实变函数与泛函分析要点

1、精品模版 助您成功实变函数与泛函分析概要第一章 集合 基本要求：1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。3、 会求已知集合的并、交、差、余集。4、 了解对等的概念及性质。5、 掌握可数集合的概念和性质。6、 会判断己知集合是否是可数集。7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。8、了解半序集和zorn引理。第二章 点集 基本要求：1、 理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。4、 会求己

2、知集合的开集和导集。5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。7、 了解peano曲线概念。主要知识点：一、基本结论：1、 聚点性质2 中t1聚点原则：p0是e的聚点 p0的任一邻域内，至少含有一个属于e而异于p0的点存在e中互异的点列pn，使pn p0 （n） 2、 开集、导集、闭集的性质2 中t2、t3t2：设ab，则ab，。t3：（ab）=a b.3、 开（闭）集性质（3中t1、2、3、4、5）t1：对任何er，是开集，e和都是闭集。（称为开核，称为闭包的理由也在于此）t2：（开集与闭集的对偶性）设e是开集，则ce是闭集；设e

3、是闭集，则ce是开集。t3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。t4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。t5：（heine-borel有限覆盖定理）设f是一个有界闭集， 是一开集族uiii它覆盖了f（即fui），则 中一定存在有限多个开集u1，u2um，它们同样覆盖了f（即f ui）（ii）4、 开（闭）集类、完备集类。开集类：r，开区间，邻域、p闭集类：r，闭区间，有限集，e、e、p完备集类：r，闭区间、p二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。第三章 测度论 基本要求：1、 理解外测度

4、的概念及其有关性质。2、 掌握要测集的概念及其有关性质。3、 掌握零测度集的概念及性质。4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。6、 掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。 要点归纳：外测度：定义：er ii（开区间） ii e m*（e）=infii 性质：(1) 0m*e+（非负） （2）若ab则m*a m*b（单调性） （3）m* （ai）m*ai（次可列可加性）可测集：er 对任意的tr有：m*（t）= m*（te）+ m*（tce）称e为可测集，记为me 其性质： 1）t1：e可测 ae bce使m*

5、（ab）= m*a+ m*b 2）t2：e可测ce可测运算性质：设s1、s2可测s1s2可测（t3）； 设s1、s2可测s1s2可测 （t4）； 设s1、s2可测s1-s2可测 （t5）。 s1、s2sn 可测 si可测 （推论3） si可测（t7） s1、s2sn 可测，sisj= si可测 m(si)= m(si)(t6) si递增,s1s2s3lim(si)=lim msi=ms(t8) si递降可测, s1s2s3当ms1是可测集，称（x）是e上的可测函数可测任意的r e是可测集 任意的r e是可测集 任意的r e是可测集任意的，r e是可测集 （ 在ei上可测（3） （四则运算） ，

6、g在e上可测+g，g，1/ 在e上可测。（4） 极限运算 n是可测函数列，则=inf n （x）=sup n可测（t5）f=lim n g= n 可测 （5） 与简单函数的关系：在e上可测 总可以表成一列简单函数n的极限函数 =n，而且可以办到1232.opo定理：me0 存在子集ee 使得n在e上一致收敛 且m（e-e）0 闭子集ee 使得在e上连续 且m（e-e）即在e上a.e有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。4可测函数类：连续函数（t2）、简单函数、r上单调函数、零测度集上函数。5三种收敛之间的关系：（ er me+）一致收敛测度收敛 几乎处处收敛 （ riesz：fnf 则 fn

7、if a.e于e ） lebesgue：1） me+；2）fn e 上a.e有限的可测函数列;3) fn e 上a.e收敛于a.e有限的f fnf(x) 在此me+条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛 补充定理(见复旦3.2 t5) mea 是可测集（2） 集合分解法，e=ei eiej= f在ei 上可测（3） 函数分解法，f可表为若干函数的运算时（4） 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（1，t8）（5） 可测函数类2判断三种函数之间的关系 第五章 积分论 基本要求：1、 了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数l可积和l积分的概念。2、 掌握有界函数l积分的性质。3、 理解非负函数

