轴对称最短距离问题专题

1、C6A5)()A/bCBB. 5A. 4D. 7dBC.丄 D. 5 B. 4A. 25 B. 30 C. 35 D. 40D . 80A. 50 B. 60 C. 70不得用于商业用途轴对称最短距离问题专题.选择题（共12小题）3. （ 2015?内江）如图，正方形 ABCD的面积为12 , ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD_内，在对角线 AC上有一点_P,使PD+PE最小，则这个最小值为（）A .: B . 2: C . 2叮几 D .扛4. （ 2015?遵义）如图，四边形 ABCD 中，/ C=50, / B= / D=90 , E、F 分别是 BC、DC 上的点，当 AEF

2、的周长最小时，/ EAF的度数为（）5. （ 2015?营口）如图，点 P是/ AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线 OA 和射线OB上的动点， PMN周长的最小值是 5cm，则/ AOB的度数是（ ）6. （ 2014?贵港）如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 AC=6 , BC=8 , AD 是/ BAC 的平分 线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，贝U PC+PQ的最小值是（）& （ 2014?鄂尔多斯）如图，在 Rt ABC 中，/ C=90 AC=6 , BC=8 , D 是 AB 上的动点, E是BC上的动点，贝U AE+DE的最小值为（）A . 3+

3、2吋心 B . 10 C. D .559. （ 2013?齐宁）如图，在直角坐标系中，点 A、B的坐标分别为（1, 4 ）和（3, 0）,点C 是y轴上的一个动点，且 A、B、C三点不在同一条直线上，当 ABC的周长最小时，点 C 的坐标是（）1. （ 2015?绥化）如图，在矩形 ABCD中，AB=10 , BC=5 .若点M、N分别是线段 AC , AB上的两个动点，则 BM+MN的最小值为（）A. 10 B. 8C. 5 二 D. 62. （ 2015?南宁）如图， AB是O O的直径，AB=8，点M在O O上，/ MAB=20 N是弧7. （ 2014?安顺）如图，MN是半径为1的O

4、O的直径，点 A在O O 上, 为劣弧AN的中点.P是直径MN上一动点，贝U PA+PB的最小值为（A.: B. 1C. 2 D. 2 :A . （ 0, 0） B . （0, 1） C . （ 0, 2） D . （ 0, 3）10 . （2013?鄂尔多斯）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）*5A .7屋亡:MN=1，则 PMN周长的最小值为（）/ AMN=30 点 BMN，使从（卫A/不平行5JV）I - D .MB的中点，P是直径AB上的一动点.若11. （2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，

5、Rt OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为（3, V3），点C的坐标为（丄，0）,点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC2的最小值为（）A . -：-： B .- - C . - D . 2 -2 2 2212. （2012?黔西南州）如图，抛物线 y x +bx - 2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A (- 1,0),点 M (m, 0)是x轴上的一个动点，当()A.丁 B.24C.D.2540414041二.填空题（共16小题）MC+MD的值最小时，m的值是13. （2015?武汉）如图，/ AOB=30 点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1 , ON=3

6、 , 点P、Q分别在边OB、OA上，贝U MP+PQ+QN的最小值是.14. （ 2015?鄂州）如图，/ AOB=30 点M、N分别是射线 OA、OB上的动点，OP平分/ AOB , 且OP=6，当 PMN的周长取最小值时，四边形 PMON的面积为.15. （2015?盘锦）如图，菱形 ABCD的边长为2,Z DAB=60 E为BC的中点，在对角线AC上存在一点 卩，使厶PBE的周长最小，贝U PBE的周长的最小值为 .16. （2015?攀枝花）如图，在边长为 2的等边 ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一 点，贝U BE+DE的最小值为.17. （2015?玉林）如图，已知正方形 A

