点集拓扑练习题及答案.

1、点集拓扑练习题 5 T =X, ,a,a,b 2、设X =a,b,c，下列集族中，（ T=X,a, a,b, c T=X,a,b,a,c 3、已知X=a,b, c,d,下列集族中， T二X,a, a,b, a,c,d T=X,a,b,a,c,d 4、设X =a,b,c，下列集族中，（ T=X,b, c, a,b T=X,a,b,a,c 5、已知X=a,b, c,d,下列集族中, T二X,a,b,a,c, d T二X,a,b,a,c,d 6、设X -a,b,c，下列集族中，（ T=X,a, b,b,c T=X,a,a,c 7、已知 X 二a,b,c,d, 拓扑 T 二X, ,a,则b=（ 、单项

2、选择题(每题 1分) 1、已知X =a,b,c,d,e,下列集族中，( )是X上的拓扑. T =X, ,a, a,b, a, c,e T =X, ,a,b,c, a,b,d, a,b,c,e T =X, ,a, b, c, d, e答案： ）是X上的拓扑. T =X , ,a, a,b, a,c T =X, ,a, b, c答案： （ ）是X上的拓扑. T =X, ,a,b,c, a, b,d T =X, ,a, b答案： ）是X上的拓扑. T =X , ,a, b, a,b, a,c T =X, ,a, b, c答案： （ ）是X上的拓扑. T =X, ,a,b, a,c, d T 二X,

3、,a,c,a,c答案： ）是X上的拓扑. T =X, ,a,b,b,c T =X, ,a, b,c答案： 0Xbb,c,d答案： 8、已知 X 二a,b,c,d，拓扑 T 二X, ,a,则b,c,d=() 0Xbb,c,d答案： 9、已知 X 二a,b，拓扑 T =X, ,a,则面=() 0Xab答案： 10、 已知 X -a,b，拓扑 T -X, ,a,则b=() 0Xab答案： 11、已知 X 二a,b,c,d，拓扑 T 二X, ,a,则面=() 0X a,bb,c,d答案： 12、已知 X 二a,b,c,d，拓扑 T 二X, ,a,则c=（） 0 X a, cb,c,d 13、设 X P

4、bcd ，拓扑T 工X, ,a, b,c,d 1 2 3 4答案： 14、设 X 工a,b,c, 拓扑T 二X, ,a, b,c,则 1 2 3 4答案： 答案： ,则X的既开又闭的非空真子集的个数为() X的既开又闭的非空真子集的个数为() 15、设X二a,b,c，拓扑T二X,b, b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（） 0123答案： 16、设X -a,b，拓扑T -X, ,b,则X的既开又闭的子集的个数为（） 0123答案： 17、设X二a,b，拓扑T =X, ,a, b,则X的既开又闭的子集的个数为（） 1234答案： 18、设X =a,b, c，拓扑T =X冲,a,b,a b

5、 ,b c 则X的既开又闭的非空真子集的个数为 （ ） 1 23 4 19、 在实数空间中，有理数集 Q的内部0：是（ ） Q R -QR 答案： 20、 在实数空间中，有理数集 Q的边界：（Q）是 （ ） Q R -QR 答案： 21、 在实数空间中，整数集 Z的内部Z】是（ ） Z F-ZR 答案: 22、 在实数空间中，整数集 Z的边界;（Z）是（ ） Z F-ZR 答案: 23、 在实数空间中，区间0,1）的边界是（ ） 答案： 0,1 0,1 (0,1) 答案： 24、 在实数空间中，区间 2,3）的边界是（ 25、 2,3 2,3 (2,3) 答案： 在实数空间中，区间 0,1）的

6、内部是（ 0,1 0,1 (0,1) 答案： 26、 d(A 一 B) =d(A) - d(B) A=A答案： 设X是一个拓扑空间，A B是X的子集，则下列关系中错误的是（ d(A 一 B) =d(A) 一. d(B) 27、设X是一个拓扑空间，A B是X的子集，则下列关系中正确的是（ d(A B) =d(A) d(B) d(A - B) =d(A) - d(B) 28、设 X是一个拓扑空间，A B是X的子集，则下列关系中正确的是（ d(A B) = A B A-B=A-B d(A 一 B) =d(A) - d(B) d(d(A) A_. d(A) 答案： 29、已知X是一个离散拓扑空间, d

7、（A）二 A是X的子集，则下列结论中正确的是（ d(A) 二 X -A d(A)二 A d(A) =X 答案： A是X的子集，则下列结论中不正确的是（ 30、已知X是一个平庸拓扑空间, 若A二二则d（A）= 若 A =x。,则 d(A) = X - A 若 A=x1,x2,则 d(A) =X 若A=X ,则d（A） = X 答案： 设X是至少含有两个元素的集合, T的基 B = p, x| x X - p B = p,x| x X p X , T =G X | p G _.是 X 的拓扑，则( B = x| x X B = x| x X -p 答案： ）是 31、 32、 33、 34、 35

