基于阶天线伺服系统模型

1、基于阶天线伺服系统模型 摘要 本文基于11阶天线伺服系统模型，并对其进行降阶。用平衡实现方法降至 3阶的模型，对降阶后的模型分别设计PID、超前-滞后控制器，并分析控制器 参数对闭环系统的影响。 运用极点配置、LQR以及方法设计状态反馈控制器和运用LQR方法设计输出 反馈控制器，然后结合内膜原理，使设计后的闭环系统能够在有参数扰动或者 常数扰动下，能够实现对阶跃信号无静差地跟踪，基于3阶模型的闭环系统的 阶跃响应的过渡时间在4s以内，并给出了相应的对应仿真结果。然后用设计好 的控制系统去控制11阶模型，使要求基于11阶模型的闭环系统其阶跃响应的 过渡过程的时间在6s以内。 关键词：天线伺服系统

2、PID超前-滞后极点配置LQR也内膜原理 第一章基于平衡实现的系统降阶 1.1平衡实现的原理 一个模型的实现有无穷多种，其中阶次最小的实现被称为最小实现。 定理：实现是最小实现的充要条件是该实现是能控能观的。 定理：所有的传递函数g(Q的所有最小实现均代数等价。 定理：若A.B.C A.B.C是同一个传递函数的两个能控能观实现。 叱络,顷.，币。分别为上述实现的能控Gramian矩阵和能观Gramian矩 阵，则吧叱，与呢闻。相似并且所有特征根均为正数。 定理：若AB,C为一任意一最小实现，其Hankel奇异值为分。；,。；，则存在一个实现A,B,C满足=%=工=山如5,6，.，6,该实现称

3、为平衡实现。 1. 2平衡实现的系统降阶过程 由上平衡实现的Hanke 1奇异值，若a, a2 - at并且“，蘇，碍 Wc=W)=diaga2)且对应的平衡实现为： 4i A2 xi + b a21 a22 则我们可以把系统降阶为： xx = AjjXj +bu 本次设计六十五米大口径天线伺服系统的模型如下： 0.058412(? +5.46S 441.69X-25.22 +273.6)(?+0.235L +125.?)(? +0.1521$+405.1)(/-茗9乩+886.7) 山 J = O +O.CCOS538I? +7.0335 +2993X? +3.166j +63.73(+5

4、D5b +y7.82X?+4.19j+3925)(?-rtlJ04732j +4073) 由于Matlab里有求平衡实现的函数balreal,故可以直接调用，求出平衡实 现。再选取前三阶实现即可。又由于Matalb求平衡实现的降阶函数balred,故 也可以使用balred进行降阶。对于该11阶天线伺服系统模型，其分别使用二 种降阶方法所得3阶模型对应波特图如下图1-1所示： :ode cegran (mopmcDQs a名)Gff.cUJ 11 1 1 1 : : 11 11 1 1 mil1 ；： 1 1 1 1 111 1 1 11 1 1 111II 11 1 1 ifTT-* f 1

5、 丄 MM 1 1 1 1 II11 11 1 1111IJ *T t *ir1Trnr* It! I k e L2 * * 1 一 一LJ J.U1U. _ -U.1-LJL1UL- -丄-LJJ-ULU_1. JxLU UJ _ UJa. Z和0），要将三个参数选择恰当，比较复杂。PID调节的超调量较小，只 比PD调节稍大，但无静差。由于积分作用，加长了调节时间，使系统的稳定性 稍有降低。PID调节通常适用于对象滞后较大、负荷变化较大、又不允许有余差 的对象。 2.3 PID控制器的设计 稳定边界法是目前应用较广的一种PID控制器参数计算方法。该方法基于系 统的稳定性理论。系统闭环特征方程

6、的根（即闭环极点）都在其复平面虚轴的左 侧时，闭环系统稳定；当闭环特征方程有纯虚根时，系统的根轨迹与虚轴相交， 其相应等幅振荡，系统临界稳定。 当置PID控制器的T=与厶=0,增加值直至系统开始振荡，此时系统闭环 极点对应在复平面的川叫虚轴上，确定系统闭环根轨迹与复平面川叫轴交点， 求出交点的振荡角频率叫及其对应的系统增益K,则其PID控制器参数整定计算 公式。 调节规律 den=l, 4.196, 30. 99, 0. 01716;%三阶系统的模型 ssy=tf (num, den); figure (3) rlocus(ssy) K, POLES = rlocfind(ssy) wm=im

7、ag (POLES ) K*0.6熾PID对应的系数 0 5*2*3. 14/wm 0.125*2*3.14/wm title C 3阶天线伺服系统的根轨迹) 2- 2 3阶天线伺服系统的根轨迹 从系统的根轨迹我们可以求出系统临界稳定的增益心=3.0488 ,系统的震荡 频率为叫严4.3669。我们可以得到临界的对应的值，当心时，系统将处于不 稳定的状态，系统将处于不稳定的状态，因此系统对于设计PID控制器其最 大不会大于增益K （震荡频率）下表是我们用稳定边界法设计PID控制器算出 来的经验值。 调节规律 kp (K=3.12) ki(Wm=4.3刀 P 1.5092 PI 1. 3872

