高中数学高考总复习推理与证明习题及详解

1、高中数学高考总复习推理与证明习题及详解一、选择题1(2010广东文，10)在集合a，b，c，d上定义两种运算、如下：那么d(ac)()AaBbCcDd答案A解析根据运算、的定义可知，acc，dca，故选A.2(文)(2010福建莆田质检)如果将1,2,3，n重新排列后，得到一个新系列a1，a2，a3，an，使得kak(k1,2，n)都是完全平方数，则称n为“好数”若n分别取4,5,6，则这三个数中，“好数”的个数是()A3 B2 C1 D0答案C解析5是好数，4和6都不是，取a13，a22，a31，a45，a54，则1a1422,2a2422,3a3422,4a432,5a532.(理)(20

2、10寿光现代中学)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)nf，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)tanx在上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanAtanBtanC的最小值是()A3 B. C3 D.答案C解析根据f(x)tanx在上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanAtanBtanC3tan3tan3.故所求的最小值为3.3(文)定义某种新运算“”：Sab的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5436()A2 B1 C3 D4答案B解析由题意知545(41)25,366(31)24，所以54361.(理)如图所示

3、的算法中，令atan，bsin，ccos，若在集合|0tan，且sincos，当时，总有tansin，当时，sin0，tan0，cos0，sin0，且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)；C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)A B C D答案D解析实际代入逐个验证即可如S(x)C(y)C(x)S(y)(axyayxaxyaxyaxyayxaxyaxy)(2axy2axy)S(xy)，故成立同理可验证均成立6四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1、2、3、4

4、号位子上如图所示，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()1鼠猴23兔猫41兔猫23鼠猴41猫兔23猴鼠41猴鼠23猫兔4第一次第二次第三次第四次A编号1 B编号2 C编号3 D编号4答案D解析根据动物换座位的规则，可得第四次、第五次、第六次、第七次换座后的结果如下图所示：1鼠猴23兔猫41兔猫23鼠猴41猫兔23猴鼠41猴鼠23猫兔4第一次第二次第三次第四次据此可以归纳得到：四个小动物在换座后，每经过四次换座后与原来的座位一样，即以4为周期，因此在第2011次换座后，四个小动物的位置应该是和第3次换座后的位置一样

5、，即小兔的座位号是4，故选D.点评因为问题只求小兔座位号，故可只考虑小兔座位号的变化，用12表示小兔从1号位换到2号位，则小兔座位的变化规律是：312431243，显见变化周期为4，又201145023，故经过2011次换座后，小兔位于4号座7(2010山东文)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则f(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选D.8甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下

6、列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3a1时，甲获胜，否则乙获胜若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是()A12,24B(12,24)C(，12)(24，)D(，1224，)答案D解析因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的故由题意得即4a136

7、，a118，a136，a118出现的机会是均等的，由于当a3a1时，甲胜且甲胜的概率为，故在上面四个表达式中，有3个大于a1，a118a1，a136a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由4a136a1得a112，由a118a1得，a124，故当12a1b)若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF，试用类比的方法，推想出下述问题的结果在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设OAB、OCD的面积分别为S1、S2，EFAB，且EF到CD与AB的距离之比为mn，则OEF的面积S0与S1、S2的关系是()AS0BS0C.D.答案C解析根据面积比等于相似比的

8、平方求解二、填空题11(2010盐城调研)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12a221，那么a1a2.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1a2)280，所以a1a2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a12a22an21时，你能得到的结论为_(不必证明)答案a1a2an12(文)如图甲，在ABC中，ABAC，ADBC，D是垂足，则AB2BDBC，该结论称为射影定理如图乙，在三棱锥ABCD中，AD平面ABC，AO平面BCD，O为垂足，且O在BCD中，类比射影定理，探究SABC、SBCO、SBC

9、D之间满足的关系式是_答案SABC2SBCOSBCD解析根据类比推理，将线段的长推广为三角形的面积，从而得到答案(理)(2010湖南湘潭市)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_答案13(文)(2010陕西理)观察下列等式：132332,13233362根据上述规律，第五个等式为_答案132333435363212解析观察所给等式可以发现：132332(12)21

