3.2(二)向量方法证明空间线面垂直关系

1、(Aff r第二早3.2空间向量与立休几何立体几何中的向量方法(二) 空间向量与垂直关系I学习目标：1能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 3能用向量方法证明空间线面垂直关系的有 关定理问题导学知识点一向量法判断线线垂直思考 若直线li的方向向量为 m = (1, 3, 2)，直线12的方向向量为 曲=(1 , - 1,1)，那么 两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 h与12垂直，因为= 1 3 + 2= 0,所以M丄吃，又pi,吃是两直线的方向向量， 所以11与12垂直判断两条直线是否垂直的方

2、法：(1)在两直线上分别取两点 A、B与C、D，计算向量与CD的坐标，若Ab cd = 0，则两直线垂直，否则不垂直(2) 判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直梳理 设直线1的方向向量为a =但1, a?,玄彳)，直线m的方向向量为b= (b1, S,匕彳)，则I丄m ? a b = 0 ? a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0知识点二向量法判断线面垂直思考 若直线1的方向向量为 p= ?, 3， 1丿，平面a的法向量为p2= 3, 2,号j,则直线I 与平面a的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？2答案 垂直，因为p=

3、2坨，所以p,即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直3线I与平面a垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1) 直线I的方向向量与平面 a的法向量共线？ I丄a(2) 直线的方向向量与平面的法向量垂直？直线与平面平行或直线在平面内直线I的方向向量与平面 a内的两相交直线的方向向量垂直？ I丄a梳理 设直线1的方向向量a= (a1,b1,c1),平面a的法向量尸(a2,b2,c2),则I丄a?a / p? a = kg R)知识点三向量法判断面面垂直思考平面a,B的法向量分别为山(禺，y1,Z1),国(X2,y2,Z2),用向量坐标法表示两平面a,卩垂直的关系式是什么？答案X1X2+ y1y

4、2 + Z1Z2= 0.梳理若丨面 a的法向量为卩一 (a1, b1,c1)，平面B的法向量为v= (a2,b2,c2)，贝9a丄3? 丄 V 卩尸 0? a1a2+ b 1b2+ c 1c2 = 0.囱题型探究类型一 证明线线垂直 例1已知正三棱柱 ABC AiBiCi的各棱长都为1, M是底面上BC边的中点，N是侧棱C。1上的点，且CNCC1.求证：AB1丄MN)证明 设AB中点为0,作00, AA1.以 O为坐标原点，0B为x轴，0C为y轴，001为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A 2, 0, 0 , B 2,0,0，C 0, M为BC中点， M4,说 0.0, 1),A =

5、 4, ；3, 4, AB1= mN ab1=-4+0+4=0. MN 丄 AB1, ABMN.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系 T写出点的坐标T求直线的 方向向量T证明向量垂直 T得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC = 3, BC = 4, AB= 5, AAi= 4,求证： AC 丄 BCi.证明 .直三棱柱 ABC AiBiCi底面三边长 AC= 3, BC= 4, AB = 5,-AC、BC、CiC 两两垂直 .如图，以C为坐标原点，CA、CB、CCi所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则 C(0, 0,

6、 0), A(3, 0, 0), Ci(0, 0, 4), B(0, 4, 0), AC = ( 3 , 0 , 0) , BCi= (0 , 4 , 4), AC BCi= 0. AC丄BCi.类型二证明线面垂直例2如图所示,正三棱柱 ABC AiBiCi的所有棱长都为 2 , D为CCi的中点.求证：ABi平面AiBD .证明如图所示，取BC的中点0 ,连接AO.因为 ABC为正三角形，所以 A0丄BC.因为在正三棱柱 ABC AiBQi中，平面 ABC丄平面BCCiBi, 所以A0丄平面BCCiBi.取BiCi的中点Oi，以0为原点，以OB, 00i, 0A分别为x轴，y轴，z轴的正方向

