近世代数答案

1、For personal use only in study and research; not for commercialuse膈1:证明：实数域R上全体n阶方阵的集合 Mn(R),关于矩 阵的加法构成一个交换群。膃证：(1)显然，Mn(R)为一个具有“ +”的代数系统。薃(2)矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。芈(3)矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。芈(4)零元是零矩阵。- A Mn(R),A+0=0+A=A。薄(5) - A Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。肁( Mn(R),+ )构成一个 Abel 群。芁2:证明：实数域 R上全体n阶可逆方阵的集

2、合 GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。莈证明：显然GLn(R)是个非空集合。对于任何的A,B GLn(R)，令C=AB,则C=|AB|=|A|B| 工 0,所以 C GLn(R)因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。对任意A GLn(R) ,AE=EA，所以E是单位元。蒈任意的 A GLn(R),由于I A 1工0, a的逆矩阵A*，满足AA，= A，A二E且 A的逆元是 A_1. 所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。莆3:证明：实数域R上全体n阶正交矩阵的集合 On(R)关于矩 阵的乘法构成群 .这个群称为 n 阶正交群 .膀证：(1)由于 E On (R),

3、T On (R)非空。螈(2 )任意 A,B On (R)，有(AB ) T=BtAt=B-1A-1=(AB) -1,薈 AB On(R),于是矩阵的乘法在 On(R)上构成代数运 算。螆(3) T矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。羂(4)对任意 A On (R)，有 AE=EA=A .袁 E为On (R)的单位元。蚈(5)对任意 A On (R)，存在 AT On (R),羃满足 AA T=E=AA -1, A TA=E=A -1A A为A在On (R)中的逆元On (R)关于矩阵的乘法构成一个群螈4：证明：所有行列式等于 1 的 n 阶整数矩阵组成的集合SLn(Z), 关于矩阵的乘法

4、构成群。莄证明： En SLn(Z) , SLn(Z)是个非空集合。肂对任意A,B SLn(Z),记C=AB,则C是整数矩阵，且 C= I AB I =1 A II B I =1, C SLn(R),即 SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。(2)荿矩阵乘法有结合律，.结合律成立。(4)螇对任意的 A SLn(Z) , AE=EA=A,且 E SLn9Z), A的单位元是单位矩阵 Eo(5)(6)螅对任意的 A SLn(Z),因为A Mn(Z),故a* Mn(Z),又 AAJ飞袄A A 一1，所以A丄 SLn(Z),又AA=AA = E ,故A的逆 元为a。所以,SLn (Z)关于矩阵乘法构成群。膈

5、5:在整数集中，规定运算“ ”如下：ab=a+b-2, - a,b乙 证明：(乙)构成群。袇证 (1)对于任意 a, bZ有ab=a+b-2 Z,于是“”在Z上构成代数运算节（2）膁羇芃（3）羄羀（ 4）元肇（5）蚄对于任意 a, b Z有，（ab）c=a+b+c-4 .a （b c）=a （b+c-2）=a+b+c-4 , （ab）c=a（bc）于是结合律成立.对于任意的 a, b Z , a b=a+b-2=b+a-2=b a,那么“”在 Z 上有交换律。对于任意的 a Z, 有2a=2+a-2=a, 2为单位对于任意的 a Z， 有4-a 乙（4-a） a=4-a+a-2=2， 4-a

6、为 a 的逆元。蒁（乙）构成群。蝿6:分别写出下列各群的乘法表腿（1 ）例6中的群；肅膃1螁1芇i蒅i薁1薀1莇-1祎i莃-i艿-1莇-1肃1螁-i肇i蒆i蒄1蒃-i肁-1薆1袅-i羁i袀i蚆1芆-1蚃群Z7* ；虿螆1蚇2膀3蚂4祎5螃6袂1蒀1祎2膄3薄4腿5羆6薅2肂2羈4薇6蒈1膆3蒃5蚇3薅3蚄6节2螇5羆1莆4肁4肁4莇1袃5肄2賺6螈3薅5袂5芁3膈1羃6薁4莁2莅6螅6莀5蒁4螆3膃2莃1蒀群U(18).1571113171157111317557171111377171351111111151317713131111775171713117517:设G=a aR,aHO :。

