圆.第3讲.点、直线与圆的位置关系.教师版

1、第三讲点、直线与圆的位置关系中考要求内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题知识点睛一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如

2、下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的外部.点在圆内点在圆的内部点在的外部.确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：圆心(定点)，确定圆的位置；半径(定长)，确定圆的大小只有当圆心和半径都确定时，远才能确定2. 过已知点作圆经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一

3、一个过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆注意：”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”4. 三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三

4、角形却有无数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.二、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切

5、点无直线名称割线切线无三、切线的性质及判定 1 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角4弦切角等于同弧所对的圆周角切线的判定定理设

6、oa为o的半径，过半径外端a作oa，则o到的距离d=r，与o相切因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注：定理的题设“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可结论是“直线是圆的切线”举例说明：只满足题设的一个条件不是o的切线 证明一直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂直，证垂直在圆上切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：(1)垂直于切线 (2) 过切点 (3)过圆心 定理：过圆心，过切点 垂直于切线 oa过圆心，oa过切点a，则oaat经过圆心

7、，垂直于切线过切点 经过切点，垂直于切线过圆心重、难点重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目难点与关键：由点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价例题精讲一、点与圆的位置关系【例1】 一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为_【解析】 当点在圆外时， 当点在圆内时，【例2】 已知：四边形中，以为圆心，长为半径作圆求证：在上，在内，外都有线段上的点.【解析】 如图所示，作于是等腰梯，点在内，点在外，圆内一点与圆外一点的连线，必与圆有一交点，所以上，内， 外都有线段上的点.【例3】 在平面直角坐标系内，以原点为圆心，为半径

8、作，已知，三点的坐标分别为，试判断，三点与的位置关系.【解析】 点在上，点在内，点在外.【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.【例4】 在 中，以点为圆心，以为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由. 当取何值时，点在上，且点在内部？ 当在什么范围内取值时，点在外部，且点在的内部？ 是否存在这样的实数，使得点在上，且点在内部？ 【解析】 如右图所示在中， 根据勾股定理得： 当时，点在上，且点在内.因为，所以点在上，所以在内； 当时，点在的外部，且点在的内部.由于，要使点在的内部，必须的半径；又由于，要使点在的外部，必须的半径.综合上述两方面可知，. 不存在这样

9、的实数 ，使得点在上，且点在内部.因为，要使点在上，必须，此时，由于，所以点在的外部，点不在的内部，所以这样的实数不存在.【例5】 已知中，的中点为， 以为圆心，为半径作，则点，与的位置关系如何？ 若以为圆心作，使，三点至少有一点在内，且至少有一点在外，求半径的取值范围 【解析】 如右图所示 ，且的半径也为，即点在上.又，点在外.在中，为的中点点在内； ，要使，三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径的取值范围是.【点评】 要判定点，与的位置关系，只要比较，的长度与的半径的大 小关系即可； 由求得，的长度即可确定的半径的取值范围.【例6】 中，求其外接圆的半径 【解析】 作高，设点是的

10、外心，则点在上，连结，在中，设的半径为，则，.在中， ，解得.外接圆的半径为.【点评】运用外心到三角形的三个顶点的距离相等这一性质，注意，三角形的外心在等腰三角形底边的中垂线上.二、直线与圆的位置关系【例7】 (08浙江省丽水) 如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点， 设，则的取值范围是ao bc11 d paob【解析】 考察根据直线与圆的交点状况判断圆与直线的位置关系有公共点，说明是相切或相交两种状态，所以p运动到直线与圆相切的状态便可但还要考虑op是线段长度且非负，而p在数轴上运动，所以答案是a【例8】 已知abc=60，点o在ab

11、c的平分线上，ob=5cm，以o为圆心3cm为半径作圆，则o与bc的位置关系是_【解析】 结合直角三角形30所对直角边是斜边一半求出o到直线bc的距离，从而根据圆半径判断直线与圆的位置关系，答案是相交【例9】 在中，以点为圆心，为半径的圆和有怎样的位置关系？为什么？ ； ； 【解析】 过作于，则， 当时，与相离； 当时，与相交； 当时，与相切【巩固】(08内江)如下左图，在直角梯形中，且，是的直径，则直线与的位置关系为( )a相离 b相切 c相交 d无法确定adcbo【解析】 过作于，可知，为直角梯形的中位线，直线与的位置关系为相交，故选三、切线的判定【例10】 如图，为等腰三角形，是底边的中

12、点，与腰相切于点，求证与相切 【解析】 解法一：连结，过点作于，是中点，与相切于，与相切解法二：连结，过点作于，是中点，平分，与相切于，与相切【巩固】如图所示在中， ，的平分线交于，为上一点，以 为圆心，以的长为半径画圆求证： 是的切线； 【解析】 如图所示，过点作于 为的切线，平分，是的切线; 在和中，又【巩固】如下图所示，以的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，求证：是的切线； 已知：为平分线上一点，于，以为圆心以为半径作圆求证：与相切【解析】 如图所示，连接， ， ，又，又；为的半径为的切线 如图所示，过作，垂足为 为平分线上一点，于， 与相切【点评】 本题的两个问题揭示了证明一条直线是

13、圆的切线的一般方法 运用判定定理：运用判定定理证明切线，即是要证明待证切线满足下列两个条件：经过半径外端；与半径垂直； 运用定理“”：运用圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线，其基本思路是先作垂直，再证明圆心到垂足的距离等于半径 证明与切线有关的问题的辅助线一般有如下两种： 已知直线过圆上某点，那么连接该点与圆心，如第题； 如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，如第题【例11】 (据06北京中考题第19题改编)已知：如图，内接于，是过的一条射线，且求证：是的切线 【解析】 如图，过作的直径，连接为直径，又，即，为切线【点评】 若已知直线与圆有公共点时，则连接圆心和公共点，只

