数列中的奇偶项问题

1、精品文档数列中的奇偶项问题例1、已知数列an满足：d=1,an平fan十1,n奇数限为偶数*.(1)求为心,并证明：bn41 = 2bn+2;(2)证明：数列bn+2等比数列；若a2k,32k舟9+a2k*成等比数列，求正整数k的值.未找到引用源。.数列bn的前n项和为tn,且例2、设等差数列an的前n项和为sn,且a2 =8,s4 =40错误!tn2bn + 3=0, nwn*.(i)求数列qn,如的通项公式;(ii )设 cn =an bn为奇数i为偶数求数列bn的前n项和pn.3、一个数列 an,当n是奇数时，an=5n+ 1;当n为偶数时,nan= 22 ,则这个数列的前2m项的和是练

2、习1.已知等差数列an的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为 25,则这个数列的项数为()a. 10 b.20 c . 30 d . 402、等比数列的首项为1 ,项数是偶数，所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为 170,则这个等比数列的项数为(a) 4(b) 6(c) 8(d)103、已知数列an , bn满足31= 1 ,且 an, an + 1 是函数 f(x)= x2-tnx+ 2n的两个零点，则 加=4、已知数列an满足 31 = 5anan+1 = 2n,则一=( a3a. 25.已知数列2 014a. 2an满足 31=1an+1 an=2n(nc

3、n*),52设&是数列an的前n项和，则s2 014 =()-1 b . 3x21 7 3c.3 x 21 007 - 1 d , 3x21 726.于数列an,定义数列an+1 an为数列 an的“差数列，若a1 = 2, an的“差数列”的通项公式为2n, 则数列an的前n项和s =. 一，3一 一*7、(2013天津局考)已知首项为2的等比数列an的前n项和为s(ncn),且一2s2, s3,4s4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；1 138、已知s是等比数列an的前n项和，s4, s2, s3成等差数列，且 a2 + a3+a4=- 18.求数列an的通项公式；是否存在正整数n,

4、使得s2 013 ?若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由. 。1欢迎下载解：(1) b2=a3 =2a2 =2(a1 1) =4, b3=a5 =2a4 =2(a3 1)=10,bn ka2n 1 =2a2n =2(a2n1) =2(bn 1)=2 2,(2)因为b =a =1,b+2=0,乡2=他上&=2,所以数列bn + 2是以3为首项，2为公比的等比数列 bn 2bn 2由数列bn +2可得，bn =3m2n2,即 a2n=3m2n12,则 a2n = a2n1+1 = 3父 2n， 1 , k 2k 1k一 k因为a2k,a2k+9+a2k也成等比数列，所以(3父2

5、-2) = (3父21)(3父2 +8),令2工，得232(3h2) =(t 1)(3t+8),解得 t=或4,得 k=2.23石,目a d =8 /口 a1 =4八斛：(i)由题思，得，,an =4n . 3分4a16d =40 d = 4tn -2bn +3=0,，当n=1 时，1bl =3,bn =2bn,(n _2)当n2时，tnl2bn+3=0,两式相减，得 数列i 为等比数列，二bn =3 2n当n为偶数时,4n n为奇数(n) c =cn - 3 2nn为偶数pn =(a1 a3 ih an)(b2 b4 hl bn) _(4+4n-4) 26(1-42)1-4=2n 1 n2

6、-2当 n 为奇数时，(法一)n 1 为偶数，pn = pn+cn =2(n,)+ +(n 1)2 2 + 4n = 2n + n2 +2n 1(法二)pn =(a1 - a3 hi - an/ - a0)(b2 b4 .3,bn an 1(4 4n)于26=2。n2 2n.11 - 4p2nn2-2,n为偶数n2n n2 2n -1, n为奇数解析：当n为奇数时，an是以6为首项，以10为公差的等差数列；当 n为偶数时，an是以2为首项，以2 为公比的等比数列.所以，_mm-1 a2f12mms2m= s奇+s偶=ma+;10+.-6nh5mm- 1) +2(2 -1)2i 2=6m+ 5m

7、 5m 2m+1 2= 2研1 + 5m2 + m- 2.解析：选a设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于 = 2n,故2n=10,即数列的项数为10.解析： an+ an+1 = bn)an an+1=2) an+1 an+2 = 2 ,.an+2 = 2an.nd,即 25 15又.a1 = 1 , aa2= 2).32 = 2,02n= 2 ,a2n1 = 2(ncn),b0=210+an = 64._o2欢迎下载精品文档解析：选b依题意得n+1an+ian+2 2an+2-=2,即二-=2,故数列ai, a3, as, a7,是一个以5为首项、2为公比

8、的an n +12n等比数列，因此7=4.-3n+2n+ 1n+ 2解析：选b由2n+i-2=2,且2 = 2,得数列曰的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数歹u,1 0071 2偶数项成以2为首项，2为公比的等比数列，故s2 014= (1+3+5+2 013)+(2+4+6+2 014)=1 21 0072二 l 3x 21 007 _ 3.1-2对比：n+1/ n=2n则用累乘法，解析：n+ 1 n= 2 n= ( n n 1) + ( n-1 n-2)+ + ( 2 1) + 1_ n_-,n + 1= 2n1 + 2n2+ + 22+2+2=-z-y+2=2n-2+ 2=2n. .

9、 .$= ； ? = 2n+1- 2.121-2解题指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.2s2, s,4s4成等差数列，所以s+22 4s4s,即 s4s=s解(1)设等比数列n的公比为q,因为一口4可信 24=3,于正 q=；12.3 又1=5,所以等比数列n的通项公式为3n=- x2-2) 1=(-1)n 12n.(2)证明：s=1，一；)，s + =1 2s1w+1-2n_1_n 2n+ 11n为奇数,2 (2 - 1n为偶数.3欢迎下载， 一， 一1 一 ，一，一，当n为奇数时，s + 随n的增大而减小，sn ,1113所以s1+ 7=snsi 61当n为偶数时，随n的增大而减小， sn ,1125所以 s+ 0= ss s, 由题意得v2 + 3 + 4 =一 -1q2- -1q3= -1q2, |-1q(1+q+q2 尸18181 = 3,故数列 n的通项公式为解得, q= 2.一一 n 1-n=3x( 2)由有s=上尸=1-(-2) n.1 一( 2 )若存在 n,使得 s2 013 ,则 1-(-2)n2 013 , 即(一2)2 -2 012.当n为偶数时,(2)n0,上式不成立;当 n 为奇数时，(一2)