8、、 36、 37、 38、 39、 40、 41、 42、 43、 44、 已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（） 若 A 二,则 d(A) 若 A=x0,则 d(A)=X 若 A=xi,X2,则 d(A)二 X -A 若 A 二xi,X2,则 d(A) = A 答案： 设X二a,b,c,d，令B = a,b,c, c, d,则由B产生的X上的拓扑是() X,c,d,c,d,a, b,c X,c,d,c,d X, c, a, b, c X , d, b, c, b, d, b,c,d答案： 设X -a,b,c,则下列X的拓扑中（ ）以S -X, ,a为子基. X ,

9、, a, a, c X ,-, a X , , a, b,a, b X, 答案： 离散空间的任一子集为（） 开集 闭集即开又闭 非开非闭 答案： 平庸空间的任一非空真子集为（ ) 开集 闭集即开又闭 非开非闭 答案： 实数空间 R中的任一单点集是（ ) 开集 闭集既开又闭 非开非闭 答案： 实数空间 1 1 R的子集A =1, 1 ,则A =( ) 2 3 4 0 RAU 0 A答案： 在实数空间 R中，下列集合是闭集的是（ ) 整数集 a,b有理数集 无理数集 答案: 在实数空间 R中，下列集合是开集的是（ ) 整数集Z有理数集无理数集 整数集Z的补集Z答案： 已知X -1,2,3上的拓扑T

10、 -X, ,1,则点1的邻域个数是（） 1234答案： 已知X -a,b,则X上的所有可能的拓扑有（） 1个 2个3个4个答案： 已知X = a, b, c,则X上的含有4个元素的拓扑有（）个 3579答案： 设（X,T ）为拓扑空间，则下列叙述正确的为 （） XT, T X T / T 答案： 当T T时，U T 当T T时， U T U T 45、 在实数下限拓扑空间 R中，区间a,b)是( ) 开集闭集 既是开集又是闭集非开非闭 答案： 46、 设X是一个拓扑空间, 代B X ,且满足d(A) B A,则B是( ) 开集闭集 既是开集又是闭集非开非闭答案： 47、 设 X =1,2,3,

11、 T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A二1,2,则 X 的子空间 A的拓扑为 48、 () T = ,2, 1,2 T 珂，X,1,2, 1,2 T = ,A,1,2 T = ,X,1,2 设 X =1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑， 答案： A=1,3,则 X 的子空间 A的拓扑为 49、 T = ,1,3, 1,3 T = , A,1 T 讹,X,1,3, 1,3 T = ,X,1 设 X =1,2,3, T=,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑, 答案： A=2,3,则 X 的子空间 A的拓扑为 50、 () T = ,3,2,3 T

12、= ,A,2,3 T = ,X,2,3,2,3 T = ,X,3 = 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑, 答案： A=1,则X的子空间 A的拓扑为 51、设 珂，1 T 珂，A,1,2 T 珂，X,1,3, = 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2 1,3 T 珂，X,1 答案： 52、设 珂,2, 1,2 T 珂，A T = 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2 珂，2, 1,2 讯,X ,3 53、 54、 55、 是X的拓扑, 珂，X,2 是X的拓扑, T Y是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f （X）的

13、一个 同胚，则称映射 f是一个答案：嵌入 19、f : X Y是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射 f而言的 商拓扑，则称 f是一个;答案：商映射 20、 设X,Y是两个拓扑空间，f:X Y是一个映射，若 X中任何一个开集U的象集f(U)是Y中的一 个开集，则称映射 f是一个 ;答案：开映射 21、 设X,Y是两个拓扑空间，f:X Y是一个映射，若 X中任何一个闭集U的象集f(U)是Y中的一 个闭集，则称映射 f是一个 ;答案：闭映射 22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集代B ,使得A - B-, A 一 B = X则X是一 个 ;答案：不连通空间 23、若拓

14、扑空间X存在两个非空的开子集代B ,使得A* B-, A 一 B = X则X是一 个 ;答案：不连通空间 24、 若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个 ;答案：不连通空间 25、 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z二X满足丫二Z二Y，则Z也是X的一个; 答案：连通子集 26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则 称这个性质是一个 ;答案：在连续映射下保持不变的性质 27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性 质是一个 ;答案：可商性质 28、 若任意n1个拓扑空间Xi, X

15、2,|l(,Xn,都具有性质P,则积空间Xi X2川Xn也具有性质P,则 性质P称为；答案：有限可积性质 29、 设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A, B ,使得A B= X,则称X是一 个 ;答案：不连通空间 30、 若Xi,X2满足第一可数性公理，则积空间Xi X2满足; 答案：第一可数性公理 31、 若Xi,X2满足第二可数性公理，则积空间Xi X2也满足 ;答案：第二可数性公理 32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为; 答案：可遗传性质 33、 设D是拓扑空间X的一个子集，且 D = X ,则称D是X的一个;答案：稠密子

