高等几何课后答案(第三版)[1]

1、高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1. 经过几（一3,2）和（6,1）的直纯AB与直线工+ 3，一6二 0 相交于 P A（ABP）=?U 4 线 AB 的方程为 x+9j- 15 = （1：P点的坐标为住存）;（ABP） = -L2, 求一仿射变换，它使直线工+2$- 1 =0上的每金点都不 变j且使点仃，-1）变为点（-L2）.2. 在岂线工十為-1=0上任取两点A（.lA）,Ii（- hl）.T-A1,0）A1.0） B?又点（L -H-l心j1 =竝“丁 +应位+0沁1仿射变换式 .、可解得所求为ly =細/ 4 gy+ 如 * 工=2工十 2y 一 1 * $ = _

2、芬_切寺.3. 求仿射变换” =7.r 于+ 11 y = 4Hy + 4 的不变点和不亶直线.3. 不变点为（一 *卩一 2）不殳山线为2r - 2$ - 3 = 0与4 ar- y-0.4 问在仿射变换下，于列图形的对应图形为何？菱形；正方形；梯形；等腰三角形.4. （D半行卩U边形;（2）平行网边形；（3）梯形；Qii与码Q 局，求iff ：直线p、Q2与 g 的 交点Q局与Q,乩的交点乩几与K3P.的交点三点共线，且此直线与可以选取射彩中心F与另平面*，将O、S二点射繆成平 面t上的无穷远点.如圏2-2-3,这时L,M ,N皆为平行四 边形的对和线交点，容易证明它们共线，11所其血线与

3、l.r2平行 根抑:給合性是射彩性质，所以JM，、兀线.且此血线与 人“共点.5.试用1萨格定理证明：任慮四边形各对时边中点的连线与二对角线 中点的连线相交于点.5.提爪:如图2-27.设四边形A/3CD四边中点依次为E, F. G.H,对角线AGED的中点是P,Q,研究三点形PEH和QGF,利 用德萨格定理的逆定理，可以证明其对应顶点连线EG,FH,PQ 共点.6.ABCD星四面体K在BC上一直线運过X分别交AB.AC TP, Q,另一直线通过X,分别交DH,DC干乩头求iE：PR与QS交于AD.6.捉小：如图2-2-5.研究三点形HQA和RSD,对应边交点PQ x RS = X,QA x

4、SI) = C,APx DR二B因为X.B.C共线，根据徳萨格定埋的逆 定理，必有刈应顶点的连线兀点.A习题二下列谱点若它的非齐Ifc量标存在晴挹它写出来：（2,4 ,0几（0沖）JAM）.J2：-八俘厂驾）,无,（0胡无-J.当正负号ffjg选取时才问（ L + l.l）示几个相异点？3.答：四个相异点.取求下列各直线的齐冼线坐标】0 丁辆；（2），轴汀3）无穷五直如 通过原点且斜車为2的直践 4答：| 山1,0（2）CbO.D Q）,Oi 1 C2* - 1/B桌T列诸线坐标所表肓线的方程：（OJllJLUJjjH-UOj5. S：|,fJTj +屯=U*工| +忙壬一王i = 0卩工1

5、+ ZTj二（L丈-Xr =06-下列诸方ftfr*示什么图弦？kL =- wA = 0hK| + u3 u5 =0t2h（ + Bf? - O.iiJ 5i tii=0.|心答点点（0d, - 1 儿点 点Q7l两点心-4.0）和（1, 一 1卫）习题二2 写出下利命魁的对偶命題-（0爾点决定一直01 ：2）对电平贡上至少存庄四条倉线十其中怪何三圣不共点：（3）设亍蹩翡的三点晤*它的两边SiHS一个定点術三15点奁共点 的三直统上则第三边也通过一节定点”2. 答：（1）M线必交T-C2）射膨平血上至少存在四个点，贞;中任何三点不北线；设变功的三线形，它的两顶点各在 烷山线上川if三边 齐经过

6、技线的三个点则第三个顶点也在僚定n饭上3：已懼点人“工几片4一仃1耳几（真E3）证F 片舄共线，并以,的值，曲P3 = ZP| + FTiPj若鬥旳为三?3- ftY ： / = 11 w = 2.|軾设A,.C：为三帽异共线点证,可适当Jiff A,B的齐次蛙标S 乩而使丁 T由中t是C点的坐标写出耳对傅情兄|4.证明J设儿乩匸的齐次坐标勞别为门则根据定理34 存 在常数Zimf使亡二仙+血因为儿时C为不同的点，所以fHO,加工山取A点的座标为In | B点的坐标为mb |，则有u = a b 习题四1求逹接南点（1 +i+2+itl） + （l -it2+iTl）的直线方注. 求亘线（】g

