单倒置摆控制系统

1、/乐/卡$fr y fo,11o na a t r ejf2013 2014 学年第二学期现代控制理论基础题目：单倒置摆控制系统姓 名：孙文飞学号：p111813893年级：11 级学院班级：电气工程学院自动化三班 指导教师：刁晨老师摘要 : 单立倒置摆在我们现实生活当中是极其的重要，那是因为倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统， 在控制工程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如稳定性问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等。由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，他们被用来验证线性控制领域中不稳定系统的稳定化和非线性控制领域中的变结构控制、 无源性控制、自由

2、行走、非线性观测器、摩擦补偿、非线性模型降阶等控制思想。本文建立了单倒摆系统的数学模型, 用状态反债控制配系统极点 , 并利用全维状态观测设计控制器, 实现状态反债。 仿真结果表明 , 该方法可使系统稳定工作并具有良好的动态性能。关键词： 单立倒置摆；不稳定系统；状态反馈；极点配置；状态观测器；第一章 绪论1 1 倒立摆系统的重要意义倒立摆的研究具有重要的工程背景。 机器人行走就类似倒立摆系统。 从日常生活中所见到的任何重心在上、 也是支点在下的控制问题， 到空间飞行器和各类伺服云台的稳定， 都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性， 故对其稳定控制在实际中有很多用场， 如海上钻井平台的稳定控制、

3、 卫星发射架的稳定控制、 火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等。2 2 倒立摆系统的控制方法自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在两个方面： 倒立摆系统的稳定控制的研究和倒立摆系统的自起摆控制研究， 而就这两方面而言， 从目前的研究情况来看， 大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。 目前， 倒立摆的控制方法可分如下几类：(a) 常规 pid 控制：该方法是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、速度快、可靠性高等优点，至今仍广泛应用于工业过程控制中。这种方法方法虽然可以用来实现对倒立摆系统的控制但由于其线性的本质，

4、对于一个非线性、 绝对不稳定的系统是不能达到满意的控制效果的， 振荡会比较厉害。若结合其它控制算法一起使用可发挥出取长补短的作用。(b) 状态反馈控制：状态反馈的极点配置法便是众多倒立摆控制方法中的一种最基本的策略。 极点配置法就是通过设计状态反馈控制器， 然后将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置之上， 从而使系统满足实际应用当中所要求的瞬态和稳态的性能指标。(c) 变结构控制：变结构控制系统的运动可以分为两个阶段，分别为能达阶段和滑动阶段。 其控制也分为两个部分： 滑动模态域设计以及变结构控制律设计。变结构控制方法对系统参数摄动和对外部扰动具有很强的鲁棒性， 但是由于抖振的存在， 使得

5、在一定程度上影响了其控制效果。 抖振和鲁棒性是变结构控制方法的两大基本特点， 也是变结构控制系统中的一对主要矛盾。 因而在实际应用中必须考虑到如何才能消除抖振带来的负面影响， 否则不仅会影响控制效果， 而且对仪器设备也会造成一定的破坏。(d) 神经网络控制：神经网络控制能够任意充分地逼近各种极其复杂的非线性关系， 能够学习并且适应严重不确定性系统的动态特性， 因此具有很强的鲁棒性与容错性，也可以将q学习算法与bp神经网络算法有机的结合在一起，可以对实现状态未离散化倒立摆系统的无模型学习控制。 这种控制方法存在的主要问题就是缺乏一种专门的， 适合于控制问题的动态的神经网络， 而且多层网络层数的确

6、定、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择等也缺乏有指导性原则等。(e) 模糊控制：在倒立摆系统的稳定控制的众多方法中，模糊控制方法无疑是其中一种比较优秀的解决途径， 它的鲁棒性较好。 但是一般的模糊控制器的设计方法存在着很大的局限性， 首先就建立一组比较完善的多维的模糊控制规则而言， 就是一个很难解决的问题， 即使凑成了一组不完整并且很粗糙的模糊控制规则， 在实际控制过程中其控制效果也难以得到保证。 如果模糊控制方法能有效的结合其它控制方法就很有可能会产生比较理想的控制效果。(g) 遗传算法：遗传算法是美国密歇根大学 holland 教授倡导发展起来的，是模拟生物学中的自然遗传和达尔文进化理论

