、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b) =(c,d)，当且仅当a =c,b d ；运算：”为：(a,b) ： (c,d) =(acbd,bc ad)；运算二”为：(a,b)二(Gd) =(a Gb d)，设 p,q R， 若(1,2)： (p,q) =(5

4、,0)，则(1,2)二(p,q)二A. (4,0)B.D. 7,8(2,0)C. (0,2)D. (0,-4)第二部分非选择题(共 100 分)二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分.4111、lim( )=.x-昇 4 x 2 +x12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ,2 11513、 在(x -乙)11的展开式中，x给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，交线平行， 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， 如果一个平面经过另

5、一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 其中真命题的个数是A.4B. 3C. 2D. 1的系数为 .14、在德国不来梅举行的第 三棱锥”形的展品，其中第x48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则 f (3)； f(n) (答 1 _案用n表示).三解答题：本大题共 6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤n15、(本题 14 分)已知函数 f(x)=sinx sin

6、(x ), x R.2(I) 求f(x)的最小正周期；(II) 求f(X)的的最大值和最小值；3(III) 若 f C ) ，求 sin2：的值.416、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X0口678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(I) 求该运动员两次都命中7环的概率(II) 求的分布列(III) 求 的数学期望E .17、(本题14分)如图5所示，AF、DE分别世L O、|_Oi的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD =8. BC 是 L O 的 直径，A B=A,OC AD .(I) 求二面角B - A

7、D -F的大小；(II) 求直线BD与EF所成的角.18、(本题14分)设函数f(x) =-x3 3x 2分别在为、X2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为(为(洛)、(X2,f(X2),该| T平面上动点P满足PA?PB =4,点Q是点P关于直线y =2( x-4)的对称点.求(I) 求点A、B的坐标；(II) 求动点Q的轨迹方程.19、(本题14 分)已知公比为q(0：q：1)的无穷等比数列 咕各项的和为9，无穷等比数列 :a：匚各项的和为81.5(I)求数列！an的首项a1和公比q ；(II)对给定的k(k =1,2,3，川,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak

8、-1的等差数列，求T的前m(m 1)，使得 lim-SnFn10项之和；(III)设b为数列T(k)的第i叽Sn f 匕 7丨 bn，求Sn，并求正整数存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n厂：时该无穷等比数列前 n项和的极限)20、(本题12分)A是定义在2,4上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：对任意的x 1,2，都有 (2x) (1,2);存在常数 L(0 , L ：:1)，使得对任意的Xi,X2 1,2，都有I ：(2x) -(2X2)EL|X1_X2|.(I) 设 (2x) =3r7,x 2,4，证明： (x) A(II) 设(x). A，如果存在x(1,2)，使得沧=

9、(2x0)，那么这样的x0是唯一的；(III) 设:(x) A，任取乙(1,2)，令如=(2Xn)，n= 1,2,(|，证明：给定正整数k，对、Lk任意的正整数 p，成立不等式|兀p _xk| - 区-人|1 -L2006年高考广东卷（B）第一部分选择题（50分）3x21、函数f（x）lg（3x 1）的定义域是-x1、解：由1 x0! =3x +1 a 02、若复数z满足方程z2A.-2 22、3、A.B. J,1) C.(丄$33 31X : 1，故选 B.32=0，则B. -2 2 C.-2 2 i由乙2 2 = 0= z =12i =乙3 =2.2i，故选F列函数中，在其定义域内既是奇函

10、数又是减函数的是y = -x3,x RB. y = sin x, x RD.D.(-：,-丄3C. y 二 x,x RD.= G）X,x R2B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数义域内不是奇函数，是减函数；故选A.3、4、如图1所示，D是厶ABC的边AB上的中点，则向量 CD =A.C. 1 _ BC _ BA2BC BA24、CD 二 CB BD1 B. - BC BA2 1 D. BC BA21 -BC * BA，故选 A.2；D在其定5、给出以下四个命题 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交 交线平行； 如果一条直线和一个平面

11、内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是,那么这条直线和A.4B.35、正确，故选6、已知等差数列共有A.5B.4C.2B.10项,C. 3D.1其中奇数项之和15,偶数项之和为 30,则其公差是D.2y”4n1J.1.35a1 +20d =156、丿 1n d = 3，故选 C.5a +25d =3017、函数y二f (X)的反函数y = f(x)的图象与y轴交于点P(0,2)(如图2所示)，则方程f(x) =0的根是X -A. 4B. 3 C.

