问题导向合作探究模式下的数学教学

1、个人资料整理，仅限个人学习使用，请勿商用”问题导向-合作探究模式下的数学教学-空间线而关系的判定杜根华（无锡市第六高级中学江苏省无锡214000）摘要：著名的数学教育家弗赖登塔尔认为，将数学作为一种活动来解释和分析，学习数学唯 一正确的方法是让学生进行“再创造”，即数学知识应由学生本人去发现或创造，教师的任务 是帮助和引导学生进行“再创造”工作，而不是把现成的知识灌输给学生。课前笔者对教学对 象、教学目标、教学策略、教学内容进行了精心备课，在充分挖就教材主旨思想方法基础上, 对教材进行二次深度开发。利用向量的方法判别空间线线、线而、而面的位置关系，同时比 较传统教学方法，分析各自优劣之处。在教

2、学中彰显新课程所倡导的“自主探索，动手实践， 合作交流等学习数学的方式，促使学生发挥学习的主动性，让学生的学习过程成为在老师引 导下的再创造过程。关键词：直观性思维论证向量坐标法向量几何法1基本情况1.1 学情分析授课班级是物化平行班，学生相对来讲，在基本功方面、思维品质方面都不是很出色，所以 夯实基础是关键。在平时的教学过程中，笔者重基础、落实基本知识点、基本技能、基本方 法。本节课通过学生的直观感知去建构向量和转化为坐标运算，其次，激发学生学习立体几 何的兴趣，锻炼其思维，达到熟练掌握向量之间的几何变化。1.2 教材分析本节主要内容是空间两条直线、直线与平面、平而与平面的位置关系的判定，用

3、直线的方向 向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程。本行课既对空间共面向量定理和空间 向量基本定理的灵活应用，又为后而学习空间角的计算奠定了基础，在本章中起到了承上启 下的作用。通过本节课的学习，可进一步认识用向量的方法解决立体几何问题的优越性，更 好地培养学生直观判断以及推理论证的能力。1.3 设计思路空间向量为解决立体几何问题提供了一个十分有效的工具。在教立体几何时，首先锻炼学生 通过直观判断，去建立空间直角坐标系，其次通过思维论证构建向量和转化为坐标运算。再 次也可以利用空间共而向量定理和空间向量基本定理的知识，引导学生回归向量的本质，探 究用向量的几何法去解决立体几何。笔者根

4、据学生的学情，在教科书五道例题中选择容易想 到的，容易上手的作为例题，先通过直观感受，再通过思维论证去体会空间图形的研究方法。 本节课互动方式多样化，思维训练多层次化，采取教师引导、学生探究的方式交替进行。教学目标：1、理解用向量语言来表述空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：2、掌握用向量方法判定空间线线、线而、而而的平行和垂直关系；3、培养学生的探索精神与实践操作的能力。教学重点：建构向量和转化坐标运算的方法去解决线线、线面、面而平行和垂直的关系。1 / 1个人资料整理,仅限个人学习使用,请勿商用教学难点：灵活运用向量法判定空间线线、线而、面面平行和垂直的关系。2过程实录2.1

5、复习回顾师：同学们，前面学习了几个重要的关于空间向量的概念、定理和结论，下而我们一起来回 忆。1、两个非零向量h，的充要条件是7/； = o2设向量。花的夹角为6，则ag= acos6 3、共面向量定理：如果两个向量1%不共线，那么向量了与向量z花共而的充要条件是存在有序实数组（x, y），使得p = xa + yb4、空间向量基本定理：如果三个向量不共而，那么对空间任一向量万，存在惟一有序实数组（x,y,z），使 =x. +）守2 +z3设计意图:这四个小问题起到了承上启下的作用，即对前而所学的知识进行了回顾， 也为后而解决空间立体几何图形的位置关系提供了一个十分有效的工具,起到了导向的作用

6、。2.2 知识建构2.2.1 问题情境问题一：在空间中线线、线而、而而的位置关系主要有哪几种关系？师：在空间中线线关系有哪几种关系呢？生（齐声回答）：平行、相交、异而。师：它们之中哪一种关系最为特殊呢？生（思考片刻）：垂直关系最特殊。师：线而之间有哪些位置关系呢？生（齐声回答）：相交、平行、在平面内师：很好，同学们对这些基本知识掌握的非常熟练。师：在空间中而面的位置又有几种关系呢？生（大声齐答）：两平面平行和相交2.2.2 合作探究问题二：如何用直线的方向向量和平而法向量来刻画空间线线、线而、而面位置关系？师：接下来，请同学们按事先分好的小组（每四人一组）进行讨论研究空间中线线、线面、 面面平

7、行和垂直之间的位置关系，思考如何利用直线的方向向量和法向量进行刻画？最后请 每组派一位代表展示你们的最新研究成果。研究成果展示：（各小组研究成果汇总）个人资料整理，仅限个人学习使用，请勿商用1 /1。，2 /。2 =存在实数i，= ae2 。-ll2 qi -lg q，i，。2 =。于问题探究中心，由此形成学生合作、互助、交流、研究的学习环境，有效的培养学生热爱例1、如图，在直三棱柱a8c 481g数学、枳极探究、勇于尝试的良好品质和精神。师：通过同学们大胆猜想，积极思考，动手实践，数形结合分析推理，将原本模棱两可的猜 想变为现实清晰的结论，从中体验了数学知识生成的来龙去脉，加深了对数学知识的