7、 2和）心+卫工厂0上的吴点1.答；（1）工一工上 + JTg = 0Q实点为Q.-1；Dr 2.求证三点“卫）江1儿0）、（1一1卫）共堤擀量舀一点的坐标表 示为前两点的统性纽合.2, fil* -Ld&ifiQ-bOJirdB -liO)由于故三点共线.3求证俩坦点所定直线与菖間共純复点所定直規为两条共寵克线*乳证明设两复点“所定更直线为人卿共純逐点衽应在f的共總复克线上同理b也在匕故矗由确定复対梢命題；两复宜线所交之复点及这两归线的共觇复宜线所 交之复点，为两共舰复点g求圆甘匕；二g -iy+=8*;的交点.4. 答：四个交点为； (lr-LiO) Or2rl)r(一12, -1).第三

8、章射影变换与射影坐标习题一1. 设儿乩口门用为其蜒五点求址(AB,CD)-(iBtDE*(AB,EC)= L1 .证附h(AH-C7J)* (AH-/JE)* (Art. EC)_ (ABC).(AM D) . (AHE) _ .-jwp GSB； E)TahcT- 1 *2. 若 A (2 J.1 lW(h(n*fJfLr -时皆共线四点.(ABXn).2. 執(： = 4-CA t H) 可号旳(?= A * li./J=2A -3B- 町写为二八一斗也所口 C/Vl .(!?)= 一 亠3. a巴门门J).巳(1. ihPj门dj)为其坡三点且(”巴. 円FJ -4卓巧的圭标.3執设Pj

9、=pt +必则 人二2.所以所求为卩（3一13）4.巳知直线的方程分别为2丄| 十才2 一刁3 =0 才 | - J3 =0f| =0r且-寺求6的方程.4.答：厶的方程列11巧-2.巾+ 2.巧=05.设Pl.P2.PJ.P4,P5,P,是六个不同的共线点，求址: (O (PlP2.P?PJ(P|P2.PJP#-(PpPI.P（2）如果（巴P：,P.,PJ珂fP-PO则（件巴，鬥巴2 -1.5. 证明（I）与第I题类似根据定义证明. （PR，几匕）=I -（件匕,PJP4） = 1- （P2P3,PJ）因为Pj是不同的点.所(U(PiPJpF2F4) = -1.8如图3 - 12*AB为IS

10、O直径C为AB延长线上一点.Cf为圈的切 线、M为切点，求证M在/!上的5JBH是C关于的谢和共純点.证法一：MH MA是Z CMH的内外角平分线（图2-3-1）. 根据原书第三章1例题乩得（AB.HC） = -L证法二：先匹明命题：设（AB, CD） = - L O为CD Z屮点则 （X：1 - OA-OB-反之亦真.在术题川可以先证明OA2 OH-（：X. 利用上述命题即可得证.9.已S：直线 U 占丄 的方程分剖为2 - + 1 = 0T3x+ -1=0,? -y = O（5 -1 = 0,求证儕直绸共点，并感 n9答丄2#仃V二右嵌4氐6 ry = 2 + 打心：$二岭工+ 4打初工+

11、心 北农 nj * f .（4t _ ijXi 共i*求H：上“比心）（爲一上：）（右二打）12.眾启过原加1：分别打此四杠线平帶的口线,得:/;： y k2.Tr!v = i 17 -即心=虽寸仃：y = ij,t 即和二札百选基线 a: 7j =(ii 6： Ti 0Md Z| ： a - 4|6- /2： a jfci6Zj：E、h f Z4: a i4 ft.则（ZM仏心站心门:心驾习题二1.求证侦I躍一维时怡对虫便直践I上的无勢远点讨应克线厂上的无 霸远点則这片对应一定是彷殆对应.k提示：因为仿射对应是保持共线三点的单比不变的，【殳A, bc是直线r上的任意三点其射影对应点是厂上的用

12、；廿& 又/上的卩“刘应 广上的卩所iy （AZi,CPw） =悯此（AbC）=（AliC）.2.血果三倉幣ABC的fflBC.CAMB通过在同一直绘的三刈P.又顼熾在一来定直线上 求证；瓦点X泡在一条定盘找上.2.证明：如图设三点形血匸.足满足条件的力三点形，则有佃，耳,）K （C, （,p（C, C,-）悯为PQ与RQ是同 寸线，即PR是门对应元素，故有P（B,）天 R（C,（.）|所以，对应直线的交点A, A,共线.*3-如果点列（卩）A（r）fc其屁八广交点、垠ue：p,p：与pf.的 交点K的轨迹足一条克垛3证明：如果O是口对应点则 八巧天厂（r）|I所以P；通过透视中心V（定点）如