8、l积分与l可积的概念。4、 理解一般函数的l积分确定、l积分与l可积的概念。5、 掌握一般函数的l积分的性质。6、 掌握l积分极限定理。7、 弄清l积分与r积分之间的关系。8、 熟练掌握计算l积分的方法。9、 会利用l积分极限定理进行有关问题的证明。10、 了解有界变差函数的概念及其主要性质。11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。lebesgue积分1、 riemann积分 分割、作和、取确界、求极限。2、 lebesgue积分定义1：e=ei,各ei互不相交，可测，则称ei为e的一个分划，记作d=ei定义2：设f是定义在er（me）上的有界函数，d=ei令b=f（x） b

9、i=f（x）大和s（d，f）=bimei = s（d，f）小和（d，f）=bimei=（d，f） （d，f）s（d，f）定义3：设f是定义在er（me）上的有界函数上积分：f（x）dx=inf s（d，f） 下积分： f（x）dx=sup （d，f）若上下积分相等，则称f在e上可积，其积分值叫做l积分值，记（l）e f（x）dxt1：设 f是定义在erq（me）上的有界函数，则f在e上l可积任意的 0 s（d，f）- （d，f）t2：f在e上l可积f在e上可测 （*） 对有界函数而言，l可积可测t3：f，g有界，在e上可测，fg，fg，f/g， f可积t4：f在a，b上r可积l可积，且值相等

10、*l积分的性质：t-1（1）：f在e上l可积，则在e的可测子集上也l可积；反之，e=e1e2 e1e2= e1、e2可测，若f在ei上l可积，则f在e上可积efdx= e1fdx+ e2fdx （积分的可加性） （2） f，g 在e上有界可测 e（f+g）dx= efdx+egdx （3）任意cr ecfdx=cefdx （4）f，g在e上l可积，且fg 则efdxegdx 特别地，bfb efdx bme，bme 推论1：（1）当me=0 efdx=0 （2）f=c efdx=cme（5）f在e上可积，则f可积，且efdxefdx t-2 （1）设f在e上l可积 f0 efdx=0 则 f=

11、0 a.e于e （2）f在e上l可积，则对任意的可测集a属于e 使 afdx=0 （绝对连续性） 推2：设f，g在e上有界可积，且f=g a.e于e 则 efdx= e g dx 证明思路: e=e1e2 e1e2= e1=efg e (f- g)dx = e1 + e2 (f- g)dx=0 注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在e的一个零测度子集 上无定义亦可. 2)从e中除去或添加有限个或可数个点l积分值不变 一般函数的积分 一、 非负函数：f, ee二、 定义: f0 ee me f(x)n= 称fn为（e上）截断函数 性质：（1） f(x)n 有界非负， fn （2

12、）单调 f1f2f3 （3）fn=f（x）定义1：设f为非负（于e）可测（me）称efdx=efnd x（若存在含无穷大）为f在e上的l积分当efnd x为有限时，称f为在e上的非负可积函数注：非负可积一定存在分 l积分 非负可积 三、 一般函数的积分设f在e（me+）上可测， f f 在e上非负可测，则f 可测e f dx e fdx存在 f= f- fe f dx=e f dx-e fdx 定义 2：设f在e（me+）上可测，若e f dx和e fdx不同时为+则称f在e上积分确定当e f dx+时，则称f在e上l可积注：f可测 f的积分确定 f可积 有界函数 非负函数 一般函数 me+

13、l积分的性质：定理1-（1）：若 me=0，则 e f dx=0 （2）：f在e上可积mef=+=0 f有限a.e于e同（r）（3）：f在e上积分确定 f在可测子集e1 e上积分确定 e=e1e2 (4):f在e上积分确定,f=g a.e于e则f,g的积分确定且相等几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等) 同(r)(5):f,g在e上非负可测e(f+g) dx=e f dx+e fgdx 同(r)(6): f,g在e上积分确定fg e f dxe fgdx l可积性质定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略) 积分极限定理 t-1 l控制收敛定理设1）fn是e上一列可测函数 2）fnf（

