比例解行程问题题库doc

1、比例解彳齐呈问题知识比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角 色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵 活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对 于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时 间、路程分别用呦，吃；环乙；$甲.$乙来表示，大体可分为以下两种情况：1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们龙过的路 程之比就等于他们

2、的速度之比。宀厂加“甲，这里因为时间相同，即如=/=，所以由rip = , - =NI吃=吃曲乙加吃得到/ = = 土， = -,甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 甲吃吃吃2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用 的时间之比等于他们速度的反比。目” =X f甲,这里因为路程相同，即呦=$乙=$,由5甲=甲 环，=*乙xf乙2乙=吃心乙得S = XpXf屮也=鱼，甲乙在同一段路程S上的时间之比等于速度比的反比。 吃如模块一：比例初步一一利用简单倍比关系进行解题【例1】 （难度等级探）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸 爸骑摩托车去追

3、他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追 小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分【解析】画一张简单的示意图：4千米仟米 -_ _家二zI水明L爸答图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4 （千米）而爸爸骑的距 离是4+ 8= 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的124-4 = 3（倍）. 按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8X3=24 （千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 4 + 12=16 （千米）少骑行24-16=8 （千米）摩托车的速度是8-4-8=1 （千米/分）,爸

4、爸骑行16千米需要16分钟.8+8+16=32.所以这时是8点32分。注意：小明第2个4千米，也就是从A到的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题 的关键对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键.本 题的解答就巧妙地运用了这一点.【巩固】（难度等级探）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里.早晨7 :40 ,欢欢从家出发骑车去学校，7 : 46追上了一宜匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才 想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校； 欢欢8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校.如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时

5、间不 计，那么贝贝从家里出发时是几点几分.【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6分钟，她调头后速度提高到原来的2倍，根据路程 一立，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再 从家里出发到到达学校用了 20- 6-3- 6 =5分钟，故她以原速度到达学校需要10分钟，最开始 她追上贝贝用了 6分钟，还剩下4分钟的路程，而这4分钟的路程贝贝泄了 14分钟，所以欢 欢的6分钟路程贝贝要走14 X（6三4）=21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21分 钟，所以贝贝是7点25分出发的.【例21 难度等级探）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A 地

6、95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇.求 A、B两地间的距离【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了 三个A、B两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了 95千米， 当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了 3个95千米，即95X3=285 （千米），而这 285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95X3-25=285-25=260（千米）.【巩固】（难度等级探）地铁有A, B两站，甲、乙二人都

7、要在两站间往返行走.两人分别从A,B两站同时出发，他们第一次相遇时距A站800米，第二次相遇时距B站500 米.问：两站相距多远【解析】从起点到第一次迎而相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎而相 遇地点，两人共同完成3个全长，一个全程中甲走1段800米，3个全程甲走的路程为3段 800米.画图可知，由3倍关系得到：A, B两站的距离为800X3-500=1900米【巩固】 （难度等级如右图“，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点 同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米,D离 B有60米，求这个圆的周长.【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一

8、共走了 80X3=240米，两人的总路程和为一 周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为 240-60=180 米，周长为 180X2=360 米.【例3 （难度等级探）甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出 发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲 也立即返回）.已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇 时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走 ；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距 .【解析】如图所示：ADECB甲 乙丙假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此

9、时乙则从龙C处到E处.根 据题意可知DE = 2O米.由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走 的路程的6倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍，那么CD = （6 AD -AD）-2 = 2.5 AD, AC = 3.5 AD,可见 CD = -AC.那么丙从 C 到 D 所用的 7时间是从A到C所用时间的占，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和（CQ加CE）是前一段时 间内乙、丙所走的路程之和（AC加BC,即全程）的弓，所以CD + CE = 490x| = 350,而 CDCE = DE = 20,可得 CZ） = 280, C = 7O.相同时间内丙跑的路程是乙走

10、的路程的280一70 = 4倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍， 那么乙的速度为240-?4 = 60咪/分），即乙每分钟迄60米.当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的2103距离改变了，变为原来的但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，49073 3那么当下一次甲、丙相遇时，甲.乙之间的距离也是此时距离的二，为210x- = 90米77【巩固】 （难度等级探）甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B两 地之间.已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地.甲车 的速度是乙车速度的多少倍【解析】第一次相遇时两

11、车合走了两个全程，而乙车走了 AC这一段路；第二次相遇两车又 合走了两个全程，而乙车走了从C地到B地再到C地，也就是2个BC段.由于两次的总行 程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以AC的长等于2倍BC的长.而从第一次相遇到 第二次相遇之间，甲车走了 2个AC段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的 速度比为2 AC : 2 BC ?2 :1 ,所以甲车的速度是乙车速度的2倍.【例4】 （难度等级探）甲、乙两人同时从A地出发，在A、B两地之间匀速 往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以 外，两人在A、B之间行走方向不会改变，已知两人第一次

