数列在生活中的应用

1、河北师范大学汇华学院本 科 生 毕 业 论 文（ 2012 届 ）题 目: 数列在生活中的应用 系 别： 数 学 系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 三 班 作者姓名： 王海静 学号： 指导教师： 张金莲 职称：副教授 学历： 本科 论文成绩： 2012 年 5 月数列在生活中的应用摘要：数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列

2、的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。关键词：数列应用 分期付款 资源利用 Mathematics is a source from life and for life science, mathematics study is the ancient human society is an indispensable part of life. Sequence calculation is in mathematics learning is a very i

3、mportant branch, and as the series of the study and calculation of the social and economic life, resources are closely linked, which makes the series research attention enthusiasm to upsurge gradually, together with the flexible calculation, interesting problems, makes for the series of research by

4、more and more attention.Key words: application of series installment resource utilization1, 引言数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况2，主要内容第一章：等差等比数列在生活中的应用一、等差数列的应用题涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后用其通项公式和前n项和公式，并借助不等式的性质解决问题。例1假设某市2005年新建住房面

5、积400平方米，其中有250平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，加50万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建的中低价房的累计面积（以2500年累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？解；设中低价房面积构成数列an，由题意知an是等差数列，其中a1=250，d=50，则Sn=250n+n(n-1)/2 50=25n2+225n令25n2+225n4750，即n2+9n-1900解得n10，或n-19（含去）故到2014年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米。二、等比数列的应用题在解决等比数列与应用问题时，首先应明确是解

6、决第n项的问题，还是解决前n项和的问题，然后运用等比数列的性质解决有关问题。A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为pn，求pn的表达式（用n表示）解： 由题意可知，第n次由A掷有两种情况：第n-1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为（12/36）Pn-1=（1/3）P n-1，第n-1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为1-（12/36）（1- Pn-1）=（2/3）（1- Pn-1）。由于这两种情况是互斥的，因此所以数列Pn-（1/2）是以P1-（1/

7、2）=（1/2）为首项，-（1/3）为公比的等比数列，于是Pn-（1/2）=（1/2）.（-1/3）n-1 ，即：Pn=（1/2）+（1/2）.（-1/3）n-1 三、递推数列的应用处理递推数列的应用题时，应先抓住第n项与第n-1项之间的联系去构建递推关系，再根据题议要求去解决问题。例3，某公司全年纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1至n排序，第一位职工得奖金b/n元，然后再将余额以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发燕尾服基金。（1）设ak（1kn）为第k位职工所得奖所金

8、额，试求a2，a3，并用k,n和b表示ak（不必证明）（2）证明akak+1（k=1,2n-1）并解释此不等式关于分配原则的实际意义。（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b），对常数b，当n变化时，求Pn（b）解：（1）第1位职工的奖金a1=b/n第2位职工的奖金a2=（1/n）1-（1/n）b，第3位职工的奖金a3=（1/n）1-（1/n）2b，第k位职工的奖金ak=（1/n）1-（1/n）k-1b，例1：在植物组织培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。那么，1小时后，这种细胞会增加到多少个？ 解析：这是生物学上的一个

9、比较常见的问题（细菌的分裂已是如此）。应用数列知识我们很快就会求得。 显然，a12，q2，n4，那么a4a1 qn-1223=16（个）一单利与复利计算方式与数列在分期付款和银行存款储蓄中，数列主要是用于利息的计算，根据单利与复利的不同，建立等差数列或者等比数列的模型。在单利计算中，若本金为a元。每期利率为P，利息与本息和可按期数排成剪列；第一期末：利息ax P，本息和a(1+p)；第二期末：利息gx 2p，本息和ax(1+2p)；第三期末：利息a3p，本息和ax(1+3p)；第n期末：利息axnp，本息和a(1+np)。由此可知，在单利的计算中，利息与本息和都是公差为印的等差数列。在复利的计

10、算中，假设本金为a元，每期利率为P，利息与本息和可按期数排成数列：第一期末：利息axP，本息和ax(1+p)；第二期末：利息ax(1+p)。P，本息和a(1+p)2；第三期末：利息ax(1+p)2P，本息和ax(1+p)-第n期末：利息a(1+p)“P。本息和ax(1+p)I由此可知，在复利的计算中，利息与本息和都是公比为(1+p)的等比数列。二 例述数列在生活中的应用数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例：某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大

11、到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1kn)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明akak+1(k=1,2,n1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；6.解：(1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2=(1)b，第3位职工的奖金a3=(1)2b，第k位职工的奖金ak= (1)k1b;(2)akak+1=(1)k1b0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所

12、剩余数，则f1(b)=(1)b,f2(b)=(1)2b,fk(b)=(1)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1)nb,故.例2：在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为200人，且第一天购买甲种蔬菜的第二天会有20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。解决方案:设第n天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为An、Bn，则： An+1=0.8An+0.3Bn; Bn+1=0.2An+0.7Bn; 由于An+Bn=200，则可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An）=60+0.5An； 则An+1-1