14、要证明这条直线垂直于经过这个公共点的半径(有时候过这个公共点作直径更方便)即可【例12】 已知：如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分求证：为的切线 【解析】 连结平分，为的切线【巩固】 如图，半径为的切直线于，则的度数是 如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作的切线，那么直线与以点为圆心，为半径的圆的位置关系是 【解析】 连结 切于，即 在中， 在中， 连结交于 是切线， ， 是直径，即 ，是中点，四边形是矩形 在中， ， 以点为圆心，为半径的圆与直线相离【点评】看切线连半径是我们处理切线问题的“通法”，这一点需要反复强调，使学生牢记于心【巩固】(09年崇文区一模)如图，以等腰中的腰

15、为直径作，交底边于点过点作，垂足为(i)求证：为的切线；(ii)若的半径为5，求的长 【解析】 (i)证明：连接，连接是直径，又是等腰三角形，是的中点 ，为的切线(ii)在等腰中，知是等边三角形的半径为5，【例13】 如图，已知是的半径，是中点，是延长线上一点，且求证：是的切线【解析】 连结是中点，是等边三角形，是的切线【点评】通常情况下，要证明圆的切线，都要连结过切点的半径，再证明该半径与切线垂直近几年北京中考年年都考圆的切线的证明，因此这部分内容非常重要，一定要让学生掌握【变式】如图，是的直径，点在圆上，于在延长线上，且求证：是的切线【解析】 连结是的直径，是的切线【例14】 (08海淀一

16、模)已知：如图，是的直径，是弦，是过点的直线，等于半径长 若，求证：是的切线； 在成立的条件下，当点是的中点时，在上截取，连接、，求证：是等边三角形【解析】 连接，是的直径，是弦，且等于半径长，为等边三角形，且为直径，是的切线 连接， 由是的中点，可得，易证：，可证得是等边三角形【例15】 (09湖北孝感)如图，是的外接圆，点是圆外一点，切于点，且 求证：是的切线； 已知，求的半径 【解析】 连结， 切于点， ，即 ， ， ， ，即， ， 是的半径，是的切线 解法一：连结，设半径为， ，在中，由得，即，整理得，(舍负)， 解法二：连结交于 在垂直平分线上，在垂直平分线上， 垂直平分， ， 在中

17、， ，即，解得， ，即半径为【例16】 (09浙江义乌)如图，是的的直径，于点，连接交于点，弦，弦于点 求证：点是的中点； 求证：是的切线； 若，的半径为，求的长 【解析】 ， ， 连结 由知 在和中， ， 又， 即是的切线 解法一：在中， 设 ， 又的半径为， ，即， 解得(舍去)， 解法二：连结 是直径， 的半径为， ， 在中，【例17】 如图，已知是正方形对角线上一点，以为圆心、长为半径的与相切于，与、分别相交于、 求证：与相切； 若正方形的边长为，求的半径 【解析】 连结，作于点 切于，是正方形，是对角线，即是半径与相切 由易知四边形是正方形 ， 设半径为 正方形的边长为，对角线 ，即

18、的半径为【巩固】(09四川泸州)如图，在中，以为直径的与交于点，过作，交的延长线于，垂足为 求证：直线是的切线； 当时，求的值 【解析】 连结 ， ， ， ， 在上，是半径， 是的切线 连结，过点作于 由知， ， 又， 在中， ， 又，【巩固】(09湖北武汉)如图，中，以为直径作交边于点，是边的中点，连接 求证：直线是的切线； 连接交于点，若，求的值 【解析】 连结 是的直径， 是中点， ， ， ，是的半径，是的切线 连结，作于， 由知， ，且， ， ， ， ， ，【例18】 (2007年武汉)如图，等腰三角形中，以为直径作交于点，交于点，垂足为，交的延长线于点 求证：直线是的切线； 求的值

19、【解析】 连接、，是直径，为的中点，又为的中点，为的切线， 连接，是直径，在中，在中，【巩固】 (2008山东烟台24题)如图，是的直径，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，且 证明是的切线； 设的半径为，且，求的长 【解析】 连接，是的直径，又，在中，又，为的切线 在中，在中，四、切线长定理【例19】 如图，分别切于，若，周长为，求的半径【解析】 连结都与相切，周长 ，即的半径为【例20】 如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，的弦平行于，若，且，求的长【解析】 连结是的切线，是直径，与相切又，即在中， 的长为【例21】 如右图所示，的内切圆与三边、分别切于、，.，求、

20、的长 在中，求内切圆的半径【解析】 、与相切，设 ， 解得即、的长分别为、和 设的内切圆与的三边分别切于点、 ，连接、，、，则，且(为内切圆半径)，则，.【点评】 直角三角形的内切圆半径（其中、为直角边，为斜边）【变式】 如图所示，中，内切和边，分别相切于点，.若，求的度数.【解析】 分别连接，则，而与是同弧所对的圆心角和圆周角.家庭作业【习题1】 设的两条直角边长分别为，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 【解析】 内切圆半径为；外接圆半径为.【习题2】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍abcd【解析】 考察等边三角形与外接圆半径的关系，所以选b【习题3】 (2009年莆田)已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系是 【解析】 由一元二次方程根的情况，解得答案是相交【习题4】 (首师大附中2008-2009初三月考)定义：定点与上的任意一点之间的距离的最小值称为点与之间的距离现有一矩形如图，与矩形的边分别相切于点，则点与的距