7、而提出的并行随机优化算法。 其基本思想是： 随着时间的更替， 只有最适合的物种才能得以进化。 对于倒立摆系统，需要找到一个可以使系统稳定， 且由噪声产生的输出量最小的非线性控制器， 也就是要得到的最优解。 有关研究表明， 遗传算法具有较好的抗干扰特性， 但是计算量较大，适合于微控制器计算能力较强的场合。由于本文所采用的倒立摆系统模型为单级倒立摆系统模型， 所以通过对上述各种控制方法之间，优缺点的比较，最终本文采用了状态反馈控制。第二章 倒立摆的建模单倒置摆系统的原理图，如下图 1 所示。设摆的长度为l 、质量为m ，用铰链安装在质量为 m 的小车上。 小车由一台直流电动机拖动， 在水平方向对小

8、车施加控制力u， 相对参考系 位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或右倾倒，因此，它是一个不稳定的系统。控制的目的是，到倒置摆无论出现向左或者向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。图1单倒置摆系统的原理图2.1倒置摆的状态空间描述的建立为了简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。本例中，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力及风力。如图 6-2对系统进行受力分析：设小车瞬时位置为z,倒置摆出现的偏角为 6，则摆心瞬时位置为（z+ l sin8）。在控制力u的作用下,小车及摆均产生加速度运动， 根据牛顿第二定律，在水平直

9、线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有.2. 2m -2m2 (z l sin ): udt dt(1)即(m m)zmh cos - mb 2 sin - u由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有d2m2（z l sin【）l cos-mglsmz cos? cos2 i -112 sinr cos - gsin 二(2)式（1）、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可认为日、日均接近零，此时sin日电日,cos日为1 。且可忽略日210项，于是有(m m)z ml 二-u(3)(4)（5）（6）为输出变0

10、 10 00 00 00 mgm0(m m)gmly = 1 0 0 0xm 010、101c=(1 0 0 0(9)z . 11 _ g 1联立求解式（3）、（4）,可得z =_mg_u m m.(m m).1g gg? _ umlml消去中间变量 日，可得到输入量u、输出量为z的系统微分方程为(4) (m m)g .1. gz z 二一u umlm ml选区小车的位移z及其速度z，、摆的角位置0及角速度0 作为状态变量,量，并考虑恒等式及式（5）、式（6）,可列出系统的状态空间表达式为2.2被控对象特性分析作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置？这须

11、首先进行其能控性的分析。2.2.1 能控性分析根据能控性的秩判据，并把式（9）的有关数值代入该判据，可得(10)u ,将非rankm = rank （b aba2b a3b） = 4因此，单倒置摆的运动状态时可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用 零状态x转移至零。2.2.2 稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程7a =九2 (九2 11) =0解得特征值为0,0，历,g。4个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统是不稳定的，须对被控系统进行 反馈综合，使4个特征值全部位于根平面s左边的适当位置，以满足系统的稳定工作并达到良好动、静态性能的要求，为此

12、，本文提出了两种主要的反馈综合方案。第三章设计方案(两个方案)3.1单倒置摆全状态反馈取状态变量 z、z、日、日,为反馈信号，状态反馈控制规律为u = v kx(11)设k = k0 k1 k2 k3 1式中，kok3分别为 z、z、日、8反馈至参考输入 v的增益。则闭环控制系统的状态方程为x= (abk)x+bv(12)其特征多项式为川-(a-bk)=九4 +(k1 -k3)x3 +(ko -k2 -11)z2 -10ka -10ko (13)采用极点配置的综合方法。设希望闭环极点位置为-1、-2、-1 j ，则闭环控制系统的期望特征多项式为(九 +1)(九 +2)(九 +1 j)(九 +1

13、+ j) = / +5 儿3 +10 九2 +10 九 +4(14)令式(14)与式(15)右边同次项的系数相等，可求得k0 = -0.4,k1 = -1,k2 = -21,k3 = -6状态反馈系统结构图如下图:图2全状态反馈系统结构图3.1.1、系统仿真采用在matlab仿真器中，建立单倒置摆控制系统的模型。在 simulink中，找到模块 state-space：输入矩阵a、b、c、d,其中，a为系统矩阵，b为输入矩阵，c为输出矩阵, d为直接传递矩阵，参数设计如下图 3。搭建如下图2的仿真模块：采用 0输入，使用示 波器观察系统输出仿真结果。constantstate-spacesco

14、pes图3系统仿真模型(1)当系统没有经过综合时，在系统矩阵为a= 0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0,b=0;1;0;-1 , c=1 0 0 0 , d=0,零输入条件，初始扰动(initial condition ) =4 下的响应为:+9图4没有综合之刖的state-space模块的参数设计图5没有综合之前的系统模块的仿真结果可以看出，系统是不稳定的，从上面的分析也可以知道，在未经过综合之前，系统的特征方程的根中有两个是零根，系统不稳定的。(2)当系统经过了综合，用极点配置的方法使系统的特征方程的根都在s的左半平面时，a=0 1 0 0;0.4 1 20

