利用导数研究函数的单调性的题型分析

1、利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间 例：求下列函数的单调区间.(2)f(x)=3x2-2ln x.(1)y = 2x3 3x解：(1)由题意得v, =6x2-3.令 v =6x23 0,解得 xv 当xc(_*)时，函数为增函数，当xc(g+8)时,函数也为增函数.令 y =6x230 ,当 xc (222 2 )时,函数为减函数.故函数的递增区间为-4和(也 22十 ),递减区间为(一(2)函数的定义域为(0, +8), f 0 ,即令 f (x) v 0 ,即3x2-10.且x0,可解得xx3x2-13130 得，0vxv 3 ，3, 3.f(x)的增区间为(

2、3，+),减区间为(0, 3 ).规律总结：1 .在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义 域内讨论，定义域为实数集r可以省略不写.“u”2 .当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“/或“和”字等隔开，不要用符号连接，如(1)题中的增区间.变式训练：求下列函数的单调区间：(1)求函数f(x) = 2x39x2+12x3的单调区间；(2)求函数y = x3 2x2+x的单调区间.【解】(1)此函数的定义域为 r,f(x) = 6x2 18 x+ 12 =6(x 1)(x-2).令 6(x1)(x2) v 0 ,解得 1vxv2,所以函数f(x)的单调递减区

3、间是(1,2).令 6(x1)(x2) 0 ,解得 x2 或 xvl,所以函数f(x)的单调递增区间是(2, +oo), ( 8, 1).(2)此函数的定义域为 r.y =3x2-4x+ 1,令 3x2 4x+1 0 ,解得 x1 或 x.3(1， +), (-00, 3).1因此y=x3 2x2+x的单调递增区间为再令 3x2-4x + 1 0, (x21)20,当b0时，/(刈0.，函数仪)在(0,1)上是减函数；当b0 ,函数f(x)在(0,1)上是增函数；又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知: 当b0时，f(x)在(一1,1)上是减函数；当b0(f(x)v0)在

4、给定区间上恒成立.一般步骤为：求导数f(x);判断f(x)的符号;给出单调性结论.2 .导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论.变式训练：b求函数y = x+(bw0)的单调区间. xbb x2b【解】 函数y = x+(bw0)的定义域为x|x却, y= 一xx2 x2当b0时，令y更，解得x，b或xv4b，所以函数的单调递增区间为 (-8,4) 和(, +8 )；令 y 1 时，6xo= 1 0 , (j)(x)是增函数， x? x1 , 6(x) 6(1) = 0,即当 x1 时，gx00 ,故 g(x)在(1 , +8 )上为增函数；当 0x1 时，

5、6x)=1 10, mx)是减函数， x卡:寸? x (0,1) , ()(1) = 0,即当 0vx0 ,故 g(x)在(0,1)上为增函数.方法规律：1 .导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数fx); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式 fx00和fx00时为增函数；fx)0(或fx0 w 0) xc (a, b),转化为不等式恒成立求解.训练:21 .1.若函数f x x inx 1在其定义域内的一个子区间k 1,k 1内不是单调函数,2则实数k的取值范围.解：函数f (x)的定义域为(0,)，f(x)2x2x(2x)2 1(2x 1)(2x 1

6、)2x2x,_1,由 f (x) 0 得 x ,由 f (x) 2k 1,k 1内不是单调函数，则有1 - 一0得0 x ,要使函数在定义域内的一个子区间2八,，1,，3,，e0k1-k1,解得1 k ,即k的取值范围22(3是2.(2013湖北省八校高三第二次联考)已知函数f(x)= (x + a)2 7bln x+1,其中 a, b 是常数且aw 0.(1) b* 1时，f(x)在区间(1 ,)上单调递增，求a的取值范围;(2)当b = 4a b = 7a2, . .f(x)= (x+a)2-4a2ln x+ 1, x (0 , +8时，讨论f(x)的单调性.7【解】(1)b三1 ,，f(

7、x) = (x + a)2 71n x+1 ,，f(x) = 2x + 2a二x,.当x1时，f(x)是增函数，fx) = 2x+2a 0在x1时恒成立.x即a x在x1时恒成立.2x.当x1 时，y=x 是减函数，当 x1 时，y = -x0时，f x)0 ,得x a或x 2a,故f(x)的减区间为(0, a),增区间为(a, +当a0 ,得x2a或x0 结合 x0 ,得 0 vxv2或 x2 ,，f(x)的递增区间为(0, 一和2 , +),递减区间为(一,2).6分 22(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f(x)0对x0恒成立，8分a 2 ax2 2x+af(x) = a + x；x