16、集 34、 若拓扑空间 X有一个可数稠密子集，则称X是一个 ;答案：可分空间 35、 设X是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X是一个 ; 答案：Lindel ?ff空间 36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为; 答案：对于开子空间可遗传性质 37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为; 答案：对于闭子空间可遗传性质 38、 设X是一个拓扑空间，如果 则称X是一个T0空间； 答案：X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点 39、 设X是一个拓扑空间，如果

17、 则称 X是一个T1空间; 答案：X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点 40、 设X是一个拓扑空间，如果 则称X是一个T2空间; 答案: 41、 正则的 Ti空间称为 ;答案：T3空间 42、 正规的 空间称为 43、完全正则的空间称为 44、设X是一个拓扑空间 ;答案：T4空间 ;答案： T3.5空间或 Tychonoff 空间 .如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交 答案：紧致空间 45、设X是一个拓扑空间, Y是X的一个子集如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称 Y是拓扑 46、设X是-

18、 个拓扑空间 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间 X是- 个 答案 :可数紧致空间 47、设X是 一个拓扑空间 .如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是 个 答案 :列紧空间 48、设X是 个拓扑空间 .如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间 X是- 个 答案 :序列紧致空间 答案：紧致子集 空间X的一个 三判断(每题4分，判断1分，理由3分) 1、 .从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射() 答案：V 理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X Y是连续映射，因为对任意 A Y，都有f(A) X , 由于X中的任何一个子集都是开集，从而f

19、(A)是工中的开集，所以f : X )Y是连续的. 2、设T1,T2是集合X的两个拓扑，贝U T T2不一定是集合 X的拓扑() 答案：x 理由：因为(1) T1,T2是X的拓扑，故X,、T1, X,、T2 ,从而X,、T T2 ; (2)对任意的 A, B T T2，则有A,B T1且A, B T2 ,由于T 2是X的拓扑，故 AB T1 且 B T2,从而 A B T T2 ； (3)对任意的 TTi - T 2，则TT1, TT 2，由于, T 2是X的拓扑，从而 u t u T, U二T U T2,故 u.二T U T Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有 YJ,易

20、知它们在f 下的原象分别是 X,均为X中的开集，从而f:X Y连续. 4、设A为离散拓扑空间 X的任意子集，则d A二( 理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， d(A)=. )答案：x 所以 p是X的开子集，且有【pC A - p ?=即ps d A ,从而 且有y X - (A-x),从而 X (A -x) = ，因此x是A的一个凝聚点，但对于 y的唯一的邻域 X，有X - (A - y)二二所以有 d A 二 X - A =. 5、 设A为平庸空间X ( X多于一点)的一个单点集，贝Ud A二( 理由：设A二 y,则对于任意 x X, x = y , x有唯一的一个

21、邻域X , 6、 设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，贝Ud A = X ()答案： 理由：对于任意X,因为A包含多于一点，从而对于 x的唯一的邻域 X，且有X - (A_x) ，因 此x是A的一个凝聚点，即xd(A)，所以有d A =X . 7、 设X是一个不连通空间，贝U X中存在两个非空的闭子集代B,使得A - B = , A_. B二X ( )答 案： 理由：设X是一个不连通空间，设A, B是X的两个非空的隔离子集使得A 一 B = X ,显然 A|B二,并且这时有：B - X =(B - A) 一(B - B) =B从而B是X的一个闭子集，同理可证 A是X的一个闭子集，这就证明

22、了代B满足A B = 1A B = X . 8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则 X是一个不连通空间() 案： 理由：这是因为若设 A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令A，则A,B都是X中的非空闭 子集，它们满足 A 一 B = X，易见代B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空 9、 设拓扑空间 X满足第二可数性公理，则 X满足第一可数性公理()答案： 理由：设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基，对于每一个x X ,易知 Bx二BB|xB是点x处的一个邻域基，它是 B的一个子族所以是可数族，从而 X在点x处有 可数邻域基，故 X满足第一可数性公理 10、 若拓

23、扑空间 X满足第二可数性公理，则 X的子空间Y也满足第二可数性公理()答案： 理由：由于X满足第二可数 性公理，所以它有一个 可数基B ,因为Y是X的子空间，则 B | y二BY|BB是Y的一个可数基，从而 X的 子空间Y也满足第二可数性公理 11、 若拓扑空间 X满足第一可数性公理，则 X的子空间丫也满足第一可数性公理()答案： 理由：由于X满足第一可数性公理，所以对-X Y, X在点x处有一个可数邻域基 V X，因为Y是X 的子空间，贝V V x 丫 =Vcy|v eV x是Y在点x的一个可数邻域基，从而 X的子空间Y也满足第 一可数性公理 12、 设 X 二1,2,3 , T 二X, ,