15、.4 6;0 0 0 1;-0.4 -1-10.4 -6 , b=0;1;0;-1 , c=1 0 0 0 , d=0 ,设参考输入u为零时，设置系统的初始状态为x=4,即在初始扰动下的响应如下图：回s3scope图6 综合之后的系统模块的仿真结果从图中可以看出，响应开始有大的波动，但是1.8s之后很快的减到零，这时摆杆和小车都会回到它的初始位置，即z=0、8=0。所以系统是内部稳定的。 function block pa ra m-etc rs: state - spacest at e spacest at space models dx/dt = ak + bu y = cx + dup

16、ar-ajile e rs-14, 一白e:0; 1i, 口 0iiixl x ajl c ondit i otils :absolut e t oleranee:st ait e name (曰* g- j ? posit ion)okcatxcelhelp j apply图7综合之后的state-space模块的参数设计(3)若不把4个状态变量全用作反馈，该系统不稳定，如取k0 = 0,k1 = l,k2 = 21.4,k3 = -6即系统矩阵变为01000120.46a = 0001、0 1 -10.4 -6,用matlab仿真，同样在初始扰动x=4下的响应如下图8:e spacest

17、at e-space model: dbc/ d = ak + eu.3r 二 cxr + duparametersa: 口, 1, 0, 0 ： 0,20. 4, 6 ： 0, 口享, 1 ： 事=10. 4,-60:1;口；-1jc：1 0 oh, ot-d:0initial conditions: 4图8 此时的state-space模块的参数设计454035302520151050(1i1114 jt/ fj j / j-，/./i u j j j j 4 j j j j j. .1. 1ij(l.lilieeiiliibiiahaa/j 1r jrftj一,i.iii*:i)246e

18、10图9系统模块的仿真结果从图中可以看出，系统在零初始条件下，最终没有趋于零，说明系统是不稳定的。所以，综上所述，通过极点配置的方法，使得原来不不稳定的单倒置摆系统，实现了稳定的要求。3.2方案一：全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即 z、z、 8、6的信息。因此，需要设置z、z、8、8的四个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的， 或者，虽有些可以检测，但也 可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息， 从而使状态反馈在实 际中难于实现，甚至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状 态反馈的实现问题。(1

19、)判定系统状态的能观测性将式(9)中的数值代入能观测性秩判据，得：rank n = rank (ct atct (a t) 2ct (a t) 3ct)=4(15)或者由matlab中的obsv(a,c)命令来求秩，可得秩为4 (见仿真)。可见被控系 统的4个状态均是可观测的，即意味着其状态可由一个全维 (四维)状态观测器 给出估值。其中，全维观测器的运动方程为欠=(a -gc )5? + bu +gy(16)式中g =(g0 g1 g2 g3,全维观测器已g配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。设置状态观察器的期望闭环极点为-2 , -3 , -2+i,-2-i。由于最靠近虚轴的_2t希

20、望闭环极点为-2 ,这意味着任一状态变量估计值至少以e规律衰减。由matlab可求的出 gg0 =9, g1 =42, g2=-148, g3=-492根据计算值刻画出结构图=c仿真：代码1:a=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0; v=obsv(a,c);m=rank(v);if m=ndisp(系统能观)elsedisp(系统不能观)end结果1：系统邮代码2:a=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;n=size(a);n=

21、n(1);sys0=ss(a,b,c,d);p_s=-1,-2,-l+i,-l-i；p_o=-2,-3,-2+i,-2-i;k=acker(a,b,p_s)g=(acker(a,c,p_o)a1=a ,-b*k;g*c,a-b*k-g*c;b1=b;b;c1=c zeros(1,4);d1=0;sys=ss(a1,b1,c1,d1);t=0:0.01:10;y,t,x=step(sys,t);figure(1);plot(t,x(:,1:4),-);grid xlabel(t(s);ylabel(x(t);figure(2);plot(t,x(:,5:8),-);grid xlabel(t(s

22、);ylabel(x(t);figure(3) subplot(4,1,1);plot(t,(x(:,1)-x(:,5);gridylabel(z);subplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);gridylabel(z 的微分 );subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);grid ylabel(theta); figure(3) subplot(4,1,1); plot(t,(x(:,1)-x(:,5);grid subplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);gridylabel(z 的微分 );plo