7、证明：G关于矩阵的乘法构成群2 a丿J证：记勺a =aI,a a丿(1) G 非空，1 1 G11 1丿(2) - al,bl G,贝 a,b R,a,b = O,. 2ab = 0,albl=2abl G(3) -a,b,c R,且 a,b,c=O,有( albl)cl=2ablcl=4abcl=al2bcl=al(blcl),结合律成立。(4) 单位元为 |l G. va R,a式O,al(* l)= 1 lal=al。(5) - al G,则 丄 I Go al(丄 1)=(丄 l)al=l。4a 4a 4a2( G,?)为群。8证明：所有形如2m3n的有理数(m, n Z)的集合关于数

8、 的乘法构成群。证明：记 G= 2m3n| m, n Z(1) G是一个非空集合；(2 ) y 2皿13砒 2 “23*2 G 有 2 m13n *2 m23n2 = 2皿1钿234112 匚 G 是G上的一个代数运算；(3) 结合律，交换律均成立(数的乘法满足结合律和交换律);(4) 1是单位元。仁 230 G,(5) - 2m3G，有 23G,且 23 2m3n=1 ；G关于数的乘法构成群1 a b9:证明：所有形如oic的3*3实矩阵关于矩阵的乘法构0 b成一个群。这个群以诺贝尔物理学奖获得者海森伯(Heisenberg)的名字命名，称为海森伯群(Heisenberggroup )。证：

9、(1)显然非空(2)保持代数运算:1a1b1 丫1a201c1 01001丿001(1a3 (a2a1)1(a3 a2) a1(b3 a2c3 b2)(c2c3)a1 b1(c3 c2) c101 丿01c15(4)单位元为0L01010广10广100 01丿001丿00 1丿卫01丿01ab1-aac -b、(5)V01cG,301c00b” . G是交换群。.对于任意的a, b G，有ab=ba那么(ab)2=(ab)(ab)=a(ab)b=a2b2“ ba=ab,(消去律) G为交换群。14:设G是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明：如果G满足结合律，有左单位元，且右消去律成立，则G是

10、一个群.证G是具有乘法运算的非空有限集合，设 G= a i ,a2、,aJ ,对于任意的 a G,Ga=a1a,a2a,、ana=G .且G满足结合律，有左单位元.存在 aia=e G,即ai为a的左逆元.于是G是一个群。15证明：一个具有乘法运算的非空集合G,如果满足结合律，有右单位元（即有eG,使对任意的aG,有ae= a ）,且G 中的每个兀素有右逆兀 （即对每个a G，有a G，使aa= e ）, 则G构成群。证明：（必要性）由群的定义，这是显然的。（充分性）只需证：e是G的单位元，a是a的逆元即可。设aG,由条件知，存在aG,使Iaa = e。同时又存在a G,使I na a = e

11、。于是IIIiniinini wa a= a ae= a a（a a ） = a （aa ）a = a ea = a a = e ,且ea = aa a = a(a a) = ae = a。联系题设条件知，e是G的单位元，a是a的逆元。-G为群。16:设G是有限群。证明：G中使x3=e的元素x的个数是奇数.证： G 是有限群，A= x G| x3=e . e G 且 e3=e , e A .又 对于任意的x A , x工e,存在x-1 A ,满足(x-1) 3= (x2) 3=x6= (x3) 2=e2=e。 A中的元素个数是奇数。17:设p,q是不同的素数。假设 H是整数集的真子集，且 H

12、关于加法是群，H恰好包含集合p,p+q,pq,p q,qP中的三个元 素。试确定以下各组元中哪一组是H中的这三个元素？(A) pq,pq,qp;(B) p,p+q,pq: (C) p,pq,pq:(D) p+q,pq,pq:(E) p,pq,qp.解: ( C)。( A) (pq,qp)=1,p(mp q+nqp)=p H,矛盾。(B)(p,p+q)=1,q H,矛盾。(C)全为p的倍数，不能生成 q的倍 数，故也没有 p+q。( D) q(p+q)-pq=q2 H,( pq,q2)=1,=p,q H,矛盾。(E) (pq,qp)=1, mpq+nqp=1,(p+q)( mp q+nqp )=

13、p+q H, 矛盾。)18:假设下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元。eabcdeeabcdaabcdebbcdeaccdeabddeabc仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des

14、fins personnelles; pas fins commerciales.t ojie k og 员刃ji rog efi , KOTOpbie ucnoE3yroTCH g 员刃o6yqeHUE , uccjegoBaHufi u h e goj 冶hbi ucnojE3OB aTbca bKOMMepqeckux.以下无正文For personal use only in study and research; not for commercial use仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet w