—AR模型拟合

1、AR模型拟合 摘要本文主要说明了AR模型拟合过程。AR模型（ Autoregressive Model）即自回归模型，是用自身做回归变量的过程。利用前期若干时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻随机变量的线性回归模型。它是时间序列中的一种常见形式首先介绍了本文所用到的算法本文介绍了一些相关的基本原理和基本概念。拟合是已知点列，从整体上靠近它们。拟合过程中首先判断自回归模型AR的阶数。使用最小二乘估计，估计模型的参数。对拟合模型进行检验。完成AR模型的拟合。最后又举出算法实例，进行MATLAB仿真实验。AbstractThis paper describes the AR model fitt

2、ing process. AR model (Autoregressive Model) that is, since the regression model, is the process of doing their own return variable. Some take advantage of the early moments of a linear combination of random variables to describe the linear regression model after a certain time of random variables.

3、It is a time series introduces a common form used in this article algorithm introduces some related basic principles and concepts. Fitting is a known point column near them whole. Fitting process is first determined from the order of the regression model of AR. Using a least squares estimation, para

4、meter estimation model. Fitting the model to be tested. Complete fitting AR Model. Examples include algorithms and finally carried MATLAB simulation.目 录一、 AR模型简介二、 拟合原理三、 模型拟合实现四、 实例分析心得体会参考文献一、AR模型简介1.1 AR模型定义模型定义：设xt,t=0,1,2,为时间序列，白噪声序列为t,t=0,1,2, ，且对任意的 st，E(xst)=0,则称满足以下等式：的时间序列为p阶自回归（Autoregres

5、sion）序列,上式为p阶自回归模型，记作 AR(p)。自回归模型是统计上一种处理时间序列的方法，用同一变量例如x的之前各期，亦即x_1至x_t-1来预测本期x_t的表现，并假设它们为一线性关系。因为这是从回归分析中的线性回归发展而来，只是不用x预测y，而是用x预测x（自己）；公式也可如下表示：自回归模型（Autoregressive Model）是用自身做回归变量的过程，即利用前期若干时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻随机变量的线性回归模型，它是时间序列中的一种常见形式。已知N个数据，可由模型推出第N点前面或后面的数据（设推出P点），所以其本质类似于插值，其目的都是为了增加有效数据，只

6、是AR模型是由N点递推，而插值是由两点（或少数几点）去推导多点，所以AR模型要比插值方法效果更好。自回归模型描述了数据序列内部的递推的线性回归关系。1.2 参数计算常用方法简述AR模型可以写做Yule-Walker方程形式，利用Levesion-Durbin算法求解，Levesion-Durbin算法是一种地推算法，其思路是利用Toplitz矩阵或Hermitian矩阵的特性，当已知p-1阶模型参数时，用一组地推关系求解p阶模型参数，避开了矩阵求逆运算。同时，可以根据估计误差，简单地确定模型阶次P。此自相关算法先要求解自相关函数，然后求解模型参数。AR模型的Yule-Walker方程和理想的W

7、iener-Hopf方程具有等价性，AR模型白噪声输入方差和最优前向线性预测的最小方均误差等效。p阶AR模型和p阶最优强项香型预测模型等价。Burg算法，是利用前后向线性预测方均误差之和最小，直接由有数据Xn（n）递推求解，计算比较简单，可以在随机信号是标准AR过程时，得到精确的功率谱估计，但对淹没在白噪声中的正弦随机序列可能出现谱线分裂现象。修正的协方差法，使用快速递归算法，在计算过程中，与Burg算法最大的区别是，再令前后向线性预测方均误差之和最小，不仅令其相对am（m）=k(m)为最小，而是另其相对am（1）、am（2）、.、am（m）为最小。该方法可以说是目前功率谱估计的效果最好，但是

8、计算繁琐，编程实现较为困难二、拟合原理所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值f1,f2,fn，通过调整该函数中若干待定系数f(1, 2,n)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。一组观测结果的数字统计与相应数值组的吻合。形象的说,拟合就是把平面上一系列的点，用一条光滑的曲线连接起来。因为这条曲线有无数种可能，从而有各种拟合方法。拟合的曲线一般可以用函数表示，根据这个函数的不同有不同的拟合名字。在MATLAB中可以用polyfit 来拟合多项

9、式。拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。3、 模型拟合实现若时间序列 是平稳AR序列，根据此序列的一段有限样本值 对 的模型进行统计，称为自回归模型拟合。自回归模型拟合主要包括：(1) 判断自回归模型AR的阶数；(2) 估计模型的参数；(3) 对拟合模型进行检验。1、AR(p)模型的参数估计目的：为观测数据建立AR(p)模型 (1.1) 假定自回归阶数p已知，考虑回归系数 和零均值白噪声 的方差 的估计。数据 的预处理：如果样本均值