24、2, 3,2,3，则(X,T )是 T3 空间.()答案：x 理由：因为1,3是X的一个闭集，对于点2和 1,3没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则 空间，从而不是 T3空间. 注：也可以说明 X不是T空间. 13、 设 X 二1,2,3 , T Y是一个一一映射，并且f和 f J : Y X 都是连续映射，则称 f是一个同胚映射或同胚. 2、 集合A的内点答案：设X是一个拓扑空间，A X .如果A是点x X的一个邻域，则称点 x 是集合A的一个内点 3、 集合A的内部答案：设X是一个拓扑空间，A X .则集合A的所有内点构成的集合称为集合 A的内部 4拓扑空间(X,T)的基答案：设(X,

25、T )是一个拓扑空间，B是T的一个子族如果T中的每一 个元素是B中的某些元素的并，则称 B是拓扑T的一个基 5闭包答案：设X是一个拓扑空间，A X .集合A与集合A的导集d(A)的并A_. d(A)称为 集合A的闭包 6、 序列答案：设X是一个拓扑空间，每一个映射S:Z .X叫做X中的一个序列. 7、 导集答案：设X是一个拓扑空间，集合 A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集 8、 不连通空间答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集 代B ,使得A 一 B = X , 则称X是一个不连通空间 9、 连通子集答案：设Y是拓扑空间X的一个子集如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是

26、 X的一个连通子集 10、 不连通子集答案：设Y是拓扑空间X的一个子集如果Y作为X的子空间是一个不连通空间, 则称Y是X的一个不连通子集 11、 A1空间答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一 个满足第一可数性公理的空间，简称为 A1空间 12、 A?空间答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理 的空间，简称为 A2空间 13、 可分空间答案：如果拓扑空间 X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间 14、 To空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开 邻域不包含另一点，则称拓扑空间

27、X是T0空间. 15、 Ti空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果 X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开 邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T1空间. 16、 T2空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果 X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使 得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T2空间. 17、 正则空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果 X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的 闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间 18、 正规空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果 X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻 域，它们互不相交，则称 X是正规空间 19、 完全正则空

28、间：答案：设X是一个拓扑空间，如果对于 -xX和X中任何一个不包含点 x的 闭集B存在一个连续映射 f ：X 0,1使得f(x) =0以及对于任何 * B有f(y)=1，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间 20、 紧致空间答案：设X是一个拓扑空间如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑 空间X是一个紧致空间 21、 紧致子集答案：设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集如果Y作为X的子空间是一个紧 致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集 22、 可数紧致空间答案：设X是一个拓扑空间如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则 称拓扑空间X是一个可数紧致空间 23、 列紧空间答案：设X是一个

29、拓扑空间如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间 X 是一个列紧空间 24、 序列紧致空间答案：设X是一个拓扑空间如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列， 则称拓扑空间 X是一个序列紧致空间 五简答题(每题 4分) 1、设X是一个拓扑空间， A, B是X的子集，且 A B.试说明d(A) d(B). 答案：对于任意d(A),设U是x的任何一个邻域，则有 U - (A-x),由于A B，从而 U (B -x) = U (A -x ，因此 x d(B)，故 d(A) d(B). 2、设X,Y,Z都是拓扑空间 f:X Y, g :Y Z都是连续映射，试说明gQf:X Z也是连续映射 答案：设

30、 W是Z的任意一个开集，由于 g：Y Z是一个连续映射，从而 g J(W)是丫的一个开集， 由f:X Y是连续映射，故f4(g(W)是X的一开集，因此(gQ f )(W)二f v(g(W)是X 的开集，所以gQ f : X Z是连续映射. 3、设X是一个拓扑空间， A X 试说明：若 A是一个闭集，则 A的补集A是一个开集 答案：对于xA ,则 W A，由于A是一个闭集，从而 x有一个邻域U使得U - (A-x)，因 此U - A - ，即卩UA ,所以对任何A , A是x的一个邻域，这说明 A是一个开集 4、设X是一个拓扑空间， A X 试说明：若 A的补集A是一个开集，则 A是一个闭集 答

31、案：设x A,则x A ,由于A是一个开集，所以 A是x的一个邻域，且满足 A、A二 ,因此 x - A ,从而A二A,即有A = A，这说明A是一个闭集. 5、在实数空间R中给定如下等价关系： xy：= x,y (-：,1)或者 x, y 1,2)或者 x,y 2,：) 设在这个等价关系下得到的商集Y = 0, 1, 2,试写出Y的商拓扑T. 答案：T 珂，丫,0,0,1 6、在实数空间R中给定如下等价关系： xy= x, y (-：，1或者 x, y (1,2或者 x, y(2/ -) 设在这个等价关系下得到的商集Y = 1, 2, 3,试写出Y的商拓扑T . 答案：T = ,Y,3,2,