8、1. 2224 PID 1.8293 0. 7190 0.1798 表2-2稳定边界法设计PID控制器的经验公式 图2-4系统在经验公式下的阶跃响应曲线图 从上图（2-4）中我们可以看出系统用经验公式算出来的参数配置的PID其 效果并不是很好。因此我们需要对配置参数进行修改。 当KpK=3.2,系统将处于发散的状态，所以比例不宜调节得过大。当 =3.12 Ki=O Kd=O时，系统的闭环阶跃响应如下图所示。 2.5 图2-5 K产3.12时系统的阶跃响应曲线 当PID参数 =1.8 Ki=OKd=O时，从下图中我们也可以看到系统的比例系 数越大，控制作用越强，系统能够快速响应，但是越大，也越容

9、易产生振荡， 破坏系统的稳定性。比例环节是能够加快系统的响应的，能够使系统快速响应 系统的偏差，不过也会使系统产生振动。 图2-6 K戶.8时系统的阶跃响应曲线图 当FID参数心二18,加入一个积分环节Ti=l时，系统的阶跃响应曲线如 下图所示。尽管从图上我们看到第一个波峰较大，超调较大，但是第二波峰偏 差就很小了，到第二个波谷基本系统分就稳定了。系统能够很好的消除余差。 而第一个波峰大的原因是积分器的保持作用造成的，偏差会因为积分器保持而 累加变大的。积分环节对系统的影响是会消除静态误差，但也会降低系统的响 应速度，增加系统的超调量。 2-7 k戶时系统的阶跃响应曲线 当PID参数产18,积

10、分环节Ti=l,然后再添加一个微分环节Td=l时微 分作用，系统的阶跃响应曲线如下图2-8所示。我们从图2-7与图2-8对比也 可以清晰地发现系统的超调量减小了，能够很好地克服震荡。微分对闭环系统 的影响有：有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，它加快了系统的 跟踪速度。 1.6 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 10 图2-8 k戶时系统的阶跃响应曲线图 通过我们不断地调节系统的参数发现系统在二1.4,积分环节Ti=100,微 分环节Td=O. 01,系统的闭环系统特性是最好的。 图2-9系统在PID控制下最佳的阶跃响应曲 线图 为了便于对比，我又在M文件重新编写了一段程

11、序，方便我们求解加入PID 控制器的调节时间2.82s ,比原系统调节时间更短一些。 不过系统存在4.84%的超调量。 Time (sec) 图2T0系统在PID控制下最佳的阶跃响应曲 线图 2. 4本章小结 PID控制是一种线性控制方法，它根据给定值厂与实际输出值）心）构成控 制偏差），即如）=巾）-汝）。对偏差M）进行比例、积分、微分运算的。此 次论文设计的PID是采用稳定边界法准则来设计的，这个我参考一个文献里的 做法，但是这种经验法调出来的参数来设计PID效果其实并不好，调节时间反 而挺长的，最后是通过了一种试凑的方法，先把比例环节选定，然后保持微分 环节不变，调节积分环节的系数，观察

12、系统有什么变化，最后才调出来PID的 参数，但是系统效果改善的效果还是不是很明显，总体来说此次设计的PID控 制效果不算太好，这可能跟这个系统的模型有关。尽管如此，不过我还是更加 深刻的理解了比例、积分、微分对系统的影响。 第三章基于超前-滞后控制器设计与分析 3.1超前-滞后校正设计目的 所谓校正就是在系统不可变部分的基础上，加入适当的校正元部件，使系 统满足给定的性能指标。校正方案主要有串联校正、并联校正、反馈校正和前 馈校正。确定校正装置的结构和参数的方法主要有两类：分析法和综合法。分 析法是针对被校正系统的性能和给定的性能指标，首先选择合适的校正环节的 结构，然后用校正方法确定校正环节

13、的参数。在用分析法进行串联校正时，校 正环节的结构通常采用超前校正、滞后校正和滞后-超前校正这三种类型。 超前校正通常可以改善控制系统的快速性和超调量，但增加了带宽，而滞 后校正可以改善超调量及相对稳定度，但往往会因带宽减小而使快速性下降。 滞后-超前校正兼用两者优点，并在结构设计时设法限制它们的缺点。 3. 2超前-滞后校正设计原理 超前-滞后校正RC网络电路图如图3-1所示: Cl 卄 e(t) C2 : R2 o -4- m(t) O Tl + pT2 = R、C + Rq + R统的开环Bode图来能说，就 要求在低频段抬高，以提高放大系数门帀里癡段则基本不上升，以使幅值穿越 频率保持