14、x） f为l可积函数 3）fnf（fnf a.e 于e）则f是e上l可积函数,且e fnd x=e fd xl有界收敛定理设1）是e上一列可测函数, me+ 2）k（常数） 3）（ a.e 于e）则是e上l可积函数,且edx=e dxt-2(levi)设是e上一列非负可测函数, 则e dx=e dxt-3设是e上一列非负可测函数,则 endx=edx (逐项积分定理)t-4(积分的可数可加性)f在可测集e e上的积分确定,且e=ei其中ei为互不交的可测集, 则 edx=eidx 有界变差函数 分划:t:a=x0 x1x2=constt-4(lebesgue)设 va，b,则1) 在a，b上几

15、乎处处存在导数f(x)2) f(x)在a，b上可积3) 若f是增函数,有 f(x)dxf(b)-f(a)不定积分定义1:设在a，b上l可积, la，ba,x dx称为在a，b上的不定积分定义2:设f(x) 是a，b上的有界函数,0 ，0 ai,bi不交,只要( bi- ai) 就有f(bi)-f(ai)0，存在0 使d（x，x）时，d（tx，tx）0（），当，时，必有（xn，x）则称xn是中的柯西（cauchy）点列或基本点列，如果（x，d）中每一个柯西点列都收敛，则称（x，d）是完备的度量空间有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，而l是完备的度量空间度量空间中任一收敛点列是柯西点列；反之，

16、度量空间的柯西点列未必收敛：完备度量空间的子空间，是完备空间的是中的闭子空间，（，上实系数多项式全体作为，的子空间）是不完备的度量空间、等距同构定义：设（x，d），（，）是两个度量空间，如果存在从x到上的保距映照t，则称（x，d）与（，）等距同构，此时t称为上的等距同构映照t：（度量空间完备化定理）设（x，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间（，） 使（x，d）与（，）的某个稠密子空间w等距同构，而且在等距同构下是唯一的。即若（，）也是一个完备的度量空间，且x与的某个稠密子空间等距同构，则（，）与（，）等距同构。t：设x=（x，d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间=（，），使x为的稠

17、密子空间6、压缩映照定义：x是度量空间，t是x到x的映照，如果存在一个数，0x+yy xyy是x的子空间，x和0是平凡子空间。 线性相关，无关概念m是x的非空子集，m中任意有限个向量线性组合全体记为spanm称为由m张成的包 定义：x是线性空间，m是x中线性无关子集，若spanm=x，则称m的基数为x的维数，记为dimx，m称为x的一组基，m的基数是有限时，则称为有限维线性空间，如果x只含有零元素，则称x 为0维线性空间。8、线性赋范空间定义：设x为实（复）线性空间，如果对每一个向量xx，有一个确定的实数，记为x 与之对应，并且满足： i x0 且x=0 x=0 ii x=x其中为任意实（复）

18、数 iiix+yx+y x，yx则称x为向量x的范数，称x按范数x成为线性赋范空间 xn是中的点列，如果存在xx，使xn -x0 （n）则称xn依范数收敛于x，记为xn x（n）或 xn= x令d（x，y）=x-y 是由范数导出的距离，由此观之线性贱范空间实际上是一种特殊的度量空间。 若d由导出，对任意的r，x，yx，有： （a） d（x-y，0）= d（x，y）； （b）d（x，0）=| d（x，0）反之，x是线空间，d是距离，满足（a）和（b），那么一定可以在x上定义范数x使d是由范数导出的距离， x=d（x，0） x是x的连续函数，事实上，任意x，yx，由范数条件2）和3）易证 | y-

19、x|y-x，所以，当xn -x0时xnx 完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间（banach spaces）1） r x=（|i| ） 构成banach空间2） ca，b x=sup|x（t）| 构成banach空间3） : x=sup|i|构成banach空间4） la，b p=（|（x）|dx）1/p构成banach空间 p1证明需用到引理1 和2引理1：（hlder不等式）设p1，1/p+1/q=1， la，b g la，b 那么，g在a，b上l可积且成立： |（x）g（x）|dxpgq引理2：（minkowsky不等式）设p1，g la，b，那么+g la，b 且成立：+gpp+gpt-2

