特征根法求数列通项

1、已知数列递推公式求通项公式的类型三（特征根法）编辑整理佛山市顺德区北滘镇莘村中学陈万寿高考中数列主要是考查等差等比数列的定义和性质以及通项公式、前n项和公式等等。在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往 往是解决数列难题的关键。类型三、形如an 2 = pan i qan（ p, q是常数）的数列先把原递推公式转化为an .2 -Xn .1二X2（an 1 - Xn），其中Xi, X2满足* %1 X2 P，显然x1,x2是方程x2-px-q=0的两个非零根。 /低2 = -q1）如果玄：-洛耳二。，则a. 2 - Wn .1 =0，成等比，很容易求通项公式。2）如果a? -x

2、 =0，则an2-X1an1成等比。公比为X2，所以 an 1 - Xn = 2 - X1 ajx?，转化成：an 1n -1X2苓二 -2），X2 X2（I ）又如果为=x2，则-a等差，公差为（a2 -巒），X2ao所以一 = F(n -1)(a2 -xq)，即：ana? (n -1)2 - x21an 二亚（n -2）（a2 X1a1）x2n可以整理成通式：a（A Bn）x；X2X2Ii）如果 X1=X2，则令旦池二bn1，互二a，（a2-X1a1）= B,就有X2X2bn 1 - Abn = B，利用待定系数法可以求出bn的通项公式bn严（1旳（冬）心6-“山2 禺一x2x2Xi -

3、X2所以an =aiX2（1 -X2）（竺严_（a2 一2）血氐2，化简整理得:Xi X?X?Xi X?ai (i X2 ) n A. anXiXi _X2ai Xi - a2 n J -X2,X-I -X2小结特征根法：对于由递推公式an .2 = pan d qan ,印=，a2 =:给出的 数列Qn*,方程x2-px-q=o，叫做数列Sn的特征方程。若Xi,X2是特征方 程的两个根，当x. = x2时，数列an油勺通项为an =Ax； Bx；，其中A，B由 ai =、a2 二匕决定（即把 ai,a2,Xi,X2 和 n =1,2，代入 a* 二 Ax；-Bx；，得到关 于A、B的方程组）

4、；当X. = X2时，数列況汕勺通项为an =（A Bn）x；，其中A，B由a.八忌 八 决定（即把a. ,a2 ,x., x?和n =1,2，代入a （A Bn ）x；，得 到关于A、B的方程组）。简例应用（特征根法）：数列 咕鳥：3an .2-5an. 2an =0（n 一 0, n N），2 2a. = a, a2 = b 的特征方程是：3x - 5x 2 = 0 ； x. = 1, x2,32 -an Ax； BX214 = A B -)n4。又由 a.二 a,a2 二 b，于是3A =3b -2a 故an =3b -2a +3(a -b)(2)n，= 3(a b)3能力挑战：（200

5、8年广东高考压轴题）设数列CaJ满足a. =1,a2 =2，an二-an2an3（n =3,4，数列 满足bi=i，bn（n=2,3,）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1 一 bm bm 4 | 1( bm k - 1(1) 求数列an 和1bn ?的通项公式；(2) 记Cn二nanbn (n =1,2,，求数列 心的前n项和S12【解析】(1 )由 an(an-an得 an -anj(an_1-an_2 (n - 3)332又 a2-a1=1=0,数列 &.1虫/是首项为1公比为-一的等比数列,3a-(- n a-(-(a-JLa2 =11 - i - II 3八3丿-2n-

6、2n3_1 23n-1(2)略清代 红顶商人”胡雪岩说： 做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。”可见，一个人的心胸和眼光,决定了他志向的短浅或高远；一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。人生能有几回搏，有生不搏待何时！所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥泞；走过了失败，就走向了成功！一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。正如郑板桥所具有的人格和精神：皎定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万击还坚劲，任尔东南西北风。”梦想在，希望在，人就有奔头；愿奋斗，勇拼搏，事就能成功。前行途中，无论我们面对怎样