13、20=0.5（An-120）； 可得，An-120是以A1-120为首项，0.5为公比的等比数列； 假设，第一天购买甲种蔬菜的有a人，则 An=0.5（n-1）*（a-120）+120 当n趋近于无穷时，易得，An趋近于120且与a的值无关。则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在120人，购买一种蔬菜的人数稳定在80人。上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。三数列在银行存款储蓄中的应用银行存款储蓄业务分活期储蓄和定期储蓄，活期储蓄是指不确定存期，随时可以存取款且存取金额不限的一种储蓄方式。定期储蓄是在存款时约定存期，一次或按期分

14、次存入本金，整笔或分期、分次支取本金或利息的一种储蓄方式。定期储蓄可分为以下几种类型：整存整取、零存整取、整存零取、存本取息、定活两便和通知存款，其存取方式因类型不同而有区别。实际生活用的最多的是活期储蓄、整存整取、零存整取方式。银行存款储蓄业务都按单利计算利息。在活期储蓄中，每月按30天，每年按360天，以具体天数计算利息，计单利。例如王某以活期储蓄形式存入银行5000元，年利率为3，存期为5个月，则王某所得利息计算公式为：本金x年利率存期天数360，利息计625元，本息和为50625元。整存整取是指约定存期，整笔存入，到期一次支取本息的一种储蓄，利息计笄方式与活期储蓄相似，在约定存期到期后

15、利息计算方式为本金约定年利率约定月数12个月。零存整取与活期储蓄和整存整取业务不同，它不是一次性存入，而是在按期分次存入本金，到期一次支取本息。该业务中每期存入间隔时间相同、金额相同的款项成为年金，利息依然是以单利计算。例如某人计划每月一日存入银行1000元，若年利率为2，一年后他本息共计多少元?在不清楚银行零存整取计算公式的情况下，可用数列知识计算此人到期时的本息和。第一次存入的1000元到期时的利息为1000x 2：_第二次存入的lO00元到期时的利息为1000x 211+12；第三次存入的1000元到期时的利息为1000x 210+12第十二次存入的1000元到期时的利息为1000x 2

16、x 1-12，由此可知该数列是一个公差为10002+12的等差数列，由数列和公式可以很快得知利息和为130元，加上本金12000元，本息合计12130元。该种计算方式与银行提供的利息计算方式：利息=月存金额累计月积数月利率，累计月积数=(存入次数+1)+2x存入次数，计算出来的结果相同。需要注意的是，在实际生活中零存整取利息根据利率的调整，每期存入日期和最终取出日期的不同，利息会有微小的变化。通过对银行三种常用储蓄方式的计算与分析，数列知识能帮助我们清楚地辨别在同等情况下使用哪种储蓄方式收益更高。数列在生活的应用绝不限于银行储蓄、分期付款、贷款几方面，在保险、租赁贸易企业优化方案的设计等方面也

17、不可或缺。2 数列在分期付款中的应用分期付款是数列在生活中应用的一种模型，解决问题的关键是分清单利、复利问题，即是等差数列模型还是等比数列模型问题。例如某人年初向银行贷款10万元买房，选择lO年期偿还，偿还贷款的方式是：分IO次等额归还，每年一次，并从借后次年的年初开始归还，若lO年期贷款的年利率是4。且每年的利息均按复利计算，问每年应还多少元?分析：该例是等比数列的应用，建立等比数列的模型要抓住：lO万元历经lO年的本息和_某人10次还款的本息总和这一等量关系解：设每年还款x元，则第1次还款的x元到贷款全部还清时的本息和是x(1+4)9元，第2次还款的x元到贷款全部还清时的本息和是x(1+4

18、哟。元，第3次还款的x元到贷款全都还清时的本息和是x(1+4)7元，第lO次还款的X元到贷款全部还清时的本息和是X元(无利息)。另一方面：IO万元在lO年贷款期全部还清时的本息之和是10(1“)”故有：“l+4)5+“1+4H“l+4卜+“1刊1卜x=l o，(1+4：)Io由等比数列的求和公式得：10，x 1041“-x(104Io1M1041)解得x12330(元)上例谈的是分期付款中被绝大多数人采用的等额本息还款法，即是将一次计算出来的本金与本金在借款期限内产生的利息之和，平均分配到各还款期，由此得到每次等额的还款数额。还有一种是等额本金还款法，即每次所还的本金相同，但利息不同，这不同的