13、图2-3-9.|闵为WM是完金四点形的村边三点形.故有：|（/ OVOX） = - I由于頁线I.l .ov是固宦的所以0X是一条固定直线.如果0不是白对应点;设0作为2王的点时0二旷甘在d 上儿0作为厂上的点时UFb如阳2-3 - 10*则有（OU.Pf J = VO.PP） =（OV/）；P f）.由业得到O点门村应所以（3 rjv 巴；） SW=S线 uv m Pf；共曲ih盲线UW是周应M所以卩；卩；巴的交点X在周应阿胃 线cn厂上直數与完全四点丿E ABCQ的三对对边的交点为P- N；Q.P4证明二任童一羸不通过完全四点罡顶虐的宜蜒导完全四点孫的三对 时边的交点是用于同一对合的三对对

14、应虑JZ*Ii在 I 上P “mQ，R -R .岡为戸 PQ I R）矣 （FtEtAtB）天（FQ） f听以这是一个姑笑变换. wqr二 umQ）|（/m）= J 根据定理2.4如，这射彫变换是一个对合.习题二L,燒苴绘/上的点PQhP】UnP、（2）经射总对JSLWllfc对宜厂上的 点P； （-2）.求射豪对应武、并化为齐Ifc堂标或求出t上的无穷远点的对应点一1.答:齐次坐标式:严:八 =3;+ 4 r pr2 =3tj -4t3 非齐次坐标式4r 43. r 一 4Fw（I 川）f 卩（一 43）卩（43）f P；（1.0）2.求直线，到自身的射够变檢式，便PJOJ.Pifl）,?.

15、分SI对应点PF人几,（0）3. 已知 轴上的射形变換式为._2上一1文TTJ试求坐标原点无勞远点的对应点一3. 答：（Q,1）f（-13儿|（1卫）（2I）4. 求以尸射影变换的自时应元索的$:（1 U - 2A + 10:（2） 2H+ 1=64. 答：（1）1: L（2）-y；xfc（3）2:3.5. 求对合的方程，这个对仑的二it元索的塞t为:（1）2 与 3$（2）方程血1十2庐十0的根.5. 答： 2U -5（A t Az）十 12 = 0：（2） aAA */（入 +人） /=（!6记知对合的两对对直点曲蠡敕为：3-2.5-1.试求时合的方程和二載点的赫敕6答乂 + CA * 厂

16、）-1=（l（ -12j3.习题四I求-射影变换，餐点（“01.门.“1）5）用次对应点 i,oj,oa,oh（oroj）xi J 4）.1. 答;所求变换式为:2. 壊射幣徑恢flt 21 才J 丰占： 貝兀；=+ 2xj - Xy pF； - *T I 4 Ta + T3馬i变袂式井末出昭潸ete旳=0対对应直线的方程2答：根据公式（4.4）,求出逆变换为.）曲 i 3 rj + 2ri .带；申 oij = 2,r | + 乂； + 3 j?j ! o：j：j =工；-3工；+ 5.工; 兀=0的对应直线为：乳+ 3丁； 5丁；二03, 求射誓禮换* ftr卩=心的不霓点坐拆一3解：根据

17、公成5.G列出特征方程：5 - 1P = （L fi - 1 三重根）.将f I代入不变戌方程组（4. 5）得rj = 0 -= 0上的点都是不变点即斗=0是不变点列乂4.求射屢迎换*的不宜无索甘;-4j| - j? 阿；-3j-j 血F -孔Ml4解.特征方程为勺心二 _ 2r/ =3*i 1）S 十 2）（产 - 3、= 0p 解得 1 f将特征值代入不变点方程组得不变点为(hOdi),(bL0)- tl 16*5).不变/(线为：叮一工二十工】二巧一巧=0 5x( -巧二氛第四章变换群与几何学第五章二次曲线的射影理论习题一 三点理A?利A同时外切于 僚二次曲蜿琳迹它们也 同时内摄于一築二

18、次曲毀5 证明：设三点形ABC和A H匕同时外切于一二诜曲线S 如图2-51-有a伶x AM5 = PiX 14A) tjt A,APQ = R.则ASR为二阶曲线的切线.5. 在内接于圆的曲金三点形AHC欷ABC中、设AB汎 AliPdiCBC=QCAf x CAR7 证明 巴三点携 线，5.握示I将三兰点形之顶点扌I#列枕序为AHCAMf 圆为： 次曲线由帕斯卡定理可知F、Q. R三点共线.6t证明柏斯卡定理的逆定理.6. 捉示：利用二阶曲线的射澎定义.习题三1. 思肴：若_L接从二级曲线出发，如忖君虑极点.概践的槪念 及农法？1. 捉示，用对偶甌则.可光讨论直线的极点.2. 证明定理乳5推论3:囉PA . Pti为二阶曲线妁切线若 其中儿H为切点.则AH为卩点的极IV2. 梃示：用配枫瓯则证明.3. 已钿一条直钱求作/关于二阶曲钱舗极点工捉示匸在p上任収一点，作它们的