余式定理及因式定理的应用

1、余式定理及因式定理的应用初二数学竞赛培训专题：余式定理及因式定理的应用初二()班 姓名: 学号:_一、知识要点：1、f x的意义：已知多项式f x ,若把x用c带入所得到的值，即称为f x在x=c的多项式 值,用f C表示。2、 被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式f x除以g x所得的商式为q x ,余式 为 r x ,贝U: f x =g x x q x +r xK3、 余式定理：多项式f (x)除以x b之余式为f(b)；多项式f (x)除以ax b之余式f (-)。a4、因式定理：设a, b R , a 0, f(x)为关于x的多项式，则x b为f (x)的因式f(b)0;ba

2、x b 为 f(x)的因式f() 0。a二、余式定理应用：1、(1)已知f(x) 2x33x 1 ,求f(x)除以(x 1)、 2x 1所得的余式；(2)设 f(x)=2x2+kx+10 除以 2x 1 余 5,求 k 的值; 以x2 - 3x - 4除多项式f (x)与g(x),分别得余式3x+2与-4x+7,求以x - 4除f (x)+ g( X)所得的余式。2、设 f(x)5 x6x44x325x230x6,求 f (7)。3、计算:(1)1257 1245812316 122460 12200;(2)1154 1147211356 11215 117。1 154、(1)f(x)、gx都

3、就是多项式，已知f 2, g,则以2x 1除fx gx2 22之余式就是什么？2 2f (x)除以x1之余式为3x 2,且g(x)除以x 2x 3之余式为 5x 2,则x 1除2(x 3) f (x)(5x1) g(x)的余式就是什么？三、因式定理应用：1、设x- 2为f (x)=3x3+x2 - kx+5的因式，试求k的值。2、已知x+1与x- 2都就是x4 3ax2 bx 4的因式，试求a与b的值。4323、 设k为负整数，若f ( x)x 2 x x kx 3有整系数一次因式，求k之值。4、 设 x3 + x2 - 47 x - 15有因式3 x+1与2 x- 3,则第三个因式就是什么？

4、5、试证明：(1) x 1就是的x91因式。x a就是的xn an因式。(n就是正整数)f (x)=( x+6)n - 1可被x+5整除。(n就是正整数)四、 整系数一次因式检验法：余式定理及因式定理的应用设 f (x)=nCnXn 1Cn 1Xjx C0为整系数多项式，若ax - b为f (x)之因式(其中a , b为整数，a0 ,且a ,b互质),则(1) aCn,bC0(2)(a - b )f(1),(a b)f( 1)例1、设f(x) 3x32x2 19x 6,试问下列何者就是f(x)的因式？ (1)2 x - 1 ,(2)X- 2,(3) 3 x - 1,(4) 4 x + 1,(5

5、) x - 1,(6) 3 x - 4例2、把下列多项式分解因式：33232(1) x 5x 4 (2) x 4x x 6 (3) 3x 5x 4x 2 x4 9x3 25x2 27x 105 31211-xxx6223五、用待定系数法求多项式技巧:若f (x)除以g(x)之余式为r(x),若g(x)的次数为n,则可n 1n 2设:r(x) an1xan 2x2 1a?xax a。1、已知多项式 f x ,且f 15, f 26,则f x除以x2 3x 2的余式就是什么?2、f (x)除以x 1得余式5, f(x)除以x 2得余式7 ,则f (x)除以(x 1)(x2)的余式就是什么？3、 设n(n 3)次多项式f(x)除以x 1, x 2, x 3的余式分别就是 3, 7, 13,试求f (x)除 以(x 1)(x2)(x3)的余式？4、f (x)除以x 3x 2得余式3,除以x 4x 3得余式3x,则f (x)除以x 5x 6的 余式为何？5、设多项式f (x)为三次多项式式，若f(1)= f (2)= f (3)= 0, f (4)=12，试求f x ？6、设多项式 f(x)为二次多项式式，且 f (1998)1, f (1999)2, f (2000)7,求 f (2002)。7、设实系数f (x)= x3+