20、：la，b （p1）是banach空间5）l x=（|i| ）1/p 是banach空间t-3设x是n维线性赋范空间，（e1，e2，en）是x的一组基,则存在常数m和m使对一切 x=iei成立mx(|i| ）mx推论1:设在有限维线性空间上,定义了范数x和x1那么必存在常数m和m 使得 mxx1mx定义2:设r是线性空间, x1和x2是r上两个范数,如果存在正数c1,c2,使对一切xr,成立: c1x2x1c2x2则称(r, x1)和(r, x2)是拓扑同构的推论2:任何有限维赋范线性空间都和欧氏空间拓扑同构,相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构.第七章 线性赋范空间和线性连续泛函 基本要

21、求：1、 理解线性算子、线性泛函的概念。2、 掌握线性有界算子的概念和有关性质，以及二者这间的关系。3、 了解算子的范数的概念，熟悉一些线性有界算子的例子，并知道无界算子是存在的。4、 了解线性有界算子空间的概念和性质。5、 掌握共轭空间的概念和性质，知道一些特殊空间的共轭空间。算子定义：线性赋范空间x到y的映照t被称为算子，如果y是数域，则被称为泛函线性算子和线性泛函 t1： 设x和y是两个同为实（或复）的线性空间，()是x的线性子空间，t为到y中的映照，如果对任意的x，y ，及数，成立： t（x+y）=tx+ty （1） t（x）=tx （2）则称t为到y中的线性算子，其中称为t的定义域，

22、记为（t），t称为t的值域 记为(t)，当t取值于实（或复）数域时，称t为实（或复）线性泛函 几种常见的线性泛函： 1、相似算子tx=x 当=1时，恒等算子，零算子； 2、p0，1是0，1上的多项式全体，定义微分算子，若t00，1，对xp0，1，定义（x）=x（t0）则是p0，1上的线性泛函。 3、积分算子 xca，b tx（t）=x由积分线性性质知t为线性泛函，若令=x则是ca，b中的线性泛函 4、乘法算子 tx（t）=tx（t） 5、r中的线性变换是线性算子 线性有界算子 定义：设x和y是两个线性赋范空间，t是x的线性子空间（t）到y中线性算子，如果存在常数c，使对所有x（t），有：txc

23、x，则称t是（t）到y中的线性有界算子，当（t）=x时，称t为x到y中的线性有界算子，简称为有界算子。否则，称为无界算子。t-1：设t是线必性赋范空间x到线性赋范空间y中的线性算子，则t为有界的充要条件是t是x 上的连续算子。t-2：设x是线性赋范空间，是x上线性泛函，是x上连续泛函的的零空间（）是x中的闭子空间。定义：t为线性赋范空间x的子空间（t）到线性赋范空间y中 线性算子，称 tx=s u p tx/ x 为算子t在（t）上的范数 x0,x（t） 引理：t是（t）上线性有界算子，成立t=s u p tx/ x=tx=s u p tx/ x x（t）,x=1 x（t）,x1 线性算子空间

24、和共轭空间x和y是两个线性赋范空间,以(xy)表示由x到y中线性有界算子全体.当a和b属于(xy)时,是所讨论的数域中的数时,定义(xy)中加法运算如下:对任意的xx,令(a+b)x=ax+bx(a)x=ax则(xy)按照如上加法和数乘运算和算子范数构成线性赋范空间.t:当y是banach空间时, (xy)也是banach空间一般地,设x是线性赋范空间,如果在x中定义了两个向量的乘积,并且满足 xyxy x,yx则称x为赋范代数,当x完备时,则称x为banach代数,由t知,当x完备时, (xy)是banach代数.共轭空间:设x是线性赋范空间,令x表示x上线性连续泛函全体所成的空间,称x为共