8、=x，需 x0 时 ax22x+ar 恒成立 10 分2x化为a%彳7对x0恒成立，2x 2-=w1,当且仅当x=1时取等号.x2+11x，a/，即 ac 1 , +8).12 分3x4.已知函数f(x)= -2x2+ ln x,其中a为常数.(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间; a(2)若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，求 a的取值范围.解：(1)若 a=1 时，f(x) = 3x-2x2+ln x,定义域为(0, +0o ),1 4x2+3x+1fx() = 4x + 3 =xx(4x 1)(x 1)x(x0) .当 fx00, xc(0,1)时，函数 f(x) = 3x-2x

9、2+ in x 单调递增.当 fx0o 或 f x) = -4x + -0 或一一4x+wo 在1,2上恒成立.即一4x或一w4x. axaxa x a x令h(x)=4x -，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以一h(2)或一wh(i), xa a即一或一w 3,解得a0或0 1.a 2 a5题型三：利用导数解决不等式例：定义在r上的函数f(x)的导函数为f(x)，已知f(x 1)是偶函数且(x 1)f(x) 0.若x1x2，且x1 x2 2,则f (x1)与f (x2)的大小关系是a. f(xi)f(x2)b.f(x1)f(x2) c. f(k) f%)d.不确定解析：由(x 1)f

10、(x) 0可知，当x 1时，f(x) 0函数递减.当x 1时，f(x) 0函数递增.因为函数f(x 1)是偶函数，所以f (x 1) f (1 x), f (x) f (2 x),即函数的对称轴为x1.所以若1 x &,则f(x1)f(x2).若x11 ,则必有x22,则x2 2x11,此时由 f(x2) f(2 x,，即 f(x2) f(2 x) f(x，综上 f(x) f%)，选 c.变式训练：1 .函数f (x)在定义域r内可导，若f(1 x) f (1 x),且当x (,1)时，1(x 1) f (x) 0,设 a f(0), b f(-), c f(3),则(d) 2a. abc b

11、. bca c. cba d. cab2 .已知函数f (x)对定义域 r内的任意 x都有f (x) = f (4 x),且当x 2时其导函数f (x)满足 xf (x) 2f (x)，若 2 a 4则aaa. f(2 )f(3) f (log 2 a)b. f(3) f(log2a) f (2 )c. f (log 2a) f (3) f(2a) d. f(log2a)f(2a)f(3)解：由f(x)= f(4 x),可知函数关于x 2对称.由xf(x) 2f(x)，得(x 2) f (x) 0,所以当x 2时，f(x) 0,函数递增，所以当x 2时，函数递减.当2 a 4,1 log2a

12、2,222a 24,即 4 2a 16.所以 f (log2 a)f(4 log2a),所以2 4 log2a 3,即 2 4 log2 a 3 2a ,所以 f(4 log2a) f(3)f(2a),即f (log 2 a) f (3)f(2a),选 c.3 .已知函数 f (x)=x2-cosx ,则 f (0.6),f (0),f (-0.5)的大小关系是a、 f (0)f (0.6)f (-0.5)b、f (0)f (-0.5)f(0.6)c、 f (0.6)f (-0.5)f(0)d、f(-0.5)f (0)f (0.6)解：因为函数f(x)=x2 cosx为偶函数，所以f( 0.5

13、)f(0.5), f(x)=2x x 3时，f(x)=2x sinx 0，所以函数在0 x - 递增，所以有f(0)f (0.5)f(0.6)，即 f (0)f( 0.5)1时，fx)0恒成立, 又 f(4) =0 一则(x+3)f(x+4)1时，fx()4时，f(x)0 ,根据对称性可得当 x2时，f(x)0 ,当一2x1或1x0 , x+ 30 ,f(x)0.不等式(x+3)f(x + 4)0等价于或当时，f (x+4) 0. f (x+4) - 3,x+ 30 ,x0 ;当时，x+ 44 或 x+40- 2 x+ 41 或1 x + 44 ,解得一6vx3.故不等式(x + 3)f(x+

14、4)0 的解集为(6, - 3) u (0 , +oo ).1_5 .设f (x)是定义在 r上的奇函数，当 x 0时，f (x) 0 ,且f (鼻)0 ,则不等式f(x) 0的解集为:解：因为函数f (x)为奇函数。当x 0时，f (x) 0,函数单调递增，所以1 ,1一 ，一或0 x -,即不等式的221 1、一.，f( -) f(-) 0,由图象可知不等式 f(x) 0的解为x2211解集为(，2)u(0,-)o26 .函数f(x) xlnx ax x a r。(i)右函数f(x)在x 1处取得极值，求 a的值;(ii)若函数f(x)的图象在直线yx图象的下方，求 a的取值范围；解士丽数定义域为(口, 48工瘠)- in髭a丁人口在* = 1处取得极值， bp -20 = 0 a =. 工分,fg =*1当 (0 j)时/(,t 1, + )时/(鼻)a。.在m = 1处畋阳极ai. 3分(u )由随意，得二皿-os-右v -m. a.v:.jrlnx a*a o,得oenwl二在。