23、t(t,(x(:,3)-x(:,7);gridylabel(theta); subplot(4,1,4); plot(t,(x(:,4)-x(:,8);grid ylabel(theta 的微分);结果：状态&42-148-492反馈下的状态变量的阶跃响应曲线图6状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线注：“一”表示z的阶跃响应；“一”表示z的阶跃响应”表示9的阶跃响应；“一”表示10的阶跃响应;带全维观测器的状态反馈下的状态变量的阶跃响应图7带全维观测器的状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线注：同上系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线图8系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线由

24、上图可知，全维状态观测器观测到的4个变量的阶跃响应曲线与全状态反馈时的阶跃响应曲线基本相似（如图 6与图7所示），但是二者还是有误差的，只不过误差很小（如系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线图8所示，它们的误差都在10,0级别的，很小），全维状态观测器所得的性能基本满足 要求（系统能控且稳定），但是由于观测器的数目多，导致中间过程的损耗也大。实际上，本系统中的小车位移z,可由输出传感器获得，因而无需估计，可以设 计降维观测器，这样可减小误差）3.3 方案二：降维观测器的设计由于单倒置摆控制系统中的小车位移，可由输出传感器测量，因而无需估计, 可以设计降维（3维）状态的观测器。通过重

25、新排列被控系统状态变量的次序，把需由降维状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分开，也就是说,将z作为第四个状态变量,z-l -0则按照被控系统的状态和输出方程可变换为:ddt-1011001000000一 zl 一1 1(17)-z 0. 90简记为x1= a72 a1121a 12(18)式中-zlea11-00：0_1011010a 12-1 10i -1x2 = z = y a 21 = 1,0 1a 22 =0 b2 =0故单倒置摆三维子系统动态方程为d dt一z-010110z-1 1j 二1 一(19)-zl )0(20)使用matlab对其的观测性检查，结果无客观的。因为

26、降维状态观测器动态方程的一般形式为w =(a 11 -ha21)w (b1 -hb2)u (a11 -ha21 )h a12 -ha22y(21)(22)式中 h = h0h1h2 0使用matlab可求出降维状态观测器特征多项式为i -(a 11-ha 21 ) =?： + h0 九2 + (11 h1)九 十 (11h0 h2)(23)设期望的观测器闭环极点为-3, -2i ,则由matlab仿真可得，期望特征多项式为(24)(九 + 3)(九 + 2 + i)(九 +2 i) =7： + 7 九2 +17 九 +15由 matlab 可得，h0=7, h1=-28, h2 =-92所以由

27、matlab的仿真可得降维观测器的动态方程为|-.7_10|1. |一21w =2801w+ 0u+ 104(25)(26)使用降维状态观测器实现状态反馈的的单倒置摆系统结构图真图所示。使用matla冲simulink连接的仿真图：simulink连接的仿图9 单倒置摆全反馈的降全维观测器的结构图仿真结果截图：(1)降维状态观测器时，变量z以及变量z的阶跃响应曲线(2)降维状态观测器时，变量9以及变量日的阶跃响应曲线观察上面的仿真图可知，在给系统状态全反馈加上降维观测器之后， 单位阶跃的 作用下，小车的位移z逐渐趋于一个常数（即2.5）,而倒置摆出现的偏角8也 逐渐趋于0,可见带降维观测器的系

28、统是一个稳定的系统，同时在性能方面符合 空间的设计要求。3.4 分析比较两种设计方案的性能单倒置摆原系统（即 开环系统）不稳定的，因此我们设计了单倒置摆全状态 反馈系统，由仿真图（即状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线）可知，单倒置 摆的全状态反馈系统是稳定的，为了获取 4个状态变量z、z、0.9,我们为 单倒置摆的全状态反馈系统设计两种观测器：全维状态观测器和降维状态观测 器。使用matlab做出两种不同的观测器下两个状态变量 z、0的单位阶跃响应 曲线（另外两个变量分别为他们的微分，故这里可以不用在比较了）。如下图所示为simulink仿真图（方法：将两种观测器的下的simulink仿真图的状态变量 通总线的方式连接到示波器scope上便可观测到变量单位阶跃响应曲线的比较 图了）仿真截图：变量z在使用不同观测器下的单位阶跃响应曲线比较图:图11变量z在使用不同观测器下的单位阶跃响应曲线比较图注：黄色曲线“一”为全维观测器下的；紫色曲线“一”为全维观测器下的 变量8在使用不同观测器下的单位阶跃响应曲线比较图:注：黄色曲线“一”为全维观测器下的；紫色曲线“一”为全维观测器下的。图12变量8在使用不同观测器下的单位阶跃响应曲线比较图 比较两种不同的观测器下的发现：在单位阶跃