7、建立空 间直角坐标系，则 B（1，0，0），D（ 1,1，0），Ai（0，2，3），A（0，0，3），Bi（1, 2，0）.所以 ABi = （1，2，3），BAi= （ 1，2，3），BD = （ 2，1，0）.因为AB1 BA1= 1X （ 1） + 2X 2+ （心）X 炉 0.AB1 BD = 1 X （ 2） + 2X 1 + （ 3） X 0 = 0.所以 AB1 丄BA1，AB1 BD，即 ABj丄 BA1，AB1 丄 BD.又因为BA4 BD = B，所以AB1丄平面AjBD.反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：（1）建立空间直角坐标系.（2）将直线的方向向量用坐

8、标表示.（3）找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量（4）分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：（1）建立空间直角坐标系.（2）将直线的方向向量用坐标表示.（3）求出平面的法向量.（4）判断直线的方向向量与平面的法向量平行跟踪训练2 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB= AD = 1，AA1= 2，点P为DD 1的中点.求证：直线 PB平面PAC.证明如图建系，C（1，0，0），A（0，1，0），P（0，0，1），B1（1，1, 2），PC= （1，0， 1），PA = (0，1， 1)，PB1 = (1，1,1)，B1C= (0， 1， 2)，B1A

9、= ( 1，0， 2).PBi PC = (1 , 1, 1)(1 , 0, - 1) = 0,所以 PB1 PC，即 PB1 PC.又PB1 PA= (1, 1 , 1) (0, 1,- 1) = 0,所以 PB1 PA，即 PB1 丄PA.又FA A PC = P,所以PB1丄平面PAC.类型三 证明面面垂直例 3 在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1 丄平面 ABC , AB 丄 BC , AB= BC = 2, AA1 = 1, E 为BB1的中点，求证：平面 AEG丄平面AA1C1C.证明由题意知直线 AB, BC, B1B两两垂直，以点 B为原点，分别以 BA, BC, BB

10、1所在直线为x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2, 0, 0), A1(2, 0, 1), C(0 , 2 ,10), C1(0 , 2 , 1) , E(0 , 0 , 2),故 AA1= (0 , 0 , 1) , AC = ( 2 , 2 , 0) , AC1 = ( 2 , 2 , 1) , Ae= ( 2 , 0 ,设平面AA1C1C的法向量为n 1= (x , y , z),n 1 AC = 0 ,z= 0 ,2x + 2y= 0.令 x= 1,得 y= 1,故 n 1 = (1 , 1 , 0).设平面AEC1的法向量为 n2= (a , b , c),则 n

11、2aC1 = 0 ,n2 AE = 0 ,2a + 2b + c= 0 , 即12a + ?c= 0.令 c= 4，得 a= 1, b= 1,故 n2= (1, 1 , 4).因为 n 1 n2= 1 x 1 +1 x ( 1) + 0 x 4= 0 , 所以n 1 n2.所以平面 AEC1丄平面AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练 3 在四面体 ABCD中，AB丄平面 BCD , BC = CD，/ BCD = 90E、F分别是 AC、AD的中点，求证：平面 BEF丄

12、平面 ABC.证明 以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0, 0, a),则易得/ ADB = 30,B(0 , 0 , 0),设平面ABC的法向量为 n 1 = (x1 , y1, z1),n i BC = 0,azi = 0, 即xi + yi = 0,取 Xi = i, ni= (i, - i, 0)为平面ABC的一个法向量设n2= (X2, y2, Z2)为平面BEF的一个法向量,同理可得n2= (i , i, 3).- n i 化=(i, i, 0)(i, i, 3) = 0,平面BEF丄平面 ABC.当堂训练i下列命题中，正确命题的个数为() 若ni,n2分别是平面a,B

13、的法向量，贝Uni IIn2?a/ 3； 若ni,n2分别是平面a,3的法向量，贝Ua丄3 ?nin2= 0; 若n是平面a的法向量，a与平面a平行，则n a= 0; 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直A.i B.2C.3D.4答案 C解析 中平面a 3可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知2已知两直线的方向向量为 a, b,则下列选项中能使两直线垂直的为()A. a = (i, 0, 0), b= ( 3, 0, 0)B. a = (0, i, 0), b= (i, 0, i)C. a = (0 , i , i) , b= (0 , i, i)正确.C 23a,乎,0 ,

