数列的概念与简单表示法

1、精品文档11欢迎下载第六章 数 列6. 1 数列的概念与简单表示法考点梳理1数列的概念(1) 定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1 项 ( 通常也叫做 ) ，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项所以，数列的一般形式可以写成,其中an是数列的第n项，叫做数列的通项.常把一般形式的数列简记 作 an.(2) 通项公式：如果数列 an 的与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3) 从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集n*( 或它的有限子集 1

2、， 2 ，3,，n)的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列 :(4) 数列的递推公式：如果已知数列的第 1 项(或前几项 ) ，且从第二项 (或某一项 )开始的任一项 与它的前一项( 或前几项 ) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式(5) 数列的表示方法有、 、 、 .2数列的分类(1) 数列按项数是有限还是无限来分，分为、 .(2) 按项的增减规律分为 、 、 和递增数列？an+i a；递减数列？an+i a；常数列？an+i a.递增数列与递减数列统称为 (3) 列前n项和s与an的关系(n = 1)已知s,则an =(n2)d o 03

3、an)(4) an ani列表法 图象法 递推公式法(2) 递增数列 递减数列=单调数列自查自纠：1 (i) 项 首项 ai ， a2，2 ) 第 n 项 n (3) 函数值(5) 通项公式法( 解析式法 )摆动数列常数列 v2 (i) 有穷数列 无穷数列3 sisn sn i典型例题讲练类型一数列的通项公式例题1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 1, 7, 13, 19,；2 46810(2) 3，1? 35，63 99 1 925 2，2, 2，8, -2-,；(4)5 , 55, 555, 5 555 ,.解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(一

4、1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an = (1)n(6n 5).(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1x3, 3x5, 5x 7, 7x9, 9x11,，每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个通项公式为a =1(1) -1, 2,1 * 1 13 4 52n5, 9, 17, 33,；1017 26t , 7， 9，11，(4)1 , 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16,解：(1) an= ( 1)(2) an=2n+1 ；5(3)由于一1 = 5,51 n故分母为3, 5, 7,26,，即n2+1.符

5、号看作各项依次乘 n+1 n2+1(-1)-()2n+19, 11,，即2n+1,分子为 2, 5, 10, 17,1, 1,1, 1,，即( -1)n+1,故 an = 观察数列an可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，n+ 12(n为奇数)n22 (n为偶数)类型二由前n项和公式求通项公式例题2 若数列a的前n项和s=n210n,则此数列的通项公式为an =(2)若数列an的前n项和s1=2n+1,则此数列的通项公式为an=解：当 n=1 时，ai=s=1 10= 9;当n2时，an= s1s1 1 = n 10n( n1) 10( n1) =2n 11.当 n = 1 时，2x1 1

6、1 = 9=&.，an=2n11.故填2n 11.(2)当 n=1 时，a=s = 2+1 = 3；当n2时，an= si si 1 = (2 +1) (2+1)mj*：*1.综上有an =3 (n= 1),2n1 (n2)故填3 (n=1), 2n1 (n2)变式2已知下列数列an的前n项和s,分别求它们的通项公式an.(1) s=2n23n；(2) &= 3n+b.解：(1) a1=s = 23=1,当 n2 时，an=s s 1 = (2n23n) 2( n1)2 3(n 1) =4n-5,a也适合此等式，an=4n5.(2) a1=s = 3+b,当 n2 时，an=s-sn 1= (

7、3n+b) (3n1+b)=2 3n1.当b=1时，a1适合此等式.当bw 1时，a1不适合此等式.，当 b= 1 时，an= 2 3 i当bw 1时,3+ b, n= 1,an 2 - 3n i n2.类型三由递推公式求通项公式例题3写出下面各数列an的通项公式.(1) a1 = 2, an+1 = an+ n + 1 ；、n + 2(2) a1=1,前 n 项和 3=不一an；3(3) a1 = 1, an+1 = 3an + 2.解：(1)由题意得，当n2时，sh-an 1= n,，an= & + (a2a。+(8a?) + + (anan 1)= 2+(2 + 3+ + n) = 2+

8、(n 1) ( 2+ n)n (n+ 1)2+1.又 ai= 2=1 x ( 1 + 1)卜1,适合上式,因此an =(2)由题设知，a1 = 1.当 n2 时，an=sn+ 2sn 1 =an3n+1an-1 .3an n+1an-1- n- 1.an n+1an 1 n- 1a4 5a3 4. =一.=.a3 3 a2 2a23. a1以上n- 1个式子的等号两端分别相乘,日得到1n (n+ 1)(3)解法一:2-n (n+ 1) an =2(累乘法)hr an+1 + 1即ht -3an+1+ 1,言1 = 3.an+ 1 = 3an+ 2 ,得 an+ 1 +1 = 3( an+ 1)

9、,a2+1 - as+1 _ a4+1 _7 = 3)= 3,= 3, ,a1 + 1a2+ 1a?+ 1将这些等式两边分别相乘得左与=3n.a1十an + 1+1n a1 = 1 , - 1 + 1 = 3 ,即 an+1 = 2x 3n-1(n 1),.an=2x3n1 1( n2),又a= 1也适合上式，故数列an的一个通项公式为an= 2 x 3n 1 1.解法二：(迭代法)an+ 1 = 3an+ 2,即 an+1 +1 = 3(an+1)= 3之(an-1 + 1)= 33( an 2+ 1)= =3n(a1+1)=2x 3n(n1),.an=2x3n1 1( n2),又a1= 1