8、理解， 这样才能更好的加以应用。2.3 数学应用zacb=9o,zbac = 3o, bc=l.aal =,是棱cg的中点求证：bvam问题三：请同学们思考如何应用向量法解决立体几何中的线线垂直问题？生 1：要证只要证 a/。am =0. a3 = 4a + a8, am = ac + cm ,故只要证明（乖 + 丽（元+南）=0。师：很好,解决这道题目的关键是将这两个向量进行转化，那这种转化到底应用哪个知识呢？ 生：共面向量定理。师：很好，它的本质是将一个向量转化为两个向量。问题四：如何将一个向量转化为不共而的三个向量线性表示？生：选择以a4,记松作为基底，先将福和a瓦分别用基底线性表示，然

9、后运用向量的数量积去证明港而 =0。师：很好。证明同学们已经把向量之间的转化，掌握的非常熟练，从二维到三维的升华。既 然能想到把一个向量转化为一个基底来表示，那么这个基底可不可以选择特殊的基底呢？问题五：如何通过观察图形的对称性、已有的垂直关系选择特殊的基底？如何用这个 向量被这个特殊的基底线性表示？生：选择正交基底建立空间直角坐标系。分别以6、cb、eg所在直线入轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后表示相应点和向量的坐标。师：这位同学的观察能力非常强。请同学们详细的规范的写出解答过程，加强立体几何书写 的规范性设计意图：本题用了三种方法，但本质都是一样，都是用向量的方法处理立体几何问题.我

10、们 把一二两种证法归结为向量的几何法，第三种证法归结为向量的坐标法。鼓励同学们灵活选 择适合自己的方法，强调学习立体几何应采用直观感知、思维论证等认识过程，探索空间图 形的性质和解决立体几何问题的方法，注重学生思维的训练，加强书写的规范性。例2、如图，已知矩形a8c。和矩形七尸所在平面垂直，点m,n分别在对角线80, ae上，且8m= bo,求证：mn平面8石.33问题六：如何利用向量法证明这个立体几何中的线而平行关系？ 生：建立空间直角坐标系。师：您为什么选择向量坐标法？生：因为题目中出现明显的垂直关系。师：漂亮！那如何建系，如何表示向量？ 生：以/所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

11、标系，设ab = a, ao = ,a尸=c然后拿出各个点坐标，最后拿出mn和平而coe的法向量的坐标。师：这位同学的思路很明确，请这位同学到黑板上来板演，其他学生在讲义上完成。师：请同学们观察自己在书写过程中有没有用到矩形a8c。和矩形aoe尸所在平面垂直这 个条件？是不是这个条件没有用？生：在建立空间直角坐标系的时候用到的。师：很好，但必须通过证明立体几何的传统方法来说明a民ad4尸互相垂直，体现书写的完整性和规范性。师：同学们有没有发现，在表示加坐标时出现了分数形式，那能不能通过改变设法从而使得疝的坐标没有分数形式呢？生：应该假设 ab = 3c/,4o = 34af = 3c师：很好。

12、你是怎么想到的呢？你的假设会不会影响到结论呢？生：因为题目中出现的字样，题中的长度与要证的结论无关。3师：这位同学的回答非常精辟。选择合理的假设，将会给解题带来很大的便利之处。同学们证到了赤_1访之后，必须添加mn不在平面cd石内，加以强调。设计意图：通过直观感知让学生在几种方法中选择向量的坐标法，让学生的思维可以展翅飞 个人资料整理，仅限个人学习使用，请勿商用翔。同时笔者指导学生查阅教材第75页例1,感受教材是如何应用向量的几何法来证明，体 会两种方法的优越性，便于学生选择适合自己的方法。例3、如图，已知正方体abc。a8ca中，e尸分别为8坊,co的中点，求证平面平面aoe.探讨如何用向量

13、的方法证明面与面的位置关系？师：恩、，很好，这位同学已经很好的掌握了必修2中利用传统方法解立体几何，那同学们会 用向量的方法证明吗？生：只要求平面。已尸和平面ao七的法向量。师：分析的很不错，如果结论变为。/_l平面4oe,该如何证明呢？生：就是要证而为平面ade的法向量即证师：有没有其它想法呢？生：证平而aoe的法向量与而平行。师：完全正确！课后请同学们将刚才的思路完整的整理在讲义上。设计意图：高中数学新课程倡导自主探索，动手实践、合作交流等学习方式。采取合作探究 的方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再发现、再创 造”过程。通过学生的实践活动巩固自己的所学的