14、 D(0, .3a, 0), E a,今a, | , F(0,号),D.a = (1, 0, 0), b= (- 1, 0, 0)答案B解析因为 a = (0, 1, 0), b= (1, 0, 1)，所以 ab= 0x 1 +1 x 0+ 0x 1 = 0,所以 a丄 b,故选B.3.若直线1的方向向量为a= (1 , 0, 2),平面a的法向量为尸(2 , 0, 4)，则()A.I / aB. 1 丄 a C.l? aD.I与a斜交答案B解析/ a/ a, 1 丄 a4.平面a的一个法向量为m= (1, 2, 0)，平面B的一个法向量为 n= (2, 1, 0)，则平面 a与平面B的位置关

15、系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析/ (1 , 2, 0)(2 , - 1, 0) = 0,两法向量垂直，从而两平面垂直5.已知平面 a与平面B垂直，若平面a与平面B的法向量分别为( 1, 0,5), v= (t ,5,1),贝U t的值为 .答案5解析平面a与平面B垂直，平面a的法向量 a与平面 B的法向量 v垂直，- a v=0，即(一1) x t + 0X 5+ 5X 1 = 0,解得 t = 5规律与方法空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1) 证明两直线所成的角为90 (2) 右直线与平面垂直，则此直线与平面内 所有直线垂直两直线的方向向量互相垂

16、直线面垂直对于直线I, m, n和平面a(1) 若 1 丄 m, 1 丄 n, m? a, n? a, m 与 n 相交，则1丄a(2) 若 1 / m , ml a,贝U I 丄 a(1) 证明直线的方向向量分别与平面内 两条相交直线的方向向量垂直(2) 证明直线的方向向量与平面的法向 量是平行向量面面垂直对于直线I, m和平面a B(1)若 1 丄 a, I? B,贝U a丄 B证明两个平面的法向量互相垂直(2) 若l丄a , m丄 3 l丄m ,贝y a丄 3(3) 若平面a与3相交所成的二面角为直角， 则a丄340分钟课时作业一、选择题1设直线li, 12的方向向量分别为a= (-2,

17、 2, 1), b= (3, 2, m),若1“，则m等于()A. 2B.2C.6D.10答案 D解析因为a丄b,故a b= 0,即一2X 3 + 2X ( 2)+ m= 0，解得 m= 10.2. 若平面 a, B的法向量分别为 a= ( 1, 2, 4), b= (x, 1， 2)，并且a丄贝U x的值为( )1 1A.10 B. 10 C.2 D. 2答案 B解析 因为a丄3,则它们的法向量也互相垂直，所以 a b= ( 1, 2, 4) (x, 1, 2) = 0,解得x= 10.3. 已知点 A(0, 1, 0), B( 1, 0, 1), C(2, 1 , 1) , P(x, 0

18、, z),若 PA丄平面 ABC，则点P的坐标为()A.(1 , 0, 2)B.(1 , 0 , 2)C.( 1, 0 , 2)D.(2, 0, 1)答案 C解析 由题意知 Ab = ( 1, 1, 1) , Ac =(2 , 0 , 1) , Ap = (x , 1 , z),又 fa丄平面 abc , 所以有 AbaP = ( 1, 1, 1) (x , 1 , z)= 0，得一x+ 1 z= 0,AC P = (2 , 0 , 1) (x , 1, z) = 0，得 2x + z = 0,联立得x= 1, z= 2,故点P的坐标为(一1 , 0 , 2).4. 在正方体ABCD A1B1

19、C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线 CE垂直于()A.AC B.BD C.A1DD.A1A答案 B解析建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,贝U A(0 , 1, 0) , B(1, 1, 0),C(1, 0, 0),D(0, 0, 0), Ai(0,12,CE =AC = (1 , - 1 , 0),BD = ( 1， 1 , 0),A1D = (0, - 1, 1), A1A= (0 , 0, - 1),T CE BD = (- 1)x (-1) + ( - 1).CE 丄BD.5若平面a B垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是（）A. n 1= (1,2,1),n

20、2= (- 3,1,1)B. n 1= (1,1,2),n 2= ( 2,1,1)C.n 1= (1,1,1),n 2= ( 1,2,1)D. n 1= (1,2,1),n2= (0，2,-2)答案 A解析 1X (- 3) + 2 x 1 + 1X 1 = 0,.n 1 n = 0,故选 A.6两平面 a B的法向量分别为卩=(3 , - 1, z), v = (- 2,- y, 1),若a丄贝U y+ z的值是()A. - 3 B.6 C. - 6 D. - 12答案 B解析a丄价1 v = 0? 6+ y+ z= 0,即 y+ z= 6.二、填空题7.在三棱锥 S- ABC 中，/ SA

21、B=/SAC=/ACB= 90 AC = 2 , BC = . 13 , SB= ,29 ,则异 面直线SC与BC是否垂直.(填“是”或“否”)答案是解析 如图，以A为原点，AB , AS分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系,则由 AC= 2, BC = 13, SB= 29,得 B(0,17, 0), S(0, 0, 2 3), C因为ScCb = 0，所以sc丄BC.8已知点P是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，如果 AB = (2, - 1, 4), AD = (4, 2,0), AP = ( 1 , 2, 1).对于结论： AP丄AB;AP丄AD :AP是平面 ABCD的法向量；AP

22、 / BD.其中正确的是 (填序号)答案解析 Ap Ab = ( 1 , 2 , 1) (2 , 1, 4) = 1 X 2 + 2X ( 1) + ( 1) X ( 4) = 0, AP丄AB，即正确；/ Ap ad = ( 1 , 2, 1) (4, 2, 0) = ( 1) X 4+ 2X 2 + ( 1) X 0= 0, AP丄 AD,即正确； 又 ABn AD = A, AP丄平面ABCD ,即Ap是平面ABCD的一个法向量，即 正确；/ Ap是平面 ABCD的法向量， Ap丄Bd，即不正确.9. 在空间直角坐标系 Oxyz中，已知点 P(2cos x+ 1, 2cos 2x+ 2,

23、 0)和点Q(cos x, 1, 3), 其中x 0, n；若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为.答案評扌解析由题意得Op丄OQ, cos x (2cos x+ 1) (2cos 2x+ 2) = 0.2 2cos x cos x= 0, cos x = 0 或 cos x=；又 x 0 , n x= _或 x=_23.10. 在厶 ABC 中，A(1, 2, 1), B(0, 3 , 1) , C(2 , 2 , 1).若向量 n 与平面 ABC 垂直，且|n|=p21 ,贝H n的坐标为.答案(2 , 4 , 1)或(2 , 4, 1)解析 据题意，得 AB= (- 1, 1 , 2),

24、AC = (1 , 0, 2).设 n= (x, y, z),/ n与平面ABC垂直，n AB= 0,、n AC = 0,x y+ 2z= 0, 即x+ 2z= 0,可得y=4z,y= 2x.|n|= 21 , 1産+ y2 + z2= 21，解得 y= 4或 y= 4. 当 y= 4 时，x= 2, z= 1;当 y= 4 时，x= 2, z= 1.三、解答题11. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA丄平面 ABCD , AB = 4, BC= 3, AD = 5, / DAB = Z ABC=90 E是CD的中点.证明:CD丄平面PAE.证明 如图，以A为坐标原点，AB, AD , AP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设FA= h，则相关各点的坐标为A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(4, 3, 0), D(0, 5, 0), E(2 ,4 , 0) , F(0 , 0 , h).易知 CD = ( 4 , 2 , 0) , AE = (2 , 4 , 0) , AF= (0 , 0 , h).因为CD AE = 8 + 8 + 0= 0 , CD AP = 0 ,所以CD丄A