反常积分的敛散性判定方法

1、反常积分敛散性的判定方法作 者 陈志强学 院专 业 数学与应用数学年 级学 号 指导教师 导师职称 最终成绩 75分摘要-关键词一、预备知识.21. 无穷限反常积分2. 瑕积分,3. 反常积分的性质二、反常积分的收敛判别法，1无穷积分的收敛判别(1)定义判别法 (2).比较判别法(3) 柯西判别法(4) 阿贝尔判别法.(5) 狄利克雷判别法2瑕积分的收敛判别(1).定义判别法 (2).定理判别法 (3).比较判别法 (4).柯西判别法 (5).法.10(6) . 狄 利 克 雷 判 别法10参考文献11摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由 此得到了定积分的两种形式

2、的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积 分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性 判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出 了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定 理判断反常积分的敛散性。关键词：反常积分 瑕积分 极限 敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得 了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析(上册)，对反常积分 积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。华中科技大学出版的数学 分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，

3、还用图形的方 法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明 显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此 次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对 其进行归纳总结，举例说明其应用。一、预备知识1.无穷限反常积分定义设函数/(X)在a, +8)有定义，若/(兀)在a, A上可积(Aa)且当A + oo时，lim I fxlx存在，称反常积分 f(x)dx收敛，否则称Aoo ciJ a反常积分 匸，(x)dx与匸/皿发散。对反常积分匸fZx与/(A/X可

4、类似的给出敛散性定义。注意：只有当匸fMdx和匸/VM都收敛时，才认为匸是收敛的。2.瑕磁定义1：设f(x)在a的任何邻域内均无界，则称a为f(x)的一个瑕自定义2：设f(x)在内有定义，且b为唯一瑕点，若”黒J, f(x)dx存otO J在，称瑕积分J收敛 定义3：设)且为f(x)的一个瑕点，若丿(xx和f(x)dx 均收敛，则称瑕积分fZx3反常积分的性质（l）Cauch y收敛原理：曲 收敛。对 。，3A0a,当AjAzM。 时,有|阳（曲0）解：f+oc -PA jX -p.V +X gP X-X pg.比较判别法的普通形式：/(x),g(x)在。,+8)有定义，0f(x)a)(a)

5、ff(X)dx+cQJ aJ aoc(b)r ocr *念皿卄亠 g(x)dxJJu=+00例讨论a sinxJo 1 + 2厶的收敛性sin x解：由于！7卫xe0,+oo)严 dx 兀伙为绝对因为Jo 1+x2=2为收敛，所以根据比较判别法收敛。(3).比较判别法的极限形式：/O),g(X)在d,+QO)有定义，且非负，且 lim = I 贝q.“卄0 g(x)(a)当/ =0时,J：f(x)dx f (x)dx =JuJ a+ 00(C)0 / A时成立即/(x),由极限的性质，存在常数A(A),使得当X A时成立其中 01 lg(x)空1、g(x)于是由比较判别法，当r g(x)dx发

6、散时J f (x)dx也发散J dJ a/x4+3x3+5x2+2x-1的敛散性讨论J7所以心 +3疋+5/ +2x 收敛总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函 数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取产为比较对象的，因为它们正X好能满足这俩个条件(4) .柯西判别法：设/(兀)在d,+oo)有定义，在任何有限区间3上可积，且恤|/(兀)| =久则有X-OCII当 /? 1,0 2 +8 时，|/(工)#兀收敛oc当 p0 ,使|/u)| a)再由(2)可知， 对 Vw 0, 3A0a,当 A/A A。时，有 J 州 f(x)g(x)dx /x = /(A)( g

7、(xMx + /(%)J：2g(x/x A7( + )二2必再次由柯西准则知Abel定理成立。J8 sin xi 一 arctan xdx (o /I A)则f(x)g(x)dx收敛。证：由于存在M0, AgZx有界，所以有 ae AI ggdx X )故对对 Vw 0, 3A0 a ,当 A2Ax A 时，有 |/(a2)-/(a)| s 即 |/(A2)| s , |/(A)| ，所以二MAf gdx gx)dx-g(x)dx 2M 同 理 有J A2J aJ air 2A7g(x)dx + /(A)贮 g(x)dx证:证积分Jlsinxx收敛，但不绝对收敛sin xdx = |cos A

8、 cos 1 400时趋于0,由 Dirichlet 判别法知sin x沁U 止(Sing)1 cos 2x2x 2xcos 2xdx = sin 2A sin 1| 0时是可积的；当PV0时，它是不可积的，因为这时被积函数在0.1上无界。但作为反常积分，当P-1时收敛；当P -1时发散；因为当PH 1时有啊丄1_护+1而当 p = 1 时有 lim J xldx = lim(ln 1 In(5) = +qooo例积分o 0dx作为反常积分，当P-1时它这 是 因 为 当 p-1 时 有- l/(p+l),若pc-1S,若PT2.瑕嗨惻定灿别法设函数/定义在无穷区间上上，在点a的任一右邻域上无

9、界，但在任何内闭区间有限区间u,b u (%上有界且可积.如果存在极限lim J： f(x)dx = J ,贝燃反常积分产f(x)dx收銳，否则发散-x例计算瑕积分的值X解：被积函数f(x)= /在0,1)上连续，从而在任何0wu0)上可积,Vi -X2x = 0为其瑕点.依定义求得P .X (lx- limlim(l - Vl-w2) = 1VT7 0 /7定理判别法(楠Qfco理)瑕积分J fZx (瑕点为a)收敛的充要条件是：任给0,存V Cl在 50, 只 要 UAU2 G(6f,6f+5) 总 有/OXv J： /(兀刈=J： f(x)dx=00*当 1,02+oO 时， f收敛当

10、P1, O-HX)时，J fMX 发散（4）.柯西判别法设x=a是f(x)的瑕点，如果|/(x)| 0),/?O），P1那么/（疋心发散r dx例讨论帀的敛散性（卩丘疋）J。x1 nx 解：x=0是其唯一奇点。,由柯西判别法知,收敛当 0p1时，取勺=丁丘（1,），则r 疋dx山亲 =+由柯西判别法知发散x1 |lnxJ0 x In%当 p = l 时，可以直接用Newton-leibniz公式得到dxL xp In xlim lnllnx十1r dx因此，当0 i时，反常积分(5)阿贝尔判别法eb设f(x)在x=a有奇点，fZx收敛，g(x)单调有界，那么积分v ah/O)g(x)厶收敛af(x)dx是的有界函数,.狄利克雷判别法设f(x)在x二a有奇点,rbg(x)单调且当x a时趋于零，那么积分fMg(X)dx1 sin 例讨论积分Jo 乂(厂2)的收敛情形Xsin丄当 0厂1时，,积分绝对收敛，又f -sin dx J x x1sin 当2-r 0即r2时，由狄利克雷判别法，从单调趋向于零(x 0)推 知 积 分 收 敛当 r = 2 时- COS 1,当T 0时无极限,所以