12、相遇点距离B地1800米，第三次 相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地多少米【解析】设甲、乙两人的速度分別为v, . v2,全程为s,第二次相遇的地点距离B地x米.【解析】由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达B地并调头往回走时 遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与B地的距离为V.X-s =那么第一次相遇的地点到B地的距离与全程的比为巴二空；两人第Vj + v2Vj + v2V| + v2一次相遇后，甲调头向B地走，乙则继续向B地走:，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是 这次的“全程”为第一次相遇的地点到B地的距离，即1800米根据上而的分析可

13、知第二次相遇的地点到B地的距离与第一次相遇的地点到B地的距离的比为匚丄：类似分析可知，第三Vl+V2次相遇的地点到B地的距离与第二次相遇的地点到B地的距离的比为二乜：那么800 _ X 1800儿+ 2得到x = 1200,故第二次相遇的地点距离B地1200米.【例5 （难度等级探）每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家 门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇.有一天，小刚提早出门，因此比平时早7分钟 与张大爷相遇.已知小刚步行速度是每分钟70米，张大爷步行速度是每分钟40米，那么这 一天小刚比平时早出门多少分钟【解析】比平时早7分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚

14、和张大爷 7分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了 （70 +40 ） X7二770米，因 此小刚比平时早出门770 4-70二11分钟.模块二：时间相同速度比等于路程比【例6 （难度等级探）A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A, B两地同 时出发，结果在距B地2400米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前 10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米【解析】第一种情况中相遇时乙走了 2400米，根据时间一左，速度比等于路程之比，最初 甲、乙的速度比为（7200 -2400） : 2400二2 :1,所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3.乙 的速度提高3倍后，

15、两人速度比为2 : 3,根据时间一泄，路程比等于速度之比，所以第二种情 33况中相遇时甲走了全程的一=-两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第3 + 253 3一种情况少走10分钟，所以甲的速度为6000x（-）9 = 150 （米/分）.5 8【例7 （难度等级探）甲.乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、 乙的速度之比是4 : 3,二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返 回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇 时所走过的路程比为4

16、 : 3.第一次相遇时甲泄了全程的4/7：第二次相遇时甲、乙两个人共走4 5542了 3个全程，三个全程中甲走了 x3 = l二个全程，与第一次相遇地点的距离为一一（1-） = -777772个全程.所以爪B两地相距30+= 105 （千米）.【巩固】（难度等级探）甲.乙两车分别从A. B两地出发，在A. B之间不断3往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的亍，并且甲、乙两车第2007次相遇（这里特指面 对面的相遇）的地点与第2008次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距 离等于多少千米【解析】甲、乙速度之比是3： 7,所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程 中甲

17、走3份，第2007次相遇时甲总共走了 3X （2007X2-1） =12039份，第2008次相遇时 甲总共走了 3X （2008X2-1） =12045 份，所以总长为 120F （） X 10=300 米.【例8 （难度等级探）B地在A, C两地之间.甲从B地到A地去送信，甲 出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封 信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等, 丙的速度是甲.乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

18、10分钟io分钟b10分钟因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：10分钟一 10分钟B（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10 分钟，所以丙用时间为：104- （3-1） =5 （分钟）此时拿上乙拿错的信10分钟钟 当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10+10 + 5 + 5 = 30（分钟），同理丙 追及时间为30宁（3-1） =15 （分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10+5+5+15+15二50 （分钟），此时追及乙需要：504- （3-1） =25 （分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5

19、+5+15 + 15+25+25二90 （分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120分钟【例9 （难度等级探）甲、乙两人同时从A. B两点出发，甲每分钟行80 米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某 地停留了 7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点 相距多少米【解析】甲、乙两人速度比为80:60 = 4:3,相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比， 43相遇时甲走了全程的一，乙走了全程的二.第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距 7743离中点相等，所以第二次乙行了全程的一，甲行了全程的二.由于甲、乙速度比为4:

20、 3,根据 773 3时间一立，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了二x二，所以甲停留期间乙行了7 41 1-x- = -,所以A. B两点的距离为60x74= 1680 （米）7 7 4 44【例10】（难度等级探）甲、乙两车分别从A. B两地同时出发，相向而行.出 发时，甲、乙的速度之比是5 : 4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲 到达B地时，乙离A地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米5 4【解析】两车相遇时甲走了全程的-，乙走了全程的一，之后甲的速度减少20%,乙的速度99增加20%,此时甲、乙的速度比为5x（l-20%）:4x（l + 20%） = 5

21、:6 ,所以甲到达B地时，乙又走了諾洛,距离A地卜茅存所以A、B两地的距离为吩存45。（千米）.【例111 （难度等级探）早晨，小张骑车从甲地出发去乙地.下午1点，小 王开车也从甲地出发，前往乙地.下午2点时两人之间的距离是15千米.下午3点时，两 人之间的距离还是15千米.下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地.小张是早 晨几点出发【解析】从题中可以看岀小王的速度比小张块.下午2点时两人之间的距离是15千米.下 午3点时，两人之间的距离还是15千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点 时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米.由下午3点开始计算，小王再 有1小时