7、BCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P, Q 分别是边BC , CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是.18. （2015?安顺）如图，正方形 ABCD的边长为4, E为BC上一点，BE=1 , F为AB上一 点，AF=2 , P为AC上一点，则 PF+PE的最小值为 .19. （2014?资阳）如图，在边长为 4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且 AE=3 , 点Q为对角线AC上的动点，贝U BEQ周长的最小值为 .20. （2014?东营）在O O中，AB是O O的直径，AB=8cm，工=i= H, M是AB上一动点，CM+D

8、M 的最小值是 cm.21. （2014?宿迁）如图，正方形 ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点 P在对角线BD上移动，则 PE+PC的最小值是 .22 . （2014?黑龙江）如图，菱形 ABCD中，对角线 AC=6 , BD=8 , M、N分别是BC、CD 的中点，P是线段BD上的一个动点，则 PM+PN的最小值是 .23. （2014?锦州）菱形 ABCD的边长为2，/ ABC=60 E是AD边中点，点 P是对角线BD上的动点，当 AP+PE的值最小时，PC的长是24. （2014?长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （2, 3）,点B （- 2, 1）,在x轴上存在点P

9、到A, B两点的距离之和最小，贝U P点的坐标是 .25. （2014?无锡）如图，菱形 ABCD中，/ A=60 AB=3 , O A、O B的半径分别为 2和1,P、E、F分别是边 CD、O A和O B上的动点，贝U PE+PF的最小值是26. （2014?青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=AD=2，/ BCD=60 对角线 AC平分/ BCD , E, F分别是底边 AD , BC的中点，连接 EF .点P是EF上的任意一点，连接 PA,PB，贝U PA+PB的最小值为27. （2014?莆田）如图，菱形 ABCD的边长为4,/ BAD=120 点E是AB的中点，点 F是AC上的一

10、动点，则 EF+BF的最小值是.28. （2013?莆田）如图，正方形 ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则 DQ+PQ的最小值为 .三.解答题（共2小题）29. （2014?齐齐哈尔）如图，已知抛物线的顶点为A （1, 4）,抛物线与y轴交于点B （0, 3）,与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点.（1 ）求此抛物线的解析式；（2 ）当PA+PB的值最小时，求点 P的坐标.30. （2013? 日照）问题背景：如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小， 我们可以作出点 B关于I的对称点B :连接AB与直线I交

11、于点C,则点C即为所求.（1）实践运用：如图（b）,已知，O O的直径CD为4,点A在O O 上,/ ACD=30 B为弧AD的中点， P为直径CD上一动点，则 BP+AP的最小值为 .（2）知识拓展：如图（C）,在Rt ABC中，AB=10 , / BAC=45 / BAC的平分线交 BC于点D , E、F分 别是线段AD和AB上的动点，求 BE+EF的最小值，并写出解答过程.轴对称最短距离问题专题参考答案与试题解析一 选择题（共12小题）1. （ 2015?绥化）如图，在矩形 ABCD中，AB=10 , BC=5 .若点M、N分别是线段 AC , AB上的两个动点，则 BM+MN的最小值为

12、（）A. 10 B. 8C. 5 : D. 6【考点】轴对称-最短路线问题.【分析】过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到 E点，过E作EF垂直AB交 AB于F点，EF就是所求的线段.【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到 E点，过E作EF垂直AB 交AB于F点，AC=5 ,_AC边上的高为2乙所以BE=4 ./ ABCEFB ,理一越即一也I-.,-:EF=8 . 故选B .【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形 的性质求得解.2. （ 2015?南宁）如图， AB是O O的直径，AB=8，点M在O O 上,/ MAB=20

13、N是弧 MB的中点，P是直径AB上的一动点.若 MN=1，则 PMN周长的最小值为（）A . 4 B. 5C. 6 D. 7【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理.【专题】压轴题.【分析】 作N关于AB的对称点N,连接MN NN ON, ON，由两点之间线段最短可 知MN 与AB的交点P即为 PMN周长的最小时的点，根据 N是弧MB的中点可知 / A= / NOB= / MON=20 故可得出/ MON =60故厶MON为等边三角形，由此可得出 结论.【解答】解：作N关于AB的对称点N,连接MN,NN ,ON ,ON . N关于AB的对称点N , MN与AB的交点P即为 PMN周长的最小时的