25、轭空间.t:任何线性赋范空间的共轭空间是banach空间.定义:设x和y是两个线性赋范空间,t是x 到y中的线性算子,并且对所有的xx,有 tx=x 则称t是x 到y中的保距算子，如果又是映照到上的，则称是同构映照，此时称与同构第八章 内积空间和希乐伯特空间 基本要求：1、 掌握内积空间，希乐伯特空间的概念，熟悉一些具体例子。2、 理解内积与其诱导范数之间的关系。3、 理解许瓦兹不等式和平行四边形法则。4、 了解凸集的概念，掌握正交的有关概念。5、 掌握直交补空间的定义与性质。6、 理解投影算子的概念，掌握投影算子的性质。内积空间和希尔伯特空间定义：设是复线性空间，如果对中任何两个向量,，有一

26、复数，与之对应，并且满足下列条件:x,y 0 ，=0当且仅当x=0,xx; +,z=，z+,z x y zx, c(复数)，=,x x,y x则称，为x与y的内积,x为内积空间内积引出的范数 x=，引理(schwarz不等式)设x按内积，成为内积空间,则对于x中任意向量x,y,成立不等式 ， xy 当且仅当x与y线性相关时取等号.易得出:范数不等式x+yx+y内积导出的范数x构成线性赋空间,若完备,则称hilbert空间.满足平行四边形法则. x+y+x-y=2（x+y） （内积空间范数的特征性质）如 la，b l 是hilbert空间，当p2时 lp不成为内积空间ca，b按范数 x=x（t）

27、 不成为内积空间极化恒等式（内积与范数关系式）（内积可用范数表示）x，y=1/4（x+y-x-y+ix+iy-ix-iy）当x 为实内积空间时，x，y=1/4（x+y-x-y）由schwarz不等式，立得xn，ynx，y定义：设x是度量空间，m是x的非空子集，x是x中一点，称d（x，y）为点x到m的距离，记作d（x，m）在线性赋范空间中 d（x，m）=x-y设x是线性空间，x，y是x 中的两点，称集合z=x+（1-）y；01 为x中联结点x和y的线段，记为x，y，如果m是x 的子集，对m中任意两点x，y必有x，y m则称m为x中的凸集定理：（极小化定理）设是内积空间，是中非空凸集，并且按中由内

28、积导出的距离完备，那么，对每一个xx，存在唯一的ym，使 x-y= d（x，m） 推论1：设x是内积空间，m是x 的完备子空间，则对每个xx，存在唯一的ym，使 x-y= d（x，m） （应用于微方、现代控制论、逼近论） 定义：设x是内积空间，x，y是x中两向量，如果 x，y=0 则称垂直或正交，记为xy如果x的子集a中每个向量与子集b中每个向量正交，abxy x+y2=x2+y2引理1：设x是内积空间，m是x的线性子空间，xx，若存在ym使x-y= d（x，m），那么x-ym 定义2：直接和：y和z是x的子空间，对每一个xx，存在唯一的yy，zz 使x=y+z，则称x为y和z的直接和。y和z

29、称为一对互补子空间。z称为y的代数补子空间。 易知互补子空间必线性无关。定义3：设x 是内积空间，m是x 的子集，称集合m=xmxm为m在x 中直交补 m是x 中闭线性子空间定理2：设y是hilbert空间的闭子空间，那么成立 x=y+y直接和记作：x=yz x=y+z，y是x在y中的直交投影。投影算子 px=y 具有性质： p是x到y上的线性有界算子，且当y0时，p=1px=y，py=y，py=0p2=p p是投影算子 p=p*=p2设x是内积空间，m是x的子集，记（m）=m显然有 mm反之有：引理2：设y是hilbert空间x的闭子空间，则成立 y=y引理3：设m是hilbert空间x中非

30、空子集，则m是线性包spanm在x中稠密的充要条件是m=0定义4：设m是内积空间中不含零的子集，若m中向量两两直交，称m为x中直交系，又若m 中向量范数为1，则称m为x 中的就范直交系。直交系的基本性质：x1+x2+.+xn2=x12+x22+.xn2直交系m是x中线性无关子集定义5:设x是线性赋范空间,xi, i=1,2,.是x中一列向量,1, 2,.n是一列数,作形式级数ixi 称sn=ixi 为n项部分和若存在xx,使snx 则称级数收敛,并称x为其和,记作x=ixi定义6:设m为内积空间x 中就范直交系, xx,称数集 x，eem为向量x关于就范直交系m的富里叶系数集,而称x，e为x关