14、原值不变，原相位也基本不勢/此时就 C(s) 图3-4无源滞后校正网络 其传递函数为 Ts + 07 + l 其中特1, 5 此校正网络对数频率特性如图3-5所示: 图3-5无源滞后校正网络对数频率特性 从Bode图可以看出，加入滞后校正环节后，系统的中频段与高频段将会 被压缩，校正后的截止频率Q会减小。由于系统相位在频率较低时相位滞后相 对较小，故相位裕量增大，改善了系统的相对稳定性。而高频体段的衰减使系 统的抗高频扰动能力增强。但是系统的开环频带变窄，系数响应变慢。 超前-滞后校正的频域设计实际是超前校正和滞后校正频域法设计的综合， 基本方法是利用滞后校正将系统校正后的穿越频率调整到超前部

15、分的最大相角 处的频率。具体方法是先合理地选择截止频率先设计滞后校正部分，再根 据已经选定的“设计超前部分。 3. 3滞后-超前校正的设计过程 应用频率法确定滞后超前校正参数的步骤： 1、根据稳态性能指标，绘制未校正系统的伯德图； 2、选择校正后的截止频率叫； 3、确定校正参数0； 4、确定滞后部分的参数卩； 5、确定超前部分的参数人； 6、将滞后部分和超前部分的传递函数组合在一起，即得滞后-超前校正的传递函数； 7、绘制校正后的伯德图，检验性能指标。 3. 3.1用MATLAB求校正前系统的幅值裕量和相位裕量 用命令margin(G)可以绘制出G的伯德图，并标出幅值裕量、相位裕量和对 应的频

16、率。用函数kg,r,wg,wc =margin(G)可以求出G的幅值裕量、相位裕量 和幅值穿越频率。 %超前滞后 num=O. 2488,-3. 979, 31. 25; den=l, 4.196, 30. 99, 0. 01716;%三阶系统的模型 figure(4) bode(order3sys); kg, r, wg, wc=m2irgin (order3sys) margin (order3sys);%将相位裕度与幅值裕度打印在bode图上 得到的幅值裕量和相位裕量如图3-6所示： 100 0 Bod Diagram Gm = 9.57 dB (at 4.36 rad/sec). Pm

17、 = 74.2 deg (at 1.03 rad/sec) Frequenc* (rad/sec) 6 色 assud 图3-6校正前系统的bode图 运行结果：kg=3. 0081r=74. 2167 wg=4. 3603wc=l. 0339 即幅值裕量 = 201g30081 = 9573 ,相位裕量0=74. 2167。 即幅值裕度心汐迪，对应频率为叫=相位裕度0二？4.2。 截止频率二13也沧。故系统截止频率比较小，系统快速性比较差，相位 裕度已经足够大，无需调整。故系统稳态性能已经符合要求，系统仅需要在快 速性上有所提高，所以，对本系统，首要任务为提高截止频率。故为了增大截 止频率提

18、高快速性，我们首先需设计超前环节来提高幅值从而使伯德图上移从 而增大截止频率。 I 我们选择新的截止频率为咒皿S ,然后设计对应超前环节。由于原系 统开环伯德图对应h =处对数幅值为叽U-泅，要使校正后的对数 幅频特性L在该频率点通过零分贝线，显然校正网络应提供+必的幅值。又 由于幅值裕度只有9刃羽，且对应频率为叫=4%厂加，故若将超前校正的 最大超前角放到校正后系统的新的截止频率 = 2附近可能会引起系统不 稳定。故若要提供的幅值，由于超前环节斜率为+20必，我们设置 201g= 5 a 5s+1_%十1 对应伯德图如下: 0.56*5s+l2.8s + l 20 超前坏节伯德囹 4 2 s

19、p) epmluFew 15 10 1w=lims- S -*W*- *W .5 s + Gkas lim y* . (t) = lim 、十s + Gka 因此）d（s）=0 在加入内膜之后，系统对于常数扰动（仅对于内膜积分环节之后的节点）， 系统爪（切二0,其随着时间的推移，并不会对系统稳态值造成影响。因此下文 中3种控制器设计要想使闭环系统无静差地跟踪阶跃信号，以及对系统在常数 负载下达到对阶跃信号的无静差跟踪，都必须带一个内膜环节。 4. 3极点配置设计状态反馈控制器 由天线伺服系统的模型：g（s）= 0.2488?-3.9795 + 31.25 F + 4.196芒 + 30.99$

20、 + 0.01716 得到系统的状态实现： -0.0005534 -0.001189 0.0006996- A= 0.001189 -2.3855.164 0.0006996 -5.164-1.81 -1.004 _ B= 1.078 C = -1.004 -1.078 0.6347 0.6347J 由此可知A的特征值有三个，分别为-2. 0975 + 5.1560i , -2. 0975 - 5.1560i,-0. 0006,尽管系统的所有极点都在s左半平面，但是有个极点非常 接近零点。因此我们需要设计K阵，使（A-BK）矩阵的特征值都具有负实部， 使系统的动态特性更好。具体步骤如下： （1

21、）先设计状态反馈，使得系统的极点配置在我们想要的极点上面。通过不 断地调试最终我们配置的期望极点是P=-3 -5-51 -5+51（不断仿真得到的 合理期望特征值）； 期望的特征多项式为厂（刃=（2 + 3）（2 + 5 + 5/）（2 + 5 - 5/） （2）求取状态反馈增益阵K 我们可以求出K = 482 4.46 4.331 apnuQ-uw 榻点配置（状态反馈）下系统的单位阶跃响应 0.20.40.60.8 Time (sec) 1.21.41.61.8 4- 4极点配置（状态反馈）下系统的单位阶跃 响应 从图4-4,尽管调节时间非常短. =0.949$,但是从图中我们可以得知系 统