14、点， N是弧MB的中点，/ A= / NOB= / MON=20 / MON =60 MON为等边三角形， MN =OM=4 , PMN周长的最小值为 4+1=5 .故选：B.【点评】本题考查的是轴对称-最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.3. （ 2015?内江）如图，正方形 ABCD的面积为12 , ABE是等边三角形，点 E在正方形 ABCD_内，在对角线 AC上有一点_P,使PD+PE最小，则这个最小值为（）A .二 B. 2 二 C. 2 = D.【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.【

15、分析】 由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE 最小，而BE是等边 ABE的边，BE=AB ,由正方形ABCD的面积为12,可求出AB的长， 从而得出结果.【解答】 解：由题意，可得 BE与AC交于点P.点B与D关于AC对称， PD=PB, PD+PE=PB+PE=BE 最小.正方形ABCD的面积为12, AB=2 7.又 ABE是等边三角形， BE=AB=2 ；.故所求最小值为2；.故选B .【点评】此题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点 P的位置是解决问题的关键.4. （ 2015?遵义）如图，四边形 ABCD 中，/

16、C=50 / B= / D=90 E、F 分别是 BC、DC上的点，当 AEF的周长最小时，/ EAF的度数为（）A. 50 B. 60 C. 70 D. 80【考点】轴对称-最短路线问题.【专题】压轴题.【分析】据要使 AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作 出A关于BC和CD的对称点A , A ，即可得出/ AA E+/ A =/ HAA =50进而得出 / AEF+ / AFE=2 （/AA E+ / A ），即可得出答案.【解答】 解：作A关于BC和CD的对称点A： A,连接AA ”,交BC于E,交CD于F, 则A A 即为 AEF的周长最小值.作 DA延长线

17、AH ,/ C=50 / DAB=130 / HAA =50 / AA A+ / A / HAA =50 / EA A= / EAA ： / FAD= / A,/ EAA + / A AF=50 / EAF=130 - 50=80 故选：D.【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E, F的位置是解题关键.5. （ 2015?营口）如图，点 P是/ AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线 OA 和射线OB上的动点， PMN周长的最小值是 5cm，则/ AOB的度数是（）A. 25 B. 30

18、 C. 35 D. 40【考点】轴对称-最短路线问题.【专题】压轴题.【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD ,分别交OA、OB于点M、N , 连接 OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出 PM=CM , OP=OC ,Z COA= / POA ;PN=DN , OP=OD，/ DOB= / POB，得出/ AOB= / COD，证出 OCD 是等边三角形, 得出/ COD=60 即可得出结果.【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD,分别交 OA、OB于点M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，如图所示:点P关于OA的对称点为D，关于OB的对

19、称点为C, PM=DM , OP=OD，/ DOA= / POA ;点P关于OB的对称点为C, PN=CN , OP=OC ,Z COB= / POB , OC=OP=OD，/ AOB= / COD ,2/ PMN周长的最小值是 5cm, PM+PN+MN=5 , DM+CN+MN=5 ,即 CD=5=OP , OC=OD=CD ,即厶OCD是等边三角形，/ COD=60 / AOB=30 故选：B.【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.6. （ 2014?贵港）如图，在 Rt ABC 中，/ ACB