32、3 7、在实数空间R中给定如下等价关系： xy：= x, y (-：,1)或者 x, y 1,2)或者 x,y 2,：) 设在这个等价关系下得到的商集Y = -1,1,2,试写出Y的商拓扑T. 答案：T = ,Y, -1, -1,1 8、在实数空间R中给定如下等价关系： xy ：= x, y (一：,1)或者 x, y 1,2)或者 x, y 2,：) 设在这个等价关系下得到的商集Y = -2,1,2,试写出Y的商拓扑T. 答案：T = ,Y, -2, -2,1 9、在实数空间R中给定如下等价关系： xy= x, y (-：，1或者 x, y (1,2或者 x, y(2/ :) 设在这个等价关

33、系下得到的商集Y二0,2,3,试写出Y的商拓扑T . 答案：T 珂,Y,3,2,3 10、在实数空间R中给定如下等价关系： xy= x, y (-,1或者 x, y (1,2或者 x, y (2, 设在这个等价关系下得到的商集丫二0,2,4,试写出Y的商拓扑T . 答案：T = ,丫,4,2,4 11、在实数空间 R中给定如下等价关系： xy= x, y (-二，1或者 x, y (1,2或者 x, y(2/ :) 设在这个等价关系下得到的商集丫 = -1,2,4,试写出Y的商拓扑T . 答案：T 讯,Y,4,2,4 12、 离散空间是否为A2空间？说出你的理由. 答案：因为离散空间的每一个基

34、必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是A2空间. 至多含有可数多个点的离散空间是A2空间. 13、 试说明实数空间R是可分空间.答案：因为Q是可数集，且 R的任何一个非空的开集至少包含一个球 形邻域，从而与Q都有非空的交，因此Q = R，故实数空间R是可分空间 14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理 答案：设X是一个度量空间，对一xX，则所有的以x为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x 处的一个可数邻域基，从而 X满足第一可数性公理 15、 设X是一个Ti空间，试说明X的每一个单点集是闭集 答案：对-xX，由于X是Ti空间，从而对每一个 y X, y = x，点y有一

35、个邻域U使得x U， 即U X = ，故y -而，因此x =.x,这说明单点集x是一个闭集 16、 设X是一个拓扑空间，若 X的每一个单点集都是闭集，试说明 X是一个T1空间 答案：对于任意x,y：=X,x = y，x, y都是闭集，从而x 和 y 分别是y和x的开邻域，并且 有x x , y y 从而X是一个T空间. 17、 设(X,T )是一个Ti空间，：是任何一个不属于 X的元素令X* =X 一 ：和TT - X*，试 说明拓扑空间(X*,T )是一个T0空间答案：对任意x, y X*,xy,若x, y都不是：，则 x, r X 由于X 是一个T1空间，从而x, y各有一个开邻域U ,V

36、 ,使得x y V, y y U ;若x, y中有一 个是：，不妨设x =：,则y有开邻域X不包含：由以上的讨论知，对 X*中任意两个不同点必有 一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X是T0空间 18、 若X是一个正则空间，试说明：对-X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得 V U 答案：对- x X ,设U是x的任何一个开邻域， 则U的补集U 是一个不包含点x的 一个闭集由于X是一个正则空间，于是 x和U 分别有开邻域 V和W,使得V - W，因此 V W，所以 V W=WU 19、 若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集 A及A的每一个开邻域U，都存在 A的一个 开邻

37、域V ,使得V U 答案：设A是X的任何一个闭集，若 A是空集，则结论显然成立下 设A不是空集，则对 A的任何一个开邻域 U，则U的补集U 是一个不包含点 A的一个闭集由于 X是一个正规空间，于是A和U 分别有开邻域 V和W,使得Y - W二，因此V W，所以 V W -=WU 20、 试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集 答案：设 A是X的任何一个子集，若 A是空集，则d(A)二.，从而A的导集是闭集下设A不是 空集，则对-x (d(A),则x有开邻域U ,使得(U -x) - A =，由于X是T-i空间，从而U -x 是开集，故 U -x(d(A),于是U (d(A)所以(d(A)

38、是它每一点的邻域，故(d(A) 是开集，因此 d(A)是闭集 21、试说明紧致空间 X的无穷子集必有凝聚点 答案：如果X的无穷子集的A没有凝聚点，则对于任意x X，有开邻域Ux，使得 (UxA)-x二，于是X的开覆盖Ux |x X没有有限子覆盖，从而 X不是紧致空间，矛盾 故紧致空间X的无穷子集必有凝聚点 22、如果X Y是紧致空间，则 X是紧致空间 答案：考虑投射R：X Y X，由于R:X Y X是一个连续的满射，从而由X Y紧致知X是 一个紧致空间 23、如果X Y是紧致空间，则 Y是紧致空间 答案：考虑投射 P2：X Y Y，由于F2： X Y Y是一个连续的满射，从而由 X Y紧致知Y