22、就可走完全程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时走了 15 30 45? ?千米，故小张的速度是45三3二15千米/时，小王的速度是15 +30二45千米/时.全程 是45 X3二135千米，小张走完全程用了 135 +15二9小时，所以他是上午10点出发的。【例12】 （难度等级探）从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路, 最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3小时, 其中第一小时比第二小时多走15千米，第二小时比第三小时多走25千米。如果汽车走上坡 路比走平路每小时慢30千米，走下坡路比走平路每小时快15千米。那么甲乙两地相

23、距多少 千米【解析】由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确左.从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路 的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了 1小时，这说明第一小时既泄完了下坡路，又上了一段平路，而第二小时则是全在泄平路.这样 的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程， 而这个路程恰好比以平路的速度上1小时的路程（即第二小时上的路程）多走15千米，所以这样 的话第一小时走的路程比第二小时上的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立， 即第

24、三小时全部在走上坡路.如果第一小时全部在泄下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二 小时上的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时泄的路程比第二小时走的路程多 泄的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平 路.所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一 段上坡路；第三小时全部在走上坡路.由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米.所 以第二小时内用在走平路上的时间为25壬30 =）小时，其余的丄小时在走上坡路；6 6因为第一小时比第二小时多走了 15千米

25、，而丄小时的下坡路比上坡路要多走 6（30 + 15）x1=7.5千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为（15-7.5）-15 = 1小时，所以在 6 2第一小时中，有丄+丄=?小时是在下坡路上走的，剩余的丄小时是在平路上走的.2 6 33因此 陈明走下坡路用了二小时，走平路用了丄+=?小时，走上坡路用了 1+1=2小时.3 3 6 66 6因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是-:-=4:7那么下坡3 6路的速度为（3O + 15）x_ = 105千米/时，平路的速度是每小时105-15 = 90千米，上坡路的速度 是每小时90-30 = 60千米.那么甲、乙两地相距

26、105x ? + 90X ? + 60x ? = 245 （千米）366模块三：路程相同速度比等于时间的反比【例13】（难度等级探）在一圆形跑道上，甲从A点.乙从B点同时出发反向 而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各 需要多少分【解析】由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关 系）【解析】从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行 8分，所以甲环行一周需12+8=20 （分人 乙需20-4X6=30 （分）【例14】 （难度等级探）上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分 甲与从B地出

27、发匀速去A地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点 30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么，乙从B地出发时是8点几分.【解析】甲、乙相遇时甲走了 20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了 10分 钟到达目的地，根据路程一左，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后而的路甲需要走 10X 3二30分钟，所以前后两段路程的比为20 : 30 =2 : 3,由于甲走20分钟的路程乙要走10 分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15分钟，所 以乙从B地岀发时是8点5分.【例15】（难度等级丿小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平

28、路，另一 条是一半上坡路，一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.己知下坡的速度是平 路的倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍【解析】设小芳上学路上所用时间为2,那么走一半平路所需时间是1.由于下坡路与一半 平路的长度相同，根据路程一怎，时间比等于速度的反比，总下坡路所需时间是14-1.6 =-因8此，走上坡路需要的时间是2- = ,那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，8 81 1Q为1：_ = 8:11,所以，上坡速度是平路速度的2倍.811【例16】（难度等级探）一列火车出发1小时后因故停车 小时，然后以原速3的二前进，最终到达目的地晚小时.若出发1小时后又前进90公里

29、再因故停车 小时，然43后同样以原速的二前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里43【解析】出发1小时后因故停车 小时，然后以原速的二前进，最终到达目的地晚小时，43所以后而以原速的二前进的时间比原左时间多用1505 = 1小时，43 4而速度为原来的二，所用时间为原来的一，4 34所以后而的一段路程原左时间为1+（_-1） = 3小时，原定全程为4小时；3出发1小时后又前进90公里再因故停车 小时，然后同样以原速的二前进，则到达目的43地仅晚1小时，所以后而以原速的二前进的时间比原左时间多用1-0.5 = 0.5小时44所以后而的一段路程原左时间为0.5一（一一1） = 15小时

30、，3类似分析可知又前进90公里后的那段路程需要：3-1.5 = 1.5小时而原左全程为4小时，所以整个路程为90-1.5x4 = 240公里.【例17】（难度等级探）王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原 计划的速度提高了 1/9,结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后, 将车速提高1/6,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米【解析】从开始岀发.车速即比原计划的速度提高了 1/9.即车速为原计划的10/9,则所用 时间为原计划的1三10/9二9/10,即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间 的1/10,原计划时间为:一 1/10=15（小时）;按原计划的