22、的稳态值为0. 17,存在静差，并不符合我们题目要求。因此要实现闭环系 统无静差的跟踪阶跃信号，单靠一个极点配置是不能实现的。由前文我们分 析得知，内膜原理的积分环节可以很小消除稳态误差。我们必须把极点配置 和内膜原理结合起来，在搭建得到系统的前向通道上添加一个积分环节，系 统的状态空间变成了 .V A 0 X 0 B = + r + - -C 0 兀） 1 0 LxoJ a n 系统的g _c。（系统阵） Ci = C 0 Dz=0 (3) 设计内膜原理 通过调试发现Ka=3 (最佳),其系统的阶跃响应图与未加任何控制器的 系统阶跃响应图对比。 1.4 系绣的单位阶咲咆应 I1 系统单位负圧

23、馈的输出响应 亲统檯点R己責下潇出响应 1 1 1 1 svst0. 001189, -2. 385, 5. 164 ;0. 0006996,-5. 164 ,-1.81; order3sys.b=-l. 004; 1. 078 ;0. 6347; order3sys_c=-l. 004, -1. 078, 0. 6347; order3sys_d=0; %极点配置配置期望极点 s=zpkC s); Bi=order3sys_b;0 P=-3 -5-5i -5+5订；设置期望极点 K=acker(order3sys_a, order3sys_b, P); disp(K) %配貿极点后新系统的状

24、态空间 Af=ordcr3sys_a-order3sys_b*K %构造配置极点后的状态空间Af矩阵 Bf=order3sys_b; Cf=order3sys_c; Df=O; sys3_control=ss (Af Bf, Cf, Df); %加入内膜原理后 sysl=sys3_control*3/s; sys=feedback(sysl, 1); %绘制阶跃响应曲线 figure (1) %绘制阶跃响应曲线 order3sys_f=feedback(ordcr3sys_G, 1);%原系统的闭环 step(order3sys.f,1 r-.1, sys, b);%内模原理闭环系统的输出响应

25、对比 %step(sys);%内模原理闭环系统的输出响应 grid on; titleC系统的单位阶跃响应)； h2 = legendC系统单位负反馈的输出响应，系统极点配賈下输出响应)； 4. 3. 1参数扰动 当系统的模型发生变化时，+=3 + ABC“=C + M时，系统对 应的阶跃响应曲线如下图所示，其中AA = AB = AC = 0.2。 %模型参数有扰动悄况时 order3sys_a=order3sys.a+0. 2 order3sys_b=order3sys_b+0. 2 order3sys_c=order3sys_c+0. 2 当A, B, C系统寢型发生不同变化时，我们从图

26、中也可以看出系统的阶跃响 应曲线发生了一些变化。系统的调节时间变得更长，但是闭环系统可以同样达 到对阶跃信号的无静差的跟踪，这也就体现了内膜原理中积分环节的作用了， 和前文分析得所得结果是一致的。 4- 7系统模型A发生变化时系统的阶跃响应 曲线 1.2 3PWQ.E1 -0 L O .2 系统的单位阶跃呃应 一系统单位负反惯瞬出响应 系统极点配置下输出响应 System:系统单位负反遗的输出响应、/ Settling Time (sec): 3.13 - System:系统极点配置下输出甲 1 Settling Time (sec): 4.37 !/八、I! I? ZJ3一LI. :1: :

27、-: :1: .I.L. :Y: :1: ； ； :1: :：1 :1: : :1: : : :- :- : :1:1: : 1111111 1 2 4 3 Time (sec) 4-8系统模型B发生变化时系统的阶跃响应 曲线 Time (sec) 3PWQ.UV 4-9系统模型A、B、C发生变化时系统的阶跃 响应曲线 4. 3. 2常数扰动 当系统存在常数负载扰动时（扰动信号不妨取为阶跃信号），用Simulink比 较直观，非常容易添加常数负载扰动。其系统框图如下图4-10所示 将上文求解的K = 482 4.46-1.33导入simulink,其仿真的结构框图如下 图所示。 0 4-11

28、simulink 3阶系统仿真框 Mat lab程序实现 %使用极点配置设计控制器 Al=-O. 0005534, 7. 001189, 0. 0006996 ;0. 001189, -2. 385, 5.164 ;0. 0006996, -5. 164,-L 81; Bl=-1. 004;1.078;0. 6347; Cl=-1. 004,-1.07 D1=O; K=-2. 2346761183312 %将数据导入simulink模型 set_paramC jidianpz/Al, Gain J A1)； setparamC1 jidianpz/Bl, Gain , * Bf ); sctj