39、是 一个紧致空间 24、试说明紧致空间 X的每一个闭子集 丫都是紧致子集 答案：如果A是丫的任意一个由 X中的开集构成的覆盖，则B= A Y是X的一个开覆盖设B1 是B的一个有限子族并且覆盖 X .则B j 一丫 便是A的一个有限子族并且覆盖 丫，从而丫是紧致子 集. 六、证明题(每题 8分) 1、设f：X Y是从连通空间 X到拓扑空间丫的一个连续映射则f(X)是丫的一个连通子集. 证明：如果f (X)是丫的一个不连通子集，则存在丫的非空隔离子集代B使得 f (X) =A 一 B 3分 于是f J(A), f J(B)是X的非空子集，并且： (f-(Ap f(B). (f(Bp f (A) (

40、f (Ar f(B) 一(f(B厂十(A) 二 f，(A - B) 一(A - B)= 所 以 (A), f(B) 是 X 的 非 空 隔 离 子集此 外， f (A) f(B)二f(A B) = f (f (X) =X ,这说明X不连通，矛盾.从而f(X)是丫的一个 连通子集 8分 2、 设丫是拓扑空间 X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的开集使得 Y A-. B, 则或者丫 A,或者丫 :_ B . 证明：因为A,B是X的开集，从而 A Y, B Y是子空间Y的开集 又因 Y A_.B 中，故 Y =(A Y) 一(BY) 4分 由于Y是X的连通子集，则A Y , Y中必有一

41、个是空集若B Y =:,则Y A ;若 A Y=,则Y B 8分 3、 设丫是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的闭集使得 丫 A- B, 贝U或者丫二A,或者丫 B . 证明：因为A,B是X的闭集，从而 AYBY是子空间Y的闭集 又因 Y A- B 中，故 Y =(A - Y) 一(B - Y) 4分 由于Y是X的连通子集，则A Y, Y中必有一个是空集若BY二；:,则Y A ;若 A Y=,则Y B 8分 4、 设丫是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足丫 Z Y，则Z也是X的一个连通子集 证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集代B使得Z = A_

42、B.因此 Y A B 3 分 由于丫是连通的，所以丫二A或者丫二B ,如果丫二A,由于Z二Y二A ,所以Z - B A - B =-, 因此Z - B =,同理可证如果 丫 B，则A二二均与假设矛盾.故Z也是X的一个连通子 集 8分 5、 设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族 如果n ,则U Y是X的一个连 通子集 证明：若 U Y 是X的一个不连通子集则X有非空的隔离子集代B使得 U 丫二 A_. B 4 分 任意选取x.Y ,不失一般性，设x A,对于每一个三，由于Y连通，从而U Y A及 B二,矛盾, 所以U Y是连通的 8分 6、 设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又

43、闭的集合证明：如果AB = r则A B 证明：若B = X ,则结论显然成立 下设B = X ,由于B是X的一个既开又闭的集合，从而AB是X的子空间A的一个既开又闭的子 集 4分 由于A B = 及A连通，所以A - B二A，故A B 8分 7、 设A是连通空间X的非空真子集证明:A的边界；:(AH 证明：若(A)二,由于：(A)二A - - A ：从而 =4一A(A- - A -厂(A _ A ) =(A- - A) 一(AA _), 故A , A是X的隔离子集 4分 因为A是X的非空真子集，所以A和A均非空，于是X不连通，与题设矛盾所以 A) = 8分 8、 设X是一个含有不可数多个点的可

44、数补空间证明X不满足第一可数性公理 证明：若X满足第一可数公理，则在 X X处，有一个可数的邻域基，设为 V x ,因为X是可数补空间， 因此对一讨 X,y = x,X - y是x的一个开邻域，从而Vy Vx，使得Vy X - y r 于是y Vy , 4分 由上面的讨论我们知道： X -xpyVy yX%xyX%y 因为X - X 是- -个不可数集，而Vu是一个可数集，矛盾 伴- X 从而X不满足第一可数性公理8分 9、 设X是一个含有不可数多个点的有限补空间证明：X不满足第一可数性公理. 证明：若X满足第一可数公理，则在 X X处，有一个可数的邻域基，设为 V x ,因为X是有限补空间，

45、 因此对-y X, y = x, X - y是x的一个开邻域，从而Vy Vx，使得VyX - y r 于是y Vy, 4分 由上面的讨论我们知道： X-xHy Vy y XJxy xjy F 因为X -x 是- -个不可数集，而Vu是一个可数集，矛盾 件4 x 从而X不满足第一可数性公理 8分 10、 设X,Y是两个拓扑空间，f :X Y是一个满的连续开映射 X满足第二可数性公理，证明：Y也 满足第二可数性公理 证明：设X满足第二可 数性公理，B是它的一个 可数基由于f : X Y是一个开 映射， B$二 f (B) | B B 是 由 Y 中 开 集 构 成 的一个 可 数 族 3分 下面证