20、=90 , AC=6 , BC=8 , AD 是/ BAC 的平分 线.若P , Q分别是AD和AC上的动点，贝U PC+PQ的最小值是（）B. 4【考点】轴对称-最短路线问题.【分析】 过点C作CM丄AB交AB于点M，交AD于点P,过点P作PQ丄AC于点Q,由 AD是/ BAC的平分线.得出 PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即 CM的长度，运用勾股 定理求出AB，再运用Sabc= AB?CMAC?BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值.2 2【解答】 解：如图，过点 C作CM丄AB交AB于点M，交AD于点P,过点P作PQ丄AC 于点Q,/ AD是/ BAC的平分线. PQ=PM，这时P

21、C+PQ有最小值，即 CM的长度，/ AC=6 , BC=8，/ ACB=90 AB= 亠10.T S abc= AB?CM= AC?BC ,2 2 cm=二AB 105即PC+PQ的最小值为二.5故选：C.【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置.7. （ 2014?安顺）如图，MN是半径为1的O O的直径，点 A在O O上，/ AMN=30 点B 为劣弧AN的中点.P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A.: B. 1C. 2 D. 2 :【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理.【分析】作点B关于MN的对称点B,连接OA、

22、OB、OB、AB 根据轴对称确定最短路 线问题可得AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对 的圆心角等于圆周角的 2倍求出/ AON=60 然后求出/ BON=30 再根据对称性可得 / BON= / BON=30 然后求出/ AOB =90 从而判断出 AOB是等腰直角三角形，再根 据等腰直角三角形的性质可得AB =匚OA，即为PA+PB的最小值.【解答】 解：作点B关于MN的对称点B ，连接OA、OB、OB 、AB则AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB/ AMN=30 / AON=2 / AMN=2 X30=60 点B为劣弧A

23、N的中点， / BON=丄/ AON= 2 X50=30 2 2由对称性，/ B ON= / BON=30 / AOB = / AON+ / B ON=60 30 =90 AOB学等腰直角三角形， ab = V2oa2 x2 ,即PA+PB的最小值=：.故选：A.【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到 AOB是等腰直角三角形是解题的关键.& （ 2014?鄂尔多斯）如图，在 Rt ABC中，/ C=90 AC=6 , BC=8 , D是AB上的动点， E是BC上的动点，贝U AE+DE的最小值为（）A. 3+2-J11

24、B . 10 C. D .55【考点】轴对称-最短路线问题.【分析】作点A关于BC的对称点A,过点A作AD丄AB交BC、AB分别于点E、D,根 据轴对称确定最短路线问题，A D的长度即为AE+DE的最小值，利用勾股定理列式求出AB，再利用/ ABC的正弦列式计算即可得解.【解答】 解：如图，作点 A关于BC的对称点A ，过点A作A D丄AB交BC、AB分别于 点 E、D,则A D的长度即为 AE+DE的最小值，AA =2AC=2 6=12 ,/ ACB=90 BC=8 , AC=6 , aB= ： ： 乜二_ 二=10， sin / BAC=厶=,AB 10 5 A D=AA ?sin/ BA

25、C=125 5即AE+DE的最小值是二.5故选D .【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，主要利用了勾股定理，垂线段最短，锐角三角函数的定义，难点在于确定出点D、E的位置.9. （ 2013?齐宁）如图，在直角坐标系中，点 A、B的坐标分别为（1, 4 ）和（3, 0）,点C 是y轴上的一个动点，且 A、B、C三点不在同一条直线上，当 ABC的周长最小时，点 C 的坐标是（）A. （0, 0） B. （0, 1） C. （ 0, 2） D. （0, 3）【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.【分析】根据轴对称作最短路线得出 AE=B E,进而得出B O=C O,即可得出 ABC

26、的周长 最小时C点坐标.【解答】 解：作B点关于y轴对称点B点，连接AB ，交y轴于点C 此时 ABC的周长最小，点A、B的坐标分别为（1 , 4）和（3, 0）, B 点坐标为：（-3, 0） , AE=4 ,则 B E=4，即 B E=AE ,/ C O / AE , B O=C O=3,点C的坐标是（0, 3）,此时 ABC的周长最小.故选：D.【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键.A.MN，使从）10. （2013?鄂尔多斯）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥

27、要与河岸垂直）：C.【考点】轴对称-最短路线问题.【分析】过A作河的垂线AH，要使最短，MN丄直线a, AI=MN，连接BI即可得出N,作 出AM、MN、BN即可.【解答】 解：根据垂线段最短，得出 MN是河的宽时，MN最短，即MN丄直线a （或直线 b）,只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在AH上取点I，使AI等于河宽.连结IB交河的 b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求.故选D .【点评】本题考查了最短路线问题，垂线段最短，三角形的三边关系定理的应用，关键是如何找出M、N点的位置.11. （2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt

28、OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为（3，忑）点C的坐标为（g, 0）,点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC2的最小值为（）A .二 B .二 C .二 D . 2 匸2 2 2【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.【专题】压轴题.【分析】作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN丄OA于N , 则此时PA+PC的值最小，求出 AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出 CD，即 可得出答案.【解答】 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN丄OA 于N ,则此时PA+PC的值最小，/ DP=PA, PA+PC=PD

29、+PC=CD ,B （3,_ 二），_ AB= ，OA=3，/ B=60 由勾股定理得： OB=2 乙由三角形面积公式得：一 OA AB= OB AM ,2 23 AM=,23 AD=2 =3 ,/ AMB=90 / B=60 / BAM=30 / BAO=90 / OAM=60 / DN 丄 OA ,/ NDA=30 AN= AD=:，由勾股定理得:2 2-C ( , 0),2 CN=3 -=1 ,2 2在Rt DNC中，由勾股定理得:即PA+PC的最小值是亠-，2故选：B.230度角-212. (2012?黔西南州)如图，抛物线 y= x +bx - 2与x轴交于A、B两点，与y交于C点,

30、是x轴上的一个动点，当 MC+MD的值最小时，m的值是且A (-( )251,0),点 M (m.0)A.40【考点】【专题】【分析】2423C. -II254141轴对称-最短路线问题；二次函数的性质； 压轴题.首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得相似三角形的判定与性质.的解析式，与x轴的交点的横坐标即是 m的值，点 A (- 1, 0)在抛物线 y x+bx - 2 上,【解答】解:C关于x轴的对称点C,求得直线CD 再利用相似三角形的判定和性质求解即可.2 7(-1)2+bx (- 1)- 2=0 , b=-：，抛物线的解析式为y= x2- x- 2,2 2【点评】 本题考查了三角形的内

31、角和定理，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含 的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中.顶点D的坐标为(；，-二)，2 8作出点C关于x轴的对称点C,则C (0, 2), OC=2 连接CD交x轴于点M ,根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小.设抛物线的对称轴交 x轴于点E./ ED / y 轴，/ OC M= / EDM，/ C 0M= / DEM COMs DEM . N=：即一=,325_ IT 2S m=.41故选B .【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相

32、似三角形.二.填空题（共16小题）13. （2015?武汉）如图，/ AOB=30 点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1 , ON=3 , 点P、Q分别在边 OB、OA上，贝U MP+PQ+QN的最小值是_ 一i_ .【考点】轴对称-最短路线问题.【专题】压轴题.【分析】作M关于OB的对称点M 作N关于OA的对称点N 连接M N 即为MP+PQ+QN 的最小值.【解答】解：作M关于OB的对称点M ，作N关于OA的对称点N N连接MN 即为 MP+PQ+QN的最小值.根据轴对称的定义可知：/ NNQ= / M OB=30 / ONN=60 ONN为等边三角形， OMM 为等边三角形

33、，/ N OM =90在 Rt M ON 中,M N =-=I.故答案为不.【点评】本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键.14. （ 2015?鄂州）如图，/ AOB=30 点M、N分别是射线 OA、OB上的动点，OP平分/ AOB ,且OP=6，当 PMN的周长取最小值时，四边形 PMON的面积为 _“ - 54.【考点】轴对称-最短路线问题.【专题】压轴题.【分析】设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时， PMN的周长最小，此时 COD是等边三角形，求得三角形 PMN和厶COD的面积，根据 四边形PMO