31、于e的fourier系数 引理:设x是内积空间,m是x 中就范直交系,任取m中有限个向量e1,e2,.en那么:(1) x-x，eiei2=x-x，ei2 0(2) x-i eix-x，eiei其中i为任意的n个数定理(bassel不等式)设ek是内积空间x 中的有限或可列就范直交系,那么对每一个xx,成立不等式x，ei2x2若上式等号成立,则称为parseval等式引理：设 ek 为hilbert空间x中可列就范直交系，那么成立：（1）iei收敛的充要条件是i2收敛 （2）若x=iei 则i=x，ei i=1,2,.故x=x，eiei(3) 对任意的xx,级数x，eiei收敛推论1: 设 e

32、k 是x中可列就范直交系，则对任意的 xx ， x，en=0定义:设m是内积空间x的就范直交系,如果 spanm=x 则称m是x中的完全就范直交系.定理:设m是hilbert空间x中就范直交系，m完全的充要条件是m=0定理:m是hilbert空间x中完全就范直交系的充要条件是，对所有xx,parseval等式成立.满足定理条件的m x中的x可展成x=x，ee称为向量x关于就范直交系m的fourier展开式. 推论2: (ce定理)m是hilbert空间x中就范直交系,若parseval等式在某个稠密子集n上成立,则m完全.引理3:设xi是内积空间x中有限或可列个线性无关向量,那么必有x中就范直

33、交系e1,e2,.,使对任何正整数n,有spane1,e2,.en= spanx1,x2.xn本定理的证明过程称为gram-schmidt正交化过程定理4；每个非零hilbert空间必有完全就范直交系。定义5：设x和是两个内积空间，若存在x到的映照t，使对任意的x，yx以及数，满足t（x+y）=tx+tytx，ty=x，y 则称x和同构，并称t为x 到上的同构映照定理5：两个hilbert空间x与同构的充要条件是x与有相同的维数。推论3：任何可分的hilbert空间必和某个r或l同构定理（riesz定理）设x是hilbert空间，f是x上线性连续泛函，那么存在唯一的zx，使对每一个xx 有 f

34、（x）=x，z 并且 f=z对每个yx 令ty=fy 其中fy为x上如下定义的泛函： fy（x）=x，y ， xx显然fy是x上线性连续泛函，由riesz定理，t是x到x上的映照，x是x上线性连续泛函全体所成的banach空间，又ty=y。易看出，对任意的x，yx以及数，成立： t（x+y）= tx+ty （）事实上，对任何zx，有t（x+y）（z）=z，x+y =tx（z）+ty（z） =（tx+ty）（z）所以（）成立.称满足（）的映照t是复共轭线性映照,ty= fy是x到x上保范共轭线性映照,称为复共轭同构映照,若存在h空间x到上的复共轭同构映照,则称x与是复共轭同构,此时将x当成,当x

35、是h空间时,x=x,即x是自共轭的.定理：设x和y是两个h空间，a(xy)，那么存在唯一的a (xy)，使对任何的xx，yy，成立 ax，y=x，ay 且a=a定义：设a是h空间x到h空间y中的线性有界算子，则上定理中算子a为a的hilbert共轭算子，简称共轭算子。共轭算子有下列基本性质：（a+b）=a+b（a）= a （a）=a aa=aa=a aa=0等价于a=0 当x=y时，（ab）=ba定义：t为h空间x到x中的线性有界算子，若t=t，则称t为x上的自伴算子；若tt=tt，则称t为x上正常算子；若t是x到x上的一对一映照，且t=t，则称t是x 上的酉算子。引理：t为复内积空间x上线性