29、paramC jidianpz/cr , Gain Clf); set_param(，jidianpz/K, Gain， K); set_paramC jidianpz/K1, Gain,1 T ); A2, B2, C2, D2=linmodC jidianpz,)俺导出3阶模型 Gl=ss(A2, B2, C2, D2); figured) step (A2, B2, C2f D2); grid on; %hold on ;%3阶模型阶跃响应 title (加入扰动后系统的阶跃响应曲线); 从下图我们也可以看出由对于外部的常数扰动，我们设计基于极点配置设计 的闭环系统依然可以很好的实现无静

30、差跟踪单位阶跃响应。 2 6 8 10 12 Time (sec) 力叭扰动后系统的阶跃响应曲线 .5O O. 图4T2存在常数负载扰动时系统的阶跃响应曲 线 4.4系统的开环波特图分析 图4-13是系统加入内膜原理和状态反馈后，图4-14是系统的开环bode图 与未加任何控制器作用下系统开环的bode图之间的对比。 20 Bode Diagram Gm = 14.7 dB 2.56 radfsec), Pm =67 deg (at 0.612 rad/sec) o o o o o 2 4 6 8 - - - - 10-1 10 101 102 Freqjency (rad尿c) o o 8

31、9 1 o o 9 - 4- 13加内膜和极点配置后系统的开环 bode 极点配置斗内膜原理的系统开环波特国 150 o o 5 - o o 8 1 6邕 -$-sec) (6OP)oseLCL 图5-5加入改进后LQR控制器3阶系统开环 伯德 由上图结果可知系统稳定，相角裕度为65. 7度，截止频率为0. 673rad/s., 幅值裕度为U.3dBo满足要求。 5. 4 LQR的状态反馈控制器抗扰动的分析 由5. 3节我们得到了基于降阶后3阶模型的LQR状态反馈控制器，并且在 加入内膜的情况下实现了无静差跟踪阶跃信号，过渡时间也小于4秒。在这一 节中我们将对该控制器的抗扰性加以测试，观察是否

32、在有参数干扰和常数负载 干扰的情况下闭环系统对阶跃信号达到无静差跟踪。 5. 4.1常数负载扰动 首先我们观察当系统加入常数负载扰动的情况下系统对阶跃信号是否可以 达到无静差跟踪。Simulink仿真模型如下: 5-6加干扰下的LQR控制器模型 由于课题要求的是常数负载扰动，故我们给系统加入一个阶跃信号扰动。分 别观察在响应一开始加入扰动和等系统跟踪阶跃稳定后加入扰动2种情况。首 先我们测试在响应一开始分别系统内部每个状态上均加入幅值为1 1 1, 2 2 2时对应的闭环系统阶跃响应，即将扰动延时设为0,看LQR状态反馈控制闭环 系统是否可以对阶跃信号达到无静差跟踪。修改5.3中M文件程序，得

33、到阶跃 响应如下： 5- 7加入常数扰动后闭环系统阶跃响应 由上图可知系统对于一开始加入的常数负载扰动LQR状态反馈控制器闭环 系统虽然出现了比较大的超调但仍然可以对阶跃信号达到无静差跟踪，并且扰 动越大，超调越大，扰动越小，超调越小。 由上图可以看出对于内部的常数扰动，我们设计的LQR控制器闭环系统依 然可以很好的实现无静差跟踪单位阶跃响应，鲁棒性比较好。 然后我们来测试系统跟踪阶跃稳定后出现常数扰动的情况。这里我们将干 扰延时设为4s,即4s后再加入扰动。此时阶跃响应如下图5. 8所示。从图中阶 跃响应曲线可以看出，当系统跟踪阶跃响应稳定后再加入常数负载扰动后系统 在出现波动后再次回到稳定

34、位置。即对与常数负载扰动，闭环系统同样可以对 阶跃信号达到无静差跟踪，符合课题要求。 5- 8延时4秒后加入常数负载扰动扰动时 阶跃响应 5. 4. 2参数扰动 然后我们测试LQR控制器对于参数扰动的抗扰情况，观察是否同样可对单 位阶跃信号实现无静差扰动。参数扰动测试同样分为在开始时加入参数扰动和 在系统响应稳定后加入参数扰动，simulink模型如下图所示。 KI 图5-9 3阶系统LQR控制下的simulink模型 首先同样我们先测试响应开始时加入参数扰动时系统阶跃响应情况，即将 A, B, C阵扰动参数延时设置为0,导入扰动参数，观察闭环系统对于阶跃信号是 否还可以达到无静差跟踪，这里我

35、们同样加入2种扰动： = 0.2*(A,B,C)和 =0。两种情况分别修改为 A3=(Al+0.2*Al);B3=(Bl+0.2*Bl);C3=(Cl+0.2 *C1)和 A3= (Al+0.1) ;B3=(Bl+0.1);C3(=Cl+0.1)o 1)加入参数扰动 = 0.2*(A,B,C)即A,B,C阵变为原模型12倍时，降阶后 0.2488F-3.979s+31.250.3582,-6.876s+64.79 模型由原来的+4.196?+30.99+0.01716 变为? +5.035?+44.62s+0.02965 ,参数 发生变化，此时在我们设计的LQR控制器下闭环系统阶跃响应如下：