34、N的面积为：二（Scod+Spmn ）求得即可.【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、 N，连接 OC、OD、PC、PD .点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D, PM=CM , OP=OC ,Z COA= / POA ;点P关于OB的对称点为D, PN=DN , OP=OD，/ DOB= / POB ,0C=0D=0P=6 ,/ COD= / COA+ / POA+ / POB+ / D0B=2 / P0A+2 / P0B=2 / AOB=60 :. COD是等边三角形， CD=OC=OD=6 . OP 丄 CD , OQ=6 x =

35、3 7,2 PQ=6 - 3;,设 MQ=x，贝U PM=CM=3 - x, （ 3-x）2- x2=（6 -3 二）2,解得 x=6 二-9,二 Spmn=MN PQ=MQ?PQ=2（6；- 9） ? （6 - 3 ；） =63 : - 108,Tcod= X3T.:X5=9甘.：，Sacom=Sapom, sdon=S pon，2四边形 PMON 的面积为： ( Sa cod+Sa pmN ) = x( 72- 108) =36 二-54.2 一 一 2故答案为36 _-54.【点评】此题主要考查轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键.15. (2015?盘锦)如图，菱

36、形 ABCD的边长为2,Z DAB=60 , E为BC的中点，在对角线 AC上存在一点 卩，使厶PBE的周长最小，贝U PBE的周长的最小值为；+1.【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质.【分析】 连接BD，与AC的交点即为使 PBE的周长最小的点 P;由菱形的性质得出 / BPC=90 由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE,证明 PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果.【解答】解：连结DE . BE的长度固定，要使 PBE的周长最小只需要 PB+PE的长度最小即可，四边形ABCD是菱形， AC与BD互相垂直平分， PD=PB, PB+PE的最小长度为 DE的长，

37、菱形ABCD的边长为2, E为BC的中点，/ DAB=60 BCD是等边三角形，又菱形ABCD的边长为2, BD=2 , BE=1 , DE=二， PBE 的最小周长=DE+BE= ；+1 ,故答案为：+1.【点评】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质； 熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.16. (2015?攀枝花)如图，在边长为 2的等边 ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一 点，则BE+DE的最小值为_.【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质.【分析】作B关于AC的对称点B 连接BB 、B D，交AC于E,此时BE+ED=

38、B E+ED=B D , 根据两点之间线段最短可知B D就是BE+ED的最小值，故 E即为所求的点.【解答】解：作B关于AC的对称点B 连接BB 、B D，交AC于E,此时BE+ED=B E+ED=B D , 根据两点之间线段最短可知B D就是BE+ED的最小值， B、B关于AC的对称， AC、BB互相垂直平分，四边形ABCB是平行四边形，三角形ABC是边长为2,/ D为BC的中点， AD 丄BC, AD= 7, BD=CD=1 , BB =2AD=2 7,作B G丄BC的延长线于G, B g=ad= 7,在 Rt B BG 中，BG=J甘厂十=3, DG=BG - BD=3- 1=2,在 R

39、t B DG 中，BD=故BE+ED的最小值为 .故答案为：.【点评】本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、 勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中.17. （2015?玉林）如图，已知正方形 ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P, Q 分别是边BC , CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形 AEPQ的面积是 3.【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.【专题】 计算题；压轴题.【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E ，再确定点A关于DC的对称点A :连接A E即可得出P, Q的位置；再根据