36、有界算子，那么t=0对一切xx，成立 tx，x=0定理：设t为复h空间x上线性有界算子，则t为自伴算子的对一切的xx， tx，x 是实数。自伴的和与差仍为自伴，下面有：定理：t1和t2是h空间x上两个自伴算子，则t1t2自伴的充要条件是t1t2=t2t1定理：设tn是h空间x上一列自伴算子，并且tn=t，那么t仍为x上自伴算子。定理：设u及v是h空间x上两个酉算子，那么（1） u是保范算子，即对任何xx，成立 ux= x；（2） 当x0时，u=1（3） u是酉算子；（4） uv是酉算子；（5） 若un，n=1，2，是x上一列酉算子，且un收敛于有界算子a，则a也为酉算子。定理：设t为复h空间上

37、线性有界算子，那么t是酉算子t是映照到上的保范算子。定理：设t是复h空间x上线性有界算子，a+ib 为笛卡尔分解，则t为正常算子的ab=ba定理：设t为复h空间x 上线性有界算子，则t为正常算子对xx，成立 tx= tx第九章 巴拿赫空间中的基本定理 基本要求：1、 掌握四大定理的条件和结论，了解与其相关的内容。2、 能进行简单的证明。 banach spaces令p（x）=fzx，则p（x）是在整个x上有定义的泛函，且满足（1） p（x）=p（x） xx（2） p（x+y）p（x）+p（y） x，yx称x上满足（1）和（2）的泛函为次线性泛函。定理1：（hahn-banach泛函延拓定理）设

38、x是实线性空间，p（x）是x上次线性泛函，若是x 的子空间z上的实线性泛函，且被p（x）控制，即满足（x）p（x）， xz，则存在x上的实线性泛函，使当xz时，有（x）= （x），并且在整个空间x上仍被p（x）控制，（x）p（x）， xx可以证明在全空间上定义的实线性泛函，使是f的延拓，且对一切的xx有（x） p（x）设是满足下列三个条件的实线性泛函g全体：i g的定义域（g）是x的线性子空间。ii g是f的延拓，即z，且当xz时，成立g（x）=f（x）iii 在上g被p（x）控制，即对一切x，有gp 。在中规定顺序如下：若g1，g2，而g1，是g2的延拓（即（g1） （g2），并且当x（g2

39、）时，g1（x）=g2（x），就规定 g2g1，容易证明， 按这样规定的顺序成为半序集。定理2：设x是实或复的线性空间，p（x）是x上次线性泛函，（x）是定义在子空间上z上的实或复的线性泛函，且满足 （x）p（x） xz 则存在x上线性泛函，它是的延拓，且满足 （x）p（x） xx定理3：设f是赋范线性空间x的子空间z上的线性连续泛函，则必存在x上线性连续泛函，它是f的保范延拓，即当xz时，有 （x）=f（x） 并且x=fz定理4：设x是线性赋范空间，x0x，x00，则必存在x上的线性有界泛函f（x），使得f=1，并且f（x0）= x0推论1：设x是赋范线性空间，xx，若对x 上所有线性连续泛

40、函f，均有 f（x）=0， 则必有 x=0ca，b的共轭空间定理（riesz表示定理）ca，b上每一个线性连续泛函f都可以表示为f（f）=f（t）dg（t）， fca，b其中g（t）是a，b上囿变函数，并且f=（g）注：定理中得出的g（t）不一定唯一。但如果规定g（t）是正规化的囿变函数，即需要满足g（a）=0且g（t）右连续，那么g（t）可由f唯一地决定。共轭算子定理1：线性有界算子t的共轭算子t也是线性有界算子，并且t=t定义1：设m是度量空间x中的子集，如果m不在x的任何半径不为零的开球中稠密，则称m是x中的无处稠密集或疏朗集。定义2：设x是度量空间，m是x中子集，若m是x 中有限或可列个疏朗集的并集，则称m是第一纲集，不是第一纲的集称为第二纲集。定理1：（baire纲定理）若x是非空的完备度量空间，则x是第二纲集。注：逆不成立，布尔巴基（bourbaki）在1955年曾举出反例，一个不完备的度