10、3233362(123)213233343102(1234)2推想：132333n3(123n)2第五个等式为：132333435363(126)2212.(理)(2010广东省佛山顺德区质检)已知一系列函数有如下性质：函数yx在(0,1上是减函数，在1，)上是增函数；函数yx在(0，上是减函数，在，)上是增函数；函数yx在(0，上是减函数，在，)上是增函数；利用上述所提供的信息解决问题：若函数yx(x0)的值域是6，)，则实数m的值是_答案2解析由题目提供信息可知yx(x0)在(0，上是减函数，在，)上是增函数，当x时，ymin6，m2.14(文)(2010湖南衡阳八中)如图(1)有关系，则

11、如图(2)有关系_.答案解析根据类比推理，将平面上三角形的结论，推广到空间，即.简证如下：设B、B到平面PAC的距离分别为h、H，则.又已知，.(理)(2010江苏姜堰中学)如图，数轴上A(x1)、B(x2)，点P分AB成两段长度之比，则点P的坐标xP成立；如图，在梯形ABCD中，EFADBC，且，则EF.根据以上结论作类比推理，如图，在棱台A1B1C1ABC中，平面DEF与平面ABC平行，且，A1B1C1、DEF、ABC的面积依次是S1，S，S2，则有结论：_.答案解析将三棱台补成棱锥PABC，不妨令PA1m，DAn，则A1Dn，那么，由，得m，又由，得mn，n，由此得.三、解答题15(20

12、10瑞安中学)用分析法证明：.证明证法1：要证成立，0，0，只要证()2()2成立即证5292成立即证242成立，只须证0，故只须证62成立，即证8180成立最后一个不等式显然成立，以上步步可逆，故原不等式成立证法2：要证成立，只须证成立，只须证7272成立，即证成立，即证1210成立，最后一个不等式显然成立，故原结论成立16(文)设数列an的首项a1a，且an1记bna2n1，n1,2,3，.(1)求a2，a3；(2)判断bn是否为等比数列，并证明你的结论解析(1)a2a1a，a3a2a.(2)a4a3a.a5a4a.b1a1a0，b2a3，b3a5.猜想bn是公比为的等比数列证明如下：bn

13、1a2n1a2nbn(nN*)bn是首项为a，公比为的等比数列(理)(2010湖南文)给出下面的数表序列：表1表2表31 13135 4 4812其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和(1)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列，1,4,12，记此数列为bn求和：(nN*)解析(1)表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公

14、比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列简证如下(对考生不作要求)首先，表n(n3)的第1行1,3,5，2n1是等差数列，其平均数为n；其次，若表n的第k(1kn1)行a1，a2，ank1是等差数列，则它的第k1行a1a2，a2a3，ankank1也是等差数列由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k1行中的数的平均数分别是，a1ank1.由此可知，表n(n3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(2)表n的第1行是1,3,5，2n1，其平均数

15、是n.由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是n2k1)，于是，表n中最后一行的唯一一个数为bnn2n1.因此(k1,2,3，n)故4.17(文)已知等比数列an的前n项和为Sn，若am，am2，am1(mN*)成等差数列，试判断Sm，Sm2，Sm1是否成等差数列，并证明你的结论解析设等比数列an的首项为a1，公比为q(a10，q0)，若am，am2，am1成等差数列，则2am2amam1.2a1qm1a1qm1a1qm.a10，q0，2q2q10.解得q1或q.当q1时，Smma1，Sm1(m1)a1，Sm2(m2)a

16、1，2Sm2SmSm1.当q1时，Sm，Sm2，Sm1不成等差数列当q时，Sm，Sm2，Sm1成等差数列证明如下：证法1：(SmSm1)2Sm2(SmSmam1)2(Smam1am2)am12am2am12qam1am12am10，2Sm2SmSm1.当q时，Sm，Sm2，Sm1成等差数列证法2：2Sm2a1，又SmSm1a1a1a1，2Sm2SmSm1.当q时，Sm，Sm2，Sm1成等差数列(理)已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)1，且当x0时，f(x)1.(1)求证：函数f(x)在R上是增函数；(2)若关于x的不等式f(x2ax5a)2的解集为x|3xx2，则x1x20，从而f(x1x2)1