12、 2D.17、f(X)= 0的根是X = 2，故选C2 28、已知双曲线3x-y =9,则双曲线右支上的点 P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于2 3A. . 2B.C. 2D.438、依题意可知a - 13, c - a2 b2 = 3 =23，c 2、3丁 3二2，故选C.x 0y X 09、在约束条件下，当3乞S空5时,x + y 兰 sy 2x 乞 4目标函数z =3x 2y的最大值的变化范围是A. 6,15B. 7,15 C. 6,8D. 7,8x+y=s x=4s9、由丿 丫 二丿交点为 A(0,2),B(4s,2s 4),C(0,s),C(0,4)，+2x =4 j =

13、2s 4(1) 当3辽S ： 4时可行域是四边形 OABC，此时，7冬z乞8(2) 当4乞S乞5时可行域是 OAC 此时，zmax=8故选D.10、 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)= (c,d)当且仅当a= c,b= d;运算：为：(a,b) ： (c,d) = (acbd, bc ad)，运算二”为：(a,b)二(c, d) = (a c, b d),设p,q R ，若(1,2) ： (p,q) =(5,0)则(1,2)二(p,q)二A. (4,0)B. (2,0) C.(0,2)D.(0,-4)P = 1= 211、丄)5丄J2 x x 门2 X 410、由(1

14、,2)(p,q) =(5,0)得 *一2q=0 二2p+q = 0所以(1,2)二(p,q) =(1,2)二(1,2) =(2,0),故选 B.第二部分非选择题(100分)二、填空题4111、 lim (2) =J2 4 X 2 +x12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12、2S FR =27二13、在 X 2 11Ix的展开式中,5X5的系数为11 _r r .2 11 _r13、Tr 1- C11 X ( - 一)X=(_2)C1111 _r_r 2r J1x = 2r 11 = 5n r = 8所以 X5 的系数为(-2)11_rc111_r =(-2)3C3=

15、-132014、在德国不莱梅举行的第 48届世乒赛期间，三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第 层)分别按图4所示方式固定摆放从第一层开始，每层的小球自然某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准2、3、4、堆最底层垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,f (3)二；f(n)=“正(答案用n表示)14、f (3) =10,f(n)n(n 1)(n2)15、解答题(本小题满分14分)已知函数JIf(X)FX fx R()求f (X)的最小正周期;(n)求f (x)的最大值和最小值;卄3(川)若f (：) ，求si n2：的值.4itJi15 解

16、：f (x) = sin x sin(x ) = sin x cosx 二、,2 sin(x )242 TT(I) f (x)的最小正周期为T二一 2-;1(n) f (x)的最大值为2和最小值_.、2 ;3 3, 即 sin：亠 cos二 2sin : cos：4 47sin 2 ：-1616、(本小题满分12分)某运动员射击一次所得环数X的分布列如下:X0-678910Y00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为(I )求该运动员两次都命中7环的概率；(n)求分布列；(川)求的数学希望.16解：(I )求该运动员两次都命中7环的概率为P(7)=

17、0.2 0.2 = 0.04 ；(n )的可能取值为7、8、9、10PC：=7)=0.04P -8)-2 0.2 0.3 0.30.21P( =9)=2 0.2 0.3 2 0.3 0.3 0.30.39P( =10)=2 0.2 0.2 2 0.3 0.2 2 0.3 0.2 0.22 = 0.36分布列为78910P0.040.210.390.36(川)的数学希望为=7 0.04 8 0.21 9 0.39 10 0.36 =9.07.17、(本小题满分14分)如图5所示，AF、DE分别是O O、O Oi的直径.AD与两圆所在的平 面均垂直，AD = 8,BC 是O O 的直径，AB =

18、AC = 6, OE/AD.(I )求二面角B AD F的大小；(II )求直线BD与EF所成的角.17、解：(I ) / AD与两圆所在的平面均垂直 ， AD丄AB, AD丄AF,故/ BAD 是二面角 B AD F的平面角, 依题意可知，ABCD是正方形，所以/ BAD = 45即二面角B AD F的大小为45;(I )以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则 O (0, 0, 0), A (0, - 32 , ), B ( 3 2 , , ) ,D (0, - 3、-2 , 8), E (0, 0,8),F (0, 3.2 , 0)所以,BD =(