10、不为零，需将它们中心化，即将它们都同时减去其样本均值 ，再对序列按(1.1)式的拟合方法进行拟合。对于AR(p)模型，自回归系数 由AR(p)序列的自协方差函数 通过Yule-Walker方程 唯一决定，白噪声方差 由 决定。实际应用中，对于较大的p,为了加快计算速度可采用如下的Levison递推方法递推最后得到矩估计上式是由求偏相关函数的公式：导出。2、AR(p)模型参数的最小二乘估计如果 是自回归系数 的估计，白噪声 的估计计定义为通常 为残差。我们把能使 达到极小值的 称为 的最小二乘估计。相应地，白噪声方差 的最小二乘估计 式中 为 的p个分量。3、 AR(p)模型的定阶偏相关函数的分

11、析方法：一个平稳序列是AR(p)序列当且仅当它的偏相关函数是p步截尾的。如果 p步截尾：当 时， ；而 ，就以 作为p的估计。4、拟合模型的检验现有数据 ，欲判断它们是否符合以下模型 式中 被假定为独立序列,且 ， 与 独立。原假设 ：数据 符合AR(p)。故在 成立时，下列序列为独立序列 的一段样本值序列。步骤如下：1） 首先，根据公式计算出残差的样本自相关函数，2） 利用上一章关于独立序列的判别方法，判断 是否为独立序列的样本值3） 根据判断结果，如果接受它们为独立序列的样本值，则接受原假设，即接受 符合AR(p),否则，应当考虑采用新的模型拟合原始数据序列。四、 实例分析1、下表为某地历

12、年税收数据（单位亿元）。使用AR（p）预测税收收入，为年度税收计划和财政预算提供更加有效、科学的依据。年份1234567税收15.215.918.722.426.928.330.5年份891011121314税收33.840.450.75866.781.283.4注：因为税收具有一定的稳定性和增长性，且与前几年的税收具有一定的关联性，因此可以采用时间序列方法对税收的增长建立预测模型。2、下面为使用MATLAB 建立模型并求解过程clc, cleara=15.2 15.918.722.426.928.330.5 33.8 40.450.758 66.781.283.4;a=a; a=a(:);

13、a=a; %把原始数据按照时间顺序展开成一个行向量Rt=tiedrank(a) %求原始时间序列的秩n=length(a); t=1:n; Qs=1-6/(n*(n2-1)*sum(t-Rt).2) %计算Qs的值t=Qs*sqrt(n-2)/sqrt(1-Qs2) %计算T统计量的值t_0=tinv(0.975,n-2) %计算上alpha/2分位数e=1:13;b=diff(a) %求原始时间序列的一阶差分% plot(e,b,*);m=ar(b,2,ls) %利用最小二乘法估计模型的参数bhat=predict(m,b; 0,1) %1步预测，样本数据必须为列向量,要预测1个值，b后要加

14、1个任意数，1步预测数据使用到t-1步的数据ahat=a(1),a+bhat1 %求原始数据的预测值，并计算t=15的预测值delta=abs(ahat(1:end-1)-a)./a) %计算原始数据预测的相对误差plot(a,b);hold onplot(ahat,r);grid ontitle(历史数据-蓝色线；预测数据-红色线)3、模型评价由于本案例哄第t年税收的值与前若干年的值之间具有较高的相关性，所以采用了AR模型，在其他情况下，也可以采用MA模型或者ARMA模型等其他时间序列方法。另外，还可以考虑投资、生产、分配结构、税收政策等诸多因素对于税收收入的影响，采用多元时间序列分析方法建

15、模关系模型，从而改善税收预测模型，提高预测质量。4、优点与限制自回归方法的优点是所需资料不多，可用自身变量数列来进行预测。但是这种方法受到一定的限制：必须具有自相关，自相关系数（）是关键。如果自相关系数(R)小于0.5，则不宜采用，否则预测结果极不准确。自回归只能适用于预测与自身前期相关的经济现象，即受自身历史因素影响较大的经济现象，如矿的开采量，各种自然资源产量等；对于受社会因素影响较大的经济现象，不宜采用自回归，而应改采可纳入其他变量的向量自回归模型。心得体会这一段时间，查资料，看教程，学用Matlab软件，无形中了解到了很多东西，比如AR模型的计算，特性及其在matlab中对应的函数等，虽然在论文里没有体现出来，但毕竟是自己努力后的收获。整个过程学习数字信号处理，但鉴于学识能力有限，报告终究和“完美”还有一段距离，而这个过程自己真正付出并有深刻的体会，所以心情一样是很充实的。本设论文AR模型拟合，却很多欠缺考虑的地方，留下了一点遗憾，但我会尽快掌握相关知识，实现上述功能以弥补这个论文的一缺陷。此外，短短的一段时间内，我对Matlab这个软件产生了兴趣，很想把它搞透，也算这次课程设计的一个意外收获吧。这是远远胜于一个考试所能带来的。