14、知识。让学生体验用向量法和传统法各自的 喜悦和成功。2.4 课堂小结师：请同学们回忆下，本节课你学到什么方法解决立体几何？生：本节课我学习了用向量的坐标法和几何法来解决立体几何。师：很好。老师希望同学们熟练掌握这种方法，即要解决规则的图形，又要解决不规则的图 形，做到处理立体几何问题应源于传统高于传统，达到各种方法的灵活应用.2.5 布置作业教科书第94页练习1, 3, 53教学感悟本节.课首先用直观感知的认识转化为数学符号语言，其次采取多样化的师生互动方式，最后 通过思维论证解决实际的立体几何问题，使同学们达到了感性和理性的统一。本行课知识点 虽然单调，但在知识单调的背后隐藏着一系列培养学生

15、素养、发展学生数学综合能力的好素 材。具体体现在以下几个方面：3.1 选材应源于教材，把握学情，加强直观性教材不仅是传播知识的工具，也是训练和培养学生思维的最好素材。例题具有很强的典范性 和示范性，是教材的有机组成部分。本节课教科书上的内容一共有5道例题，但一节课是不 可能完成，笔者根据学生的学情和直观性原则选择最适合学生的例题，使学生从直观出发去 概括数学现象的本质和规律。笔者选择的三道题从图形的直观角度很容易建立空间直角坐标 系，很容易将学生引入用空间向量的方法来解决立体几何，加强了教学的有效性。笔者根据 学生的学情和学生掌握知识的能力，将教科书上例题1图形的方向进行了改变，目的是为了 让

16、学生直接想到建立空间直角坐标系的方法，并且和我们常见的坐标系的方向一致，让学生 熟悉和感知坐标系的作法，体现出直观感知的作用。所以，我们以后上每一节课之前都要源 于教材，高于教材，把握学情，对教材中的题目适当删减和变动。3.2 注重思维论证和思维递进，体现方法优越性普通高中数学课程标准明确提出：数学思维能力的具体体现在人们学习和运用数学解决 问题时，所经历的直观感知、归纳类比、抽象概况、反思构建等思维过程中。这一提法无疑 又给我们的课堂教学在思维能力培养方面提供了较为具体的手段和行之有效的措施。本节课 对例题1采取了三种方法的讲解，每一种解法要求学生将自己的思考规范的书写在讲义上。 问题三到问

17、题五显示出从一个向量被两个不共线的向量表示，到三个不共面的向量表示，再 到特殊基底的表示，每一种方法之间体现出思维的递进和方法的优越，体现出二维到三维的 思维变化和特殊到一般的数学思想方法。第一种方法运用共面向量定理由一个向量被表示成 两个不共线的向量：第二种方法运用空间向量基本定理将一个向量用三个不共面的向量线性 表示：第三种方法是利用特殊化的原理，为了使解题更简便，方法更优越，寻找特殊的正交 基底，建立空间直角坐标系，运用向量的坐标法去解决。思维越来越递进，方法越来越便利, 不断地转化到本节课的重点，娓娓道来，点出本节课的精华之处。例题2虽然没有改变，但 是笔者注重学生方法的选择，思考最适

18、合的方法解决立体几何，同时注重学生的运算能力和 书写能力的培养，让学生不断观察自己所写的步骤，不断去观察题目中所给出的隐含信息， 先让学生去尝试，通过教师的引导，改变假设，使题目顺利解决。这一方法体现出直观感知 和思维论证的合理运用，学生思维的大门将被打开。例题3更是体现出学生思维的开阔性， 将传统方法和向量方法结合的天衣无缝，指出向量方法解决立体几何并不是万能的，也不一 定是最优越的。3.3 给学生提供多样化的互动方式，让学生在课堂上放飞思维的翅膝数学活动的核心是数学思考，学生只有在活动和思考的过程中才能感悟出数学的真谛，才能 逐渐养成良好的思维习惯，才能培养创新的意识和能力。有效的课堂活动

19、，主要是学生自己 “动”，学生处于主体地位，要给学生一定的思维活动的时间和空间，要给学生充分发表自己 见解与自我表现的机会，不仅使学生在深层次上理解数学知识，而且使学生学习数学的兴趣、 学习数学的动机、学习数学的方法得到很好的锻炼，使得认识得以升华，能力得以提高，素 养得以发展，通过活动，学会思维，学会发现，学会创新，这是在实施新课程教学中需要认 真解决好的问题。学生的学习风格是多样化的，这就要求教师在每节课的教学中采取多样化的互动方式。本节 课有小组合作交流、同桌合作交流，也有师生齐声朗读，也有师生个别对话等方式，体现出 师生互动和生生互动的合作交流，这一切一切的方式充分体现出以学生为主体、一切为了学 生发展的教学理念，同时尽可能地让学生开展自主探究，给学生留下足够的思考、交流的时 间和空间，注意观察学生的表现，看其是否能做到枳极地探究和主动与他人探究，对学生在 探究学习过程中的良好表现及时鼓励和肯定，使学生在教师的引导下，通过自己的思维活动 获得知识，体会思想，掌握方法，学会应用，做到使每一个学生得到不同程度的提高，此时, 课堂的气氛非常活跃，学生的喜悦之情也溢于言表，整行课进行的很有节.奏，并取得良好的 教学效果，让学生在思维的殿堂中畅游。3.4 课堂总结应起到画龙点睛的作用课堂总结