40、相似得出相应的线段长从而可求得四边 形AEPQ的面积.【解答】解：如图1所示作E关于BC的对称点E,点A关于DC的对称点A 连接A E ；四边形AEPQ的周长最 小，/ AD=A D=3 , BE=BE =1 , AA =6, AE =4./ DQ / AE D 是 AA 的中点， DQ是厶AA E 的中位线， DQ= _AE =2 ; CQ=DC - CQ=3 - 2=1 ,2/ BP / AA , BE Ps AE A UF = .： F ，即 22=_, BP=,CP=BC - BP=3 - J=_!,AAy AE; 6 422 2S 四边形 AEPQ=S 正方形 abcd Sadq S

41、 pcq- sbep=9 AD?DQ 丄CQ?CP BE?BP2 2 2=9-丄 X3 2 - XI x - X1X = 2 2 2 2 2 2故答案为：2【点评】本题考查了轴对称，利用轴对称确定A、E，连接AE得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法.18. （2015?安顺）如图，正方形 ABCD的边长为4, E为BC上一点，BE=1 , F为AB上一 点，AF=2 , P为AC上一点，则 PF+PE的最小值为【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.【专题】压轴题.【分析】作E关于直线AC的对称点E,连接E F,则E F即为所求，过F作F

42、G丄CD于G , 在Rt E FG中，利用勾股定理即可求出E F的长.【解答】 解：作E关于直线AC的对称点E ，连接E F,则E F即为所求，过F作FG丄CD于G,在 Rt E FG 中，GE =CD - BE - BF=4 - 1 - 2=1 , GF=4 ,所以E F=：八 故答案为：叮厂.【点评】 本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键.19. （2014?资阳）如图，在边长为 4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且 AE=3 , 点Q为对角线AC上的动点，贝U BEQ周长的最小值为6 .【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.【专题】计算题.【分析】

43、 连接BD , DE，根据正方形的性质可知点 B与点D关于直线AC对称，故DE的 长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论.【解答】解：连接BD , DE ,四边形ABCD是正方形，点B与点D关于直线AC对称， DE的长即为BQ+QE的最小值， DE=BQ+QE=匚：叶 -=._ _=5， BEQ 周长的最小值=DE+BE=5+1=6 .故答案为：6.【点评】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键.20. （2014?东营）在O O 中，AB 是O O 的直径，AB=8cm，.:=，丨,M 是 AB 上一动 点，CM+DM 的最小值是8 cm.【考点】轴对称-最短

44、路线问题；勾股定理；垂径定理.【分析】作点C关于AB的对称点C,连接CD与AB相交于点M,根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得 a：然后求出CD 为直径，从而得解.【解答】解：如图，作点 C关于AB的对称点C,连接C D与AB相交于点M,此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，八 ,.= |i= II, AB 为直径， C D为直径， CM+DM 的最小值是 8cm.故答案为：&【点评】 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键.21. （2014?宿迁）如图，正

45、方形 ABCD勺边长为2，点E为边BC的中点，点 P在对角线BD上移动，则 PE+PC的最小值是-_.【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.【专题】计算题.【分析】要求PE+PC的最小值，PE, PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE, PC的值，从而找出其最小值求解.【解答】解：如图，连接AE ,点C关于BD的对称点为点A , PE+PC=PE+AP ,根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，正方形ABCD的边长为2, E是BC边的中点， BE=1 , ae=.=,故答案为：.【点评】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.根据已知得出两点之间线段

46、最短可得 AE就是AP+PE的最小值是解题关键.22. （2014?黑龙江）如图，菱形 ABCD中，对角线 AC=6 , BD=8 , M、N分别是BC、CD 的中点，P是线段BD上的一个动点，则 PM+PN的最小值是 5 .【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质.【专题】几何图形问题.【分析】作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP，此时MP+NP的值 最小，连接 AC,求出CP、PB，根据勾股定理求出 BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得 出答案.【解答】解：作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP，此时MP+NP