10、也满足上式，变式3写出下面各递推公式表示的数列 an的通项公式.1a1 = 2,(2)a1= 1a1= 1an+1 = an+n (n+1)；an+1 = 2 an jan+1 = 2an+ 1.解:(1) 当 n2 时,111an-an 1 = n (n-1) = e帚当 n2 时，an1(an an-1) + (an-1 an - 2) + + (a2 a)+ a1 =n 11n- 211+ 1-; +2 = 3-.2n故数列an的一个通项公式为an= 2 x 3-1 1.,-,一“，1当n=1时,适合.故an=3-n.a3=22, a2空=21 an1n ( n 1) ani= 22将这

11、n-1个等式叠乘，an(n-1)得 an=21+2+(n-1)=22 a1n (n-1)，数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列,当n = 1时，适合.故an = 2(3)由题意知 d+1+1=2(an+1), .an+1 = 2n,an=2n- 1.类型四数列通项的性质10n *例题4 已知数列an,且an=(n+1)u(nc n).求数列an的最大项.10 n解：因为an=(n+1) g 是积哥形式的式子且 an0,所以可用作商法比较 的大小.an 与 an - 1解：令-a1(n2), an - 110 n(n+1) 6即 10 n1 封1 ,n -11n+1 11整理得一厂而，解

12、得n 1，10 n(n+1)行即10 n+1 封 1 ,(n+2) 11j n +110 口整理得一,解得n9.n+2 111010从第1项到第9项递增，从第10项起递减.故a9=a =可最大.变式4数列*的通项an=g，则数列an中的最大项是()a. 3 1010 d.60解：易得=9或10时,1,一-an = -运用基本不等式得,90nnan=u最大.故选c.1911,一,-由于ncn,不难发现当n叶20n方法规律总结1.已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(一1)n或(一l)1来调节.(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分

13、借助分子和分母的关系来解决.(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.s1 (n = 1),2. an=注意an=s81的条件是 n2,还须验证 ai是否符合ssn-1 (n 2),an(n 2),是则合并，否则写成分段形式.3 .已知递推关系求通项掌握先由a和递推关系求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法” “累乘法”等.(1)已知a且anan1=f (n),可以用“累加法”得：an= ad f (2) +f (3) + + f( n 1) + f (n). an(2)已知a且=f(n),可以用“累乘法”得：an-1an= a f (2) f (3)

14、f ( n 1) f ( n).注：以上两式均要求f(n)易求和或积.4 .数列的简单性质(1)单调性：若an+1an,则an为递增数列；若 an+1an,则an为递减数列.(2)周期性：若an+k=an(nc n, k为非零正整数)，则an为周期数列，k为8的一个 周期.an an+ 1an w an+ 1(3)最大值与最小值：若则an最大；若则an最小.anan- 1 ,hnw an- 1 ,课后练习1 . 1,2, q7, 30, qi3,中，2屏是这个数列的()a.第16项b.第24项c.第26项d.第28项解：观察a1=1 = 1,32=2=4,a3 =j7,a4 = q10,& =

15、 13,，所以an =3n2.令 an=%3n2 =279= 76,得 n=26.故选 c.2 .数列an的前n项积为n2,那么当n2时，an=()2(n+1) 2 n2a. 2n- 1 b . n2 c. -n d. (n_1)2 一, 一 2 ,.tnn2一，解：设数列an的刖n项积为tn,则tn=n ,当n2时，an= =-.故选d.in- 1n 13.数列an满足 an+1+ an=2n 3,若 a1 = 2,则 a8 a4=()a. 7 b . 6 c . 5 d . 4解：依题意得(an+ 2+ an+1) (an+1 + an) = 2( n + 1) 3 (2 n 3),即 a

16、n +2 an = 2 ) . .a8 a4=(a8 a6) + (a6 a4)=2+2=4.故选 d.4,已知数列an的前n项和s = 2an1,则满足史w 2的正整数n的集合为()na. 1,2b. 1,2,3,4c. 1,2,3d. 1,2,4解：b 1，5 .在数列an中，ai=2, a+i = an+lg 1+1，则 an的值为()a.2 + lg nb.2+(n 1)lgnc.2 + nlg nd.1 +nlg n解法一:an+1 an= 1g ,nan= (an-ani)+ (ani- an2)+ (a2ai)+ai=1g、1g 二 4n- i n- 22+ 1g彳+ 2n n-

17、i 3 2=1g nr口2彳 +2=1gn+2.解法二：an+i = an+ig( n+i)1gn,an+i 1g( n+i)=an1gn,所以数列an1gn是常数列，an1g n= ai igi =2, an= 2 + 1g n.故选 a.6 .若数列an满足 ai = 2, an+ian=ani,则 a?。的值为()a. - i b. 1 c . 2 d . 32解：根据题意，,数列an满足 ai=2, an+ian=an -i, .an+i = i , . a2 = -, as =an2-i, a4=2,，可知数列的周期为3, 20i7=3x 672+i,a20i7= ai=2.故选 c

18、.7 .已知数列an满足 as-t = asat(s, t e n*),且 a2=2,则 a8=.解：令 s=t = 2,则 a4= a2* a2= 4,令 s = 2,t = 4,则 a8= a2/4= a2x a4=8.故填8.8 .下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是an =解：从题图中可观察星星的个数构成规律,n=i时，有i个；n=2时，有3个;n= 3时，有 6个；n = 4时，有 i。个；n (n + i), t .an= i + 2+ 3+ 4+ n=2.故填n (n+ i) 29 .若数列an满足 工e=。，ncn*, p为非零常数，则称数列an为“梦想数列”.已 an+i ani知正项数列b为“梦想数列”，且bib2b3b99=2 ,则b8+b92的最小值是 解：4依题意可得bn+i=pbn,则数列 bn为等比数列.又bib2b3b99 = 299