19、利息怎么计算呢?依然以上面贷款lO万元分lO年还清为例，每年还一次，并从借后次年的年初开始归还，lO年期贷款的年利率是4，不同的是采用等额本金还款方式，那么每年应还款多少元呢?还款总额又是多少?分析：依据题意和等额本金计算公式，此人每年还款金额=(贷款本金还款年数)+(本金-已归还本金累计额)每年利率，每年应还的本金为1010=1(万元)。解：第一年应还总额为lOlO+lOx 4ffil4(万元)第二年应还总额为1010+(10-1)4哆红136(万元)第三年应还总额为lo，lo+(10-2)4=132(万元)同理，可计算得第四年的还款额为128万元，第五年为124万元，第六年为12万元，第七

20、年为116万元，第八年为112万元，第九年为108万元，第十年为104万元，十年总计还款总额为122万元。通过对等额本息还款法与等额本金还款法的计算与分析可知，在生活中若我们会使用数列的知识，在同样的利率、贷款额度、还款次数情况下，就能准确计算各种四。环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。在土地资源、森林资源、某些再生资源的利用方面，我们可以运用所学到的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分配和有效利用。在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使

21、用量与年开采量之间的数量关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比等差数列关系，从而进行相应的数列计算得到需要的解答；在生物保护方面的植物研究，数列中的斐波那契数列对于植物叶序与深层组织结构关系的研究也提供了相应的指导；数列在土地荒漠化治理、河流污染控制、水资源与森林资源的开采与控制等方面都有着不同程度的应用。据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废

22、旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？7.解：设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列an是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a6=10(1+20%)5=101.25=24.883225(万吨)(2)S6=99.299299.3(万吨)从1996年到2000年共节约开采矿石2099.31986(万吨)(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾499.3=397.2(万吨)，从1996年到2001年共节约：一、 3 平方公里.二、 第二章 斐波那

23、契数列的应用斐波那契数列在现实生活中的应用非常广泛，对其进行研究以使其为我们的生活所服务具有很大的意义。人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。而对这些自然、社会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都能归结到Fibonacci数列上来。斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质，不可思议的是在自然界中也存在着这个性质，似乎完全没有秩序的植物的纸条彼此相隔的距离或叶子的生长凡是，都被斐波那契数列支持着。2.1 斐波那契数列与花朵的花瓣数花瓣数是极有特征的

24、。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。2.2 斐波那契数列与仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片厚度和一系列控制仙人掌情况的各种因素，并将所得数据输入电脑，结果发现仙人掌的Fibonacci数列结

25、构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗，适应其在干旱沙漠的生长环境。2.3 斐波那契数列与向日葵种子排列方式向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数。2.4 斐波那契数列与台阶问题只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一

26、步上两个台阶，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（，2，2），共5种方法，故F4=5以此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，.斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多，但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的它是一门科学，同时也是一种语言，一种艺术，它如同盛开的茉莉，洁白淡雅，总而言之，数学与自然、生活相伴相随，共同发展。2.5 斐波那契数列与蜜蜂的家

27、谱蜜蜂的“家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化为雄蜂。人们在追溯雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是Fibonacci数列的第n项fn。2.6 斐波那契数列的其他应用菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来， 8行向左倾斜，13行向右倾斜；挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片；常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行；美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行。第四章 黄金分割的应用 斐波那契数列和黄金比例(也叫黄金分割，取三位小数是1.61

28、8)有密切关系。黄金律，又称黄金分割率，是指把直线段分成两部分，使其中一部分对全部之比等于其余一部分对于这部分之比，即0.618/1=0.382/0.618。0.618是(-l)/2的近似值，一般称之为黄金分割数。这是在公元前6世纪由古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯提出后，又由古希腊著名美学家柏拉图称之为“黄金分割率”的。4.1 黄金分割的美学应用欧洲人将此比例广泛用于建筑、生产、生活各个领域，如雅典巴特农神殿巍然屹立的大理石柱，其上、下的比例，以及古埃及胡夫大金字塔的高度和底边长度之比都符合这个比例。数学家开普勒曾把黄金比值和勾股定理称之为几何学中两大宝藏。被誉为世界艺术珍品的古希腊雕塑、断臂

29、女神“维纳斯”整个体型的比例，以肚脐为界，全身与下身高度的比值恰为1，0.618。我国成人，肩宽和臂宽的平均数均为362毫米，肩峰到臂底的高度为586毫米，躯干的宽度与长度之比为362:586，亦巧合黄金律。尽管世界各族人的形体差异很大，但他们躯干部分的长度与宽度之比却都接近比值。除此之外，一个容貌端庄、五官修整的人，其面部的长、宽比，鼻和唇的宽度与高度之比等，都符合此值，因此人体美是世界最神奇而美妙的艺术造型。4.2 黄金分割在灾害科学中的应用 （1）当已知一个灾害周期时，很可能还有另外一个较短的周期，它与前者之比符合黄金分割数。例如日、月引起地球的半月高潮往往触发一些灾害，该半月的0.618时段，即9天也是一个易于触发灾害的潮汐周期。这两个周期的拍是前面一个已知周期的1.618倍。（2）当已知一个灾害周期，但由谷年向峰年的上升时段与由峰年向谷年的下降时