46、明 B是Y的一个基设U是Y的任意开集，则f(U)是X中的一个开集因此存在B 1 B , 使得f(U )二|Jb b . B 由于f是一个满射，所以有 U = f (f(U )f(B),从而U是B中 B勺i 某些元素的并，故 B是Y的一个基这说明Y也满足第二可数性公理8分 11、 设X,Y是两个拓扑空间，f : X Y是一个满的连续开映射 X满足第一可数性公理，证明：Y也 满足第一可数性公理 证明：对一y Y ,由于f : X Y是一个满射，所以存在 x X ,使得f (X) = y ,由于X满足第一可 数性公理，故在点x处存在一个可数邻域基，设为Vx,又由于f:XY是一个开映射，则 Vy二f(

47、V)|VVx是丫中点y的一个可数邻域族 3分 下面证明V$是丫中点y的一个邻域基设U是丫中点y的任意邻域，贝y f J(U)是X中点x的一个邻 域因此存在VVx,使得V f(U).因此f(V) U ,从而Vy是丫中点y的一个邻域基这说明 丫也满足第一可数性公理 12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点 证明：若A没有凝聚点，则对任 x三A, 定存在x的一个邻域 Ux 使得：Ux A二x,由于X满足第二可数性公理，设 B是它的可数基，故一定存在一个B x B 使得: xBxU 更有 Bx A=x, 若令 C= Bx I x A Bx B, Bx Ux ,则有 C

48、 B ,从而 C必可数.于是 A =x=(Bx A).这样A就是可数集，这与题设 A为不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚 x ：zABx :-C 点 8分 13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族 证明：设A是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族，由于X满足第二可数 性公理， 设B是X的可数基 3分 对A的每一个元素 A ,因为B是X的基，存在B B使得B A.因为A中的元素两两无交，从而 A 中不同元素包含B 中的元素也不相同因为B 可数，故 A 是可数 族 8分 14、 设X是一个空间，A X,x d(A),证明：x的每一个邻域U中都

49、含有A中的无限多个点 证明：设xd(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设 B二U -A-x,则B是一个 有限集，从而B是一个闭集，故U-B是一个开集且是x的一个开邻 域 4分 又易知(U - B) (A - x ),从而x d(A),矛盾故U含有A中的无限多个 占 八、- 15、设X是一个空间，A二X , x d(A),证明：对x的每一个邻域U有U A是无限集 证明：设d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设 B=U - A-x,则B是一个 有限集，从而B是一个闭集，故U-B是一个开集且是x的一个开邻 域 4分 又易知(U - B)， (A- x =从而d(A), 矛盾

50、故U - A是无限 集 8分 16、设xj是T2空间X的一个收敛序列，证明：人的极限点唯一 证明：若极限点不唯一, 不妨设lim Xj二, lim片二y2,其中 yr y,由于X是T2空间, 故y1和y2 各自的开邻域U ,V，使得U7二.因lim_ x二如，故存在Nj 0 ,使得当时，x U ；同 理存在N2 0 ,使得当i N2时，人 V 令N二maxNi, N2,则当i N时，xU V，从而U V八,矛盾，故x,的极限点唯 一 8 分 17、设X是一个拓扑空间，证明X是hausdorff 空间当且仅当积空间X X的对角线 .： 乂（x ,x ） X X |x 是一个闭集 证明：充分性：对

51、任意x, r X,x = y，于是（x, y） .，由于厶是闭集，所以是开集，从而有 X 的开邻域U,V使得（x, y）U V .：，于是U,V分别是x,y的开邻域，且U、V = ，从而X是 Hausdorff 空间 4 分 必要性：若 X是hausdo市 空间，对-（x, y）三 ，则x和y分别有开邻域U ,V，使得U V = , 从而（x,y）U V .：,由于U V是X X中的开集，所以是其每一点的邻域， 故.是开集， 从而厶是闭集 8分 18、设X是Hausdo市 空间，f : X X是连续映射证明A二xX | f（x）二x是X的闭子集 证明：对于-x A ,贝U f （x） =x ,

52、从而f （x）, x有互不相交的开邻域U和V ,设 W = f（U） - V , 4分 则W是x的开邻域，并且 x W A ,故A是开集， 从而A是闭集 8分 19、设X是一个正则空间，A是X的闭子集，X A，证明：x和A分别有开邻域U和V使得U 证明：由于X是一个正则空间，从而 x和A分别有开邻域 W和V使得WY二，故V W , 因此V - 4分 又由正则空间的性质知：存在 x 的开邻域 U 使得U W ,从而 U V = 8 分 20、设X是一个正规空间， A , B是X的两个无交的闭子集证明：A和B分别有开邻域 U和V使得 证明：由于X是一个正规空间，从而 A和B分别有开邻域 W和 V使