19、-3.2,-3,2,8),氓=(0,-3、2,8)BD FE 0 1864cos ： BD, EF|BD|FE| J100 汇丁8210设异面直线 BD 与 EF 所成cos： mcos：BD,EF 卜竺1082直线BD与EF所成的角为arccos则1018、(本小题满分14分)设函数f(x)二-x3 - 3x 2分别在X1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为(为，珂为)、(x2, f (x2),该平面上动点P满足PA*PB = 4,点Q是点P关于直线y =2(x-4)的对称点求(I )点A、B的坐标； (I )动点Q的轨迹方程3218 解:(I )令 f (x) =(

20、-x 3x 2) = -3x3=0 解得 X = 1或 x = -1当 x ： -1 时,f (x) :：: 0，当一 1 ：: x ：: 1 时,f (x) . 0 ，当 x . 1 时，f(X)： 0所以，函数在x=-1处取得极小值，在X=1取得极大值，故X1 - -1，X2 =1，f(-1)=0，f(1)=4所以，点A、B的坐标为A(_1,0), B(1,4) 2 2(n )设 p(m, n), Q(x, y), PA PB 二 -1m ,n 1m,4 - n 二m1n -4n=4x -mkPQ，所以上兰，又PQ的中点在y =2(x-4)上，所以= 22 x m 22消去 m,n 得 x

21、 -82 y 2 2 =919、(本小题满分14分)已知公比为q(0：q：1)的无穷等比数列an各项的和为9，无穷等比数列a2n各项的和 为81.5(I)求数列an的首项a1和公比q ；(n )对给定的k(k =1,2,3,n),设T(k)是首项为ak，公差为2ak -1的等差数列求数列T(k)的前10项之和;(川)设b为数列T的第i项，Sn+b2 +bn，求Sn，并求正整数 m(mn1)，使 lim Sn存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n；心时该无穷数列前 n项和的极限)I1 q19解：(I )依题意可知，a2181 -21 -q 5nV(n )由(I)知,an = 3，所以数

22、列T的的首项为t1 = a2 = 2，公差d = 2a2 -1=3,13丿Sw =10 2 - 10 9 3 =155,即数列T的前10项之和为155. 2一 i 1(2 V(川)bi = aii -1 2ai -1 = 2i -1 a i -1 =3 2i -1i -1 ,l3丿Sn =45- 18 n 273n-nn/1，im.4 = im m32 nn n：_ nn t：n4518n + 27(2 YIn n -12nmS当 m=2 时，lim mnYn1s2，当 m2 时，nim：nm =0，所以m=220、(本小题满分12分)A是由定义在2,4上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：

23、对任意x 1,2，都有:(2xb (1,2)； 存在常数L(O：L),使得对任意的x1,x 1,2,都有| ：(2xi) - ：(2x2)#L|xi -X2|()设(x)二3 1 x,x 2,4，证明:O) A(n )设(xp A,如果存在 勺 (1,2)，使得x0二(2x0),那么这样的x0是唯一的；(川)设(xr A,任取xi(1,2)，令 Xni二(2xn), n =1,2，证明：给定正整数k,对任意的.k 1正整数P,成立不等式|Xk -xk匸-| x2 -禺|1 - l解:对任意 X 1,2, (2x) = 31 2x,x 1,2 ,3 3 (2x)乞 3、5 ,1 ： 3 3 ： 3 5 ： 2,所以(2x)(1,2)XX21,2l U(2X2)|=|X1 _X2 |2 *(1+2x1)+V2x1X2)+(1 + x23 :3；(1 +2为 2 +V6 +2x1 目+ x2 )+VF + x2 )02引(1 +2X1 2 +如也7)代(1 +X2 )2二，令2哲(1 +2X1 2 +站(1 +2X1 11)+(1 +X2 )| ：(2xi) -(2X2)匡 L|xi -X2|所以(x)- A反证法：设存在两个 xo,Xo (1,2),Xo =Xo使得 Xo 二(2