36、1.4IiiiIh 参数扰动时LQ 口控制器阶趺响应 System:参数扰动C刖LQR控制器阶跃响应 Settling Time (s-ec: 2.48 8 6 4 。 6.3比控制器设计的基本原理 事实上，H控制器的设计方法有许多种，例如线性矩阵不等式及结构奇异 值U分析方法。本节中我们主要采用的是基于加权混合灵敏度的回路成型法。 考虑系统的鲁棒性能充要条件是： |WSI + WTI|L叫|,则 1-1W2I (2) 在高频段，有昭11叫丨，贝IJ ILI|虬I范围内的 IWJ/（1-1 W2）；另一条是在髙频段W lv 1 v叫I范围内的（1-1叫1）/1 w21。 2、我们再设计目标曲线

37、ILI：在低频段让它位于上述第一条曲线之上，同时 远远大于1；在高频段让它位于第二条曲线之下，且远远小于1；在更高的频率 段上让它的下降速度至少与原系统P一样快。 3、寻找一个稳定的最小相位的传递函数L,使其Bode图的幅频特性满足 上面的要求，然后规范化使得L（0）0。并且满足关系式： II 即消除干扰对系统性能的影响，这也是相比较其他控制器而言，H无穷控制器 的最大优势。 鲁棒/Ao控制指的是当系统参数存在一定范围内的摄动时（注意此时其传递 函数非固定值，而是在一定范围内波动），系统可用一族传递函数来描述，称为 传递函数集（无穷多个元素），其输入输出增益也非固定值，但我们可以选择其 中最大

38、的增益作为该函数集的增益。鲁棒日工控制就是抑制噪声到期望输出之间 的传递函数集的最大增益，从而达到抗扰的目的。 由上图可知，误差信号、控制信号的加权函数和输出信号分别Wl、W2和 W3。这样便使得传递函数具有加权混合灵敏度，从r到旳传递函数为 ws 兀厂W.R 这里，s、R、T分别为: S = (I += KI + GK)l,T= GKI + 即我们通过设计W1,利用寻找一个控制器，使其不仅能够镇定原系统，还能使 得系统的灵敏度函数满足一定的求。即该目标器同时满足鲁棒稳定和鲁棒性能 的要求。在三个加权函数W1. W2、W3中，我们知道在理想情况下，系统的 模型是确定的，因此W3不考虑，而W2主

39、要用于限制控制输入信号u的幅值, 我们取一小常数即可(也可以起到压制干扰的作用)。 6.4比控制器的设计 根据前面7.2节的准备知识可知道：在低频段应使得从而限制误差 传递函数S(s)的幅值，使得系统在低频段有较好的响应特性；同时在高频段应该 满足IW1K1,虽然这时会抬高误传递函数的幅值，但根据水床效应，可以保证 系统的闭环传递函数在高频段具有足够低的幅值和足够快的下降速度，从而使 得系统有较好的抗高频干扰特性。因此我们令W1有如下形式： 岛如+ 1) + 1) ,要实现系统无静差跟踪阶跃信号，必须在前向通路上加一个内膜环节消除余 差。系统的结构框图如下图所示(图73) 经过多次调试发现了，

40、吩册搭选7吨“9。皿 W2=0.01,系统闭环响应特性己经很好了。此时我们得到控制器的传递函数为: 333 + 14()lr+10350.s+5.729 54 + 112.3?+7175 +63195 + 33.24 % 3阶模型Hinf控制 s=zpk C s); G=order3sys_G; W1=O. l*(l*s+100)/(190*s+l) ; W2=0.01; W3=;%灵敏度函数 P=augw(G, Wl, W2, W3); %构成混合系统 LK, CL, GAMJ=hinfsyn(P) ;%Hinf控制器 numl, denl=ss2tf (It a, K b, K. c, K

41、. d); sys_control=tf (numl, denl)%Hinf控制器传函 P = augw(G, Wl, W2, W3) Time (sec) 图6-5乩控制下系统的阶跃响应曲线 从图6-5我们可以清楚地看到系统的调节时间匚 =3.63s,满足题意要求。 6. 4.1参数扰动 当系统的模型发生变化时，+=B + ABC=C + AC时，系统对 应的阶跃响应曲线如下图所示，其中= A = AC = 0.2。 %模型参数有扰动情况时 order3sys_a=order3sys_a+0. 2 order3sys_b=order3sys_b+0. 2 order3sys_c=order3

42、sys_c+0. 2 我们从图中也可以看出系统的阶跃响应曲线发生了一些变化。系统的调节时 间变得更长，甚至出现了误差，但是闭环系统可以同样达到对阶跃信号的无静 差的跟踪，和我们前文分析所得结果一致。 1.2 2 3456 Time (sec) 1 System: he控制下的3阶杀统的航跃输出响应 .2 0. o O -2o 6- 6参数扰动下氏控制下系统的阶跃响应曲 线 而恰恰Hx控制器从意义上讲最大的优势就在于它能压制干扰的幅值，可以 说H无穷控制器就是为干扰而存在的。并且干扰还存在着一定的不确实性，这 更能体现出H=控制器中的鲁棒性能的强大。我们调整一下腔，将腔取为0. 001, 系统的