47、 的值最小，连接AC ,四边形ABCD是菱形， AC 丄 BD，/ QBP= / MBP ,即Q在AB上，/ MQ 丄 BD , AC / MQ , M为BC中点， Q为AB中点， N为CD中点，四边形 ABCD是菱形， BQ / CD , BQ=CN ,四边形BQNC是平行四边形， NQ=BC ,四边形ABCD是菱形， CP=AC=3 , BP=BD=4 ,2 2在Rt BPC中，由勾股定理得： BC=5 ,即 NQ=5, MP+NP=QP+NP=QN=5 ,故答案为：5.【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质， 勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称

48、找出P的位置.23. （2014?锦州）菱形 ABCD的边长为2，/ ABC=60 , E是AD边中点，点 P是对角线BD上的动点，当 AP+PE的值最小时，PC的长是_.【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质.【专题】几何综合题.【分析】作点E关于直线BD的对称点E,连接AE,贝U线段AE的长即为AP+PE的最小 值，再由轴对称的性质可知 DE=DE =1，故可得出 AED是直角三角形，由菱形的性质可 知/ PDE=2/ ADC=30 根据锐角三角函数的定义求出PE的长，进而可得出 PC的长.2【解答】解：如图所示，作点E关于直线BD的对称点E,连接AE,则线段AE 的长即为AP+PE的最

49、小值，菱形ABCD的边长为2, E是AD边中点， DE=DE = AD=1 , AE D是直角三角形,/ ABC=60 / PDE=丄/ ADC=30 22並故答案为:2V3【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解V答此题的关键.24. （2014?长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （2, 3）,点B （- 2, 1）,在x轴 上存在点P到A, B两点的距离之和最小，贝U P点的坐标是（-1, 0）.【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.【专题】压轴题.【分析】 作A关于x轴的对称点C,连接BC交x轴于P,则此时AP+BP最小，求出C的

50、 坐标，设直线 BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出 k、b,得出直线BC的解 析式，求出直线与 x轴的交点坐标即可.【解答】 解：作A关于x轴的对称点C,连接BC交x轴于P,则此时AP+BP最小，IA点的坐标为（2, 3）, B点的坐标为（-2, 1）,-C （2, - 3）,设直线BC的解析式是：y=kx+b ,把B、C的坐标代入得:(-2k+b=l2k+b= - 3解得f=_1.b=- 1X.即直线BC的解析式是y= - x - 1,当 y=0 时，-x - 1=0 ,解得：x= - 1, P点的坐标是（-1, 0）.故答案为：（-1, 0）.【点评】本题考查了一次函数图象

51、上点的坐标特征,用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P点，题目具有一定的代表性，难度适中.25. （2014?无锡）如图，菱形 ABCD中，/ A=60 AB=3 , O A、O B的半径分别为 2和1,P、E、F分别是边 CD、O A和O B上的动点，贝U PE+PF的最小值是 3 .【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质.【专题】 几何图形问题；压轴题.【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可.【解答】 解：由题意可得出：当 P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF 最小，连

52、接BD ,菱形 ABCD 中，/ A=60 AB=AD，则 ABD是等边三角形， BD=AB=AD=3 ,VO A、O B的半径分别为2和1 , PE=1, DF=2, PE+PF的最小值是3.故答案为：3.【点评】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键.26. （2014?青岛）如图，在等腰梯形 ABCD中，AB=AD=2，/ BCD=60 对角线 AC平分 / BCD , E, F分别是底边 AD , BC的中点，连接 EF .点P是EF上的任意一点，连接 PA, PB，贝U PA+PB的最小值为【考点】轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质.【专题】 几何动点问题.【分析】要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化 PA、PB的值，从而找出 其最小值求解.【解答】 解：V E, F分别是底边AD , BC的中点，四边形 ABCD是等腰梯形， B点关于EF的对称点C点， AC即为PA+PB的最小值，V/ BCD=60 对角线 AC 平分/ BCD , / ABC=60 / BCA=30 / BAC=90 V AD=2 , PA+PB 的最小值=AB?tan60 7.故答案为