53、得W V = ,故V W , 因此V W 4分 由正规空间的性质知：存在 A 的开邻域 U使得U W ,从而 V = 8分 21、设X是一个拓扑空间，0,1是闭区间，若对 X的任何两个无交的闭集A, B都存在一个连续映射 f : X 0,1,使得当x A时，f(x)=O,当x- B时，f(x)=1.证明：X是一个正规空间 证明：设A, B是X的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射f:X 0,1,使得当x. A 时，f (x) =0,当 x B 时，f (x) =1. 设 U = f(0,0.5) , V = f J(0.5,1) , 4分 易知U ,V 分别是 A和 B的开邻域且U -

54、 V =从而 X 是一个正规空 间 8分 22、证明T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集 证明：设C是T4空间X中的一个连通子集，如果 C不只包含一个点，任意选取 x,y C,x= y .对 于T4空间X中的两个无交的闭集x, y,应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射 f : X 0,1，使得 f(x)=0 和 f(y)=1. 4 分 由于C是X的一个连通子集，从而f (C)连通，由于0,1 f(C), 所以f(C 0 ,由于0,1是一个不可数集，所以C也是一个不可数 集 8分 23、 X是T4空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个B B及x B,都有

55、一个B B使得瓦B. 证明：X是T4空间，必为的正规空间，对任意X,x为闭集. 对于BB且xBB就是x的一个开邻域.由于X为正规空间，必存在x的一个开邻域 U使得 U B . 4分 U也是x的开邻域，一定存在一个B X是一个连续映射，且ff 证明：f (X)是X的闭集. 证明：对-x X - f (X)，则f (x) = x,由于X是Hausdorff空间，存在x和f (x)的邻域U1 ,V , 使得5 V $；.又因为f连续，故存在x的邻域U 2,使得f (U 2) V ,令U = U勺U 2,则U是 x的邻域，且U X - f (X ) 4分 事实上，若存在 Z- U 使得 z- f (X

56、),即 y X 使得 z=- f(y).于是 f (z) = f C f ( y) = f (y) = z , 而 f (z) f(U) V , 这样,z U V U“ V =；i,矛盾所以U X_f(X),即f(X) 是闭 集 8分 25、 设X是Ti空间，A是X的至少含有两点的连通子集，贝UA定是无 限集. 证明：若A为有限集，设a,bA且a = b,由于X为T1空间，于是a与A-a就是X的闭集且a- (A- a) = 及 A a = ，4 分 从而，A=a 一(A a),故A不是X的连通子集这与题设相矛盾，所以A必为无限 集 8分 26、 如果拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则X的每个

57、收敛序列xi的极限点唯一 证明：因为单点集总是紧致子集， 从而拓扑空间X的每一个单点集是闭集， 故X是T1空间，若xi的 极限点不唯一，不妨设收敛到a,b,a = b 易知X -b是包含a的开邻域，因此它包含序列xi的几乎 所有项，也就是说x只有有限项为 b 4分 设A =焉|焉Hbua,则A是紧致子集，从而是闭集故A是b的一个开邻域，它最多只能含人 的有限多项，从而b不是xi的极限点，矛盾从而X的每个收敛序列xd的极限点唯一 8分 27、 设X,Y是两个拓扑空间，f : XY是一个连续映射如果A是X的一个紧致子集，证明f (A)是Y 的一个紧致子集 证明：设C是f (A)的一个由Y中的开集构

58、成的覆盖对于任意C C , f(C)是X中的一个开集， 由于U运C二f(A)，从而有： U f(C)= fpC)二 f(f(A)二 A C-Cc 土 所以A= f tC) |C C是一个由X中的开集构成的 A的覆盖由于A是X的一个紧致子集，所以A 有一个有限子族，设为 f J(Ci)JII, f J(Cn)覆盖A. 4分 因为 f(Ci2 川uf(Cn)=f(Ci5l2Cn)=A，从而 Ci5l2Cn= f(A)，即C,川Cn 是 C的一个子族并且覆盖 f(A)，因此f(A)是Y的一个紧致子集 8分 28、 设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集， Y X 证明：如果 A二丫二A,则Y也是X的一 个紧致子集 证明：设A是任意一个由 X中的开集构成的 Y的覆盖，因此 A也是A的一个覆盖，由于 A是X的紧致 n 子集，从而A有有限个成员 A1/ , An使得Aj二A. 4分 in _ nn_ 由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得UAi ,从而有 Aj二A二Y, i =1i =1 从而A有有限子覆盖AAn，因此Y是X