43、阶跃响应曲线如下图6-7所示 spn 空 dEl Hhf控制下的3阶系统的阶跃输出咱应 1 234 Time (sec) 6 图6-7参数扰动下盅控制下系统的阶跃响应曲 线 6. 4.2常数扰动 当系统存在常数负载扰动时（扰动信号不妨取为阶跃信号），用Simulink比 较直观，非常容易添加常数负载扰动。其系统框图如下图所示 333.9F + 1401/ + 10350s+ 5.729 一 s1 +112.3f + 717.5/ + 6319s + 33.24 0.248852 3.979s + 31.25 g S ?+4.196.v2+30.99.v + 0.01716 将控制器和系统模型放

44、入下图中 系统阶跃响应（带常数扰动）曲线如下图所示，从图上我们也可以清晰看到, 系统在常数扰动干扰下，系统依旧能够对阶跃信号达到无静差的跟踪。我们对 比前面其他几种方式控制器，在相同扰动下，在控制能够使系统是具有非常 好的鲁棒性。 6- 9带常数扰动系统的阶跃响应曲线 -180 Bode Diagram Gm = 13.2 dB (at 2 59 radfeec). Pm = 68 deg (at 0 603 radfeec) io4 io2 10 10 Frequency (rad/sec) 6-10孔控制下系统开环bode图 6. 5系统的开环波特图分析 从下图中，我们可以看出系统加入内膜

45、原理和孔后，系统的相角裕度是68 幅值裕度是13. 2dB系统是稳定的。另外开环截止频率也比上面设计的所有控 制器都要髙，即获得了非常快的响应速度，同时也保证了系统的稳定性。 150 100 50 0 -50 -100 -150 270 180 90 6. 6控制器控制11阶模型分析 运用上文中极点配置设计的控制器去控制11阶模型(降阶之前的模型)。 基于11阶模型的闭环系统其阶跃响应的过渡过程时间要求是在6秒以内。如下 图所示基于11阶模型的闭环系统其阶跃响应的过渡过程时间人.=3.55$ ,满足 题意要求。由前文中我们得知，Hr控制器： 333.9/ + 140152 +103505 +

46、5.729 一 s1 +112.3疋 + 717.5/ + 6319s + 33.24 我们只要将系统的结构框图中3阶模型改成11阶模型，即可用来控制11阶系 统。 图6-11乩控制下系统开环bode图 14 % 1 234 lime (sec) Hi徑翘下的14修系统的绅趺输岀响应 2 8 6 o O 2 O 6- 12乩控制下系统（行阶）闭环阶跃响应曲 从下面的bode图中，我们可以看出系统加入内膜原理和后，系统的相角 裕度是67.3 ,幅值裕度是11.5dB,因此系统是稳定的。开环截止频率为 0. 612rad/sec Bede Diagram 543 363 183 -8+10i;-8

47、-10i; Ll=(acker(AU，CT，V;%计算状态观测器增益 参数 R=l;%权阵R Q=diag(5,l,ll)；%权阵 Q N=3;0;3;%权阵 N Kl，Pl，El=lqr(Al，Bl，Q，R，N);%LQR 最优增益 K1 set_param(,LQR10/Kl,；Gain,Kl,);% 将数据 导入simulink模型 A29B2,C2,D2=linmod(,LQR,);%导出 3 阶模型 G1二ss（A2，B2，C2，D2）; 运行后得到LQR输出反馈控制器下闭环系统阶跃响应曲线及伯德图如下所 示: 输岀幅值 oO 600 ssec(sec) Phase (deg)Mag

48、nitude (dB) Frequency (adjsec) o g g O S S o Bode Diagram Gm = 113 dB (a2.37adjsec) Pm n 657 deg (0.673 rad/sec) 图7-5 3阶系统LQR输出反馈控制器下伯德 由上阶跃响应及伯德图可以看出闭环系统可无静差地跟踪阶跃信号，过渡 时间2.98秒符合课题要求。伯德图相角裕度为65.7度，截止频率为0.673rad/s., 幅值裕度为11.3dB,系统稳定，满足课题要求。 由于状态观测器可以消除估计状态才与实际系统状态兀之间的误差，故我 们可以给实际系统状态设置一初值，例如二I】，再运行观察

49、估计状态是 否可以跟踪实际系统状态，闭环系统此时的阶跃响应还能不能达到无静差跟踪。 此时阶跃响应如下图7-6所示。 7- 6 3阶系统有初值状态下阶跃响应 很明显此时阶跃响应同样可以达到无静差跟踪，且过渡过程时间在4秒以内， 故亦满足课题要求。 7.3 LQR的输出反馈控制器抗扰动分析 由7.2节我们得到了 3阶模型的LQR输出反馈控制器，并且在加入内膜的 情况下实现了无静差跟踪阶跃信号，并且在有无初始状态的情况下过渡时间均 小于4秒。由于课题要求在有参数扰动和常数负载扰动情况下，闭环系统可同样对阶跃信号达到无静差跟踪。因此这一节中我们将对该控制器的抗扰性加以 测试，观察是否符合课题要求。 7

50、. 3.1常数扰动 同样我们首先测试闭环系统抗常数负载扰动性能，由于课题要求的是常数 负载扰动，故我们给系统加入一个阶跃信号扰动，扰动增益分别取1,2。观察闭 环系统是否可以实现无静差跟踪。Siinulink加入扰动后系统模型如下图7-7所 7-7加入常数负载扰动LQR输出反馈控制 系统模型 修改M文件程序后首先将扰动延时设为0,得到加入常数负载扰动1,2后闭环系 统阶跃响应，分别如下图78所示。 5 4 Step Response 0.5 Tme(sec) 5 O 5 5 1 opnsduv 7-8加入常数负载扰动LQR输出反馈控制 系统模型 由上图可知对于常数负载扰动，LQR输出反馈控制系

51、统可以很好的抗扰， 实现无静差跟踪阶跃信号。接下来在无扰动下系统稳定以后再加入常数负载扰 动，观察系统是否还可以继续无静差跟踪阶跃信号，将模块的延时环节设为4s, 阶跃响应如下: 延时4秒加入琳斂戟扰动阶眾响应 15 05 图7-9延时4秒后加入常数负载扰动阶跃响应 7. 3. 2参数扰动 然后我们测试LQR输出反馈闭环系统对于参数扰动的抗扰性。由于若参数 扰动发生在开始时则只改变系统参数值，不改变系统结构，故系统结构仍如图 7.3所示。只需要修改M文件导入的状态空间值即可。与第五章原理相似，我们 同样通过调整系统状态方程阵A,B,C来实现模型参数扰动。分别考察加入 =0.2* (A,B,C)

52、和二。两种情况。观察闭环系统对于阶跃信号是否还可以达 到无静差跟踪。两种情况分别修改 A3=(Al+0.2*Al);B3=(Bl+0.2*Bl);C3=(Cl+0.2 *C1)和 A3= (Al+0.1) ;B3=(Bl+0.1);C3(=Cl+0.1)o 加入参数扰动 = 0.2*(A, B, C)即A, B, C阵变为原模型1. 2倍时，降阶后系 0.24 费3.97% 十力.25038牯-6.876s 十 64.79 统由原来的s3 +4.196s2 +30.99S +0.01716 变为s3 + 5.035? +44.62s+ 0.02965 , 参数发生变化，此时在我们设计的LQR输

53、出反馈控制器下闭环系统阶跃响应如 下图7-10所示： si 0 1 234567 时间/S&G (seG) 盼跃响应 :- O. 6 4 2 eia.o. 加入参数扰动 =0. 2* (A, B, C)后LQR 输出反馈控制系统阶跃响应 将A,B,C阵系统加上一个时，降阶后原3阶系统模型由原来的 0.2488s2 -3.9795+31.250.2049s2 - 5.726 + 26.54 ? + 4.196s +30.99s +0.01716 变为s3+ 3.896?+ 30.15-3.081,参数发生变化, 此时在我们设计的LQR输出反馈控制器下闭环系统阶跃响应如下图： 1.2 阶跃响应 -

54、0.2 012345678910 时间/sec (sec) 2 o. 加入参数扰动AR. 2后LQR输出 反馈控制系统阶跃响应 图712延时4秒加入参数扰动Simulink仿真 模型 由上面参数扰动情况可以看出LQR输出反馈控制系统可以对阶跃信号达到 无静差跟踪，并保持稳定。接着我们测试当参数扰动发生在系统运行中情况。 Simulink仿真图如下： 接下来我们将A,B,C延时均设为4s.测试当系统响应稳定后发生参数扰动A 阵分别加上心卫啊二0.1情况，此时系统阶跃响应曲线如下图7-13, 714所 示： ,延迟4秒后睛加入翳数扰动 =O.2*aM系统阶跃响应 1*4 iIIIIIIIit 2

55、20 024681012141618 时间/see 7-13延时4秒后A阵加入参数扰动心0 2核后系统 阶跃响应 7-14延时4秒后A阵加入参数扰动go i后 系统阶跃响应 由上图阶跃响应可以看出当在系统运行过程中即使系统参数发生比较大变 化时，阶跃响应扰动比较小而且最终仍然可以跟踪阶跃信号达到无静差跟踪。 故我们的设计满足课题要求。在有参数扰动和常数负载扰动情况下均可以达到 无静差跟踪。 最后在系统运行过程中同时加入幅值为1常数负载扰动和=0-2*参数 扰动，观察在此情况下是否仍能无静差跟踪，延时同样设为4s,阶跃响应如下： 运行过程中伺时加入#数扰动和*数员找扰动下阶跃响应 0246S1012：1411820 时间/sec 5 0 5 4 图7-15运行过程中同时加入较大参数扰动和 常数负载扰动下阶跃响应 由上图可以看出虽然系统在运行过程中同时加入了一个较大的常数负载扰 动和参数扰动，但最后仍可以对阶跃信