矩形的判定(8)

1、矩形的判定【教学目标】1、知识与技能理解并掌握矩形的判定方法。 使学生能运用矩形的定义、 判定等知识， 解决简单的证明题和 计算题，进一步培养学生的分析能力。2、过程与方法 通过证明性质定理的逆命题为真命题来证明判定定理。3、情感、态度与价值观 培养逆向思维的能力。重点与难点 1、重点：矩形的判定。2、难点：矩形的判定及性质的综合应用。学前分析判定定理都是以 “定义” 为基础推导出来的。 因此本节课要从复习矩形定义下手， 并指出由 平行四边形得到矩形只需添加一个独立条件。除了通过定义来判定一个四边形是矩形外， 在探究判定定理时要让学生沿着这样的思路进行 探究：先构造性质定理的逆命题，然后再去证

2、明逆命题的真假，如能证明逆命题为真命题， 那么这个逆命题就成了相应的判定定理。教学过程一、复习引入我们已经知道， 有一个角是直角的平行四边形是矩形， 这是矩形的定义， 我们可以依此判定 一个四边形是矩形。除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 教师提问：我们先来回忆矩形的定义与性质。学生回答后教师加以总结： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。矩形除了有平行四边形的所有性质外，还具有如下的性质：两条对角线相等且互相平分； 四个内角都是直角。教师讲解： 我们借鉴上一节的探究方法。 要判定一个四边形是矩形，可以从定义入手， 一方 面证明它是一个平行

3、四边形；另一方面证明这个四边形有一个角是直角。我们还可以像上节那样， 将矩形性质定理的条件与结论相交换， 形成一个逆命题， 然后证明 这个逆命题是真命题，从而得到一个判定定理。设计意图：通过复习前面学习的矩形的性质，引出本节要学习的内容.二、探究新知（一）判定定理 1 的探究与证明教师提问：矩形的第 1 条性质：“矩形的两条对角线相等且互相平分”的逆命题是什么？ 学生回答后教师加以总结： 上述性质定理的逆命题是： 两条对角线相等且互相平分的四边形 是矩形。学生动手测量 :数学书的对角线是否相等 通过实践，我们由此可以得到判定矩形的一种方法：对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线互相平分且相等的

4、四边形是矩形。结论的证明很简单。在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与对角线BD相等，我们可以证明四边形 ABCD是矩形。 教师讲解该题的证明过程并板书。教师讲解：这一判定方法在生活中有许多用处， 木工师傅在制作门框或其他矩形的物体时， 常用测量对角线的方法来检验产品是否符合要求。设计意图：让学生经历实验、验证的过程，发现对角线相等的平行四边形是矩形.并严格证明，让学生直观地得到只需证明两个三角形全等就可以得出结论（二）例题讲解教师提出问题 :O是矩形 ABCD的对角线 AC与BD的交点，E、F、G、H分别是 AO、BO、CO DO上的一点，且 AE= BF= CG= DH。求证：四边形EF

5、GH是矩形。教师分析解题思路： O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，二AO= BO= CO= DO。有 了这个结论，要证四边形 EFGH是矩形，很自然会想到利用刚讲过的矩形判定定理，即想办 法去证明HO = GO= FO= E0。再结合条件 AE= BF= CG= DH,问题即可得证。教师要求学生叙述证明过程，并同步纠正学生叙述的错误，同时板书设计意图：通过师生的分析、思考,培养学生的分析能力及逻辑推理能力。（三）判定定理 2 的探究与证明 教师通过提醒拓展学生的思路： 由矩形的另一条性质： “矩形的四个内角都是直角” ,它的逆 命题是什么？如果我们能证明这个命题是真命题,我们也就得到了

6、矩形的另一个判定定理。 实际上,由于四边形的内角和是 360,所以只要有 3 个角都是直角,则第四个角也一定是 直角。这样我们只要去证 “三个内角都是直角的四边形是矩形” 这个命题是真命题就可以了。 由此得到了判定矩形的又一种方法：有三个内角是直角的四边形是矩形。教师要求学生自己证明, 并向学生提示, 可以通过同旁内角互补两直线平行这个定理来证明 满足条件的四边形是平行四边形,然后再证矩形。学生证明后教师板书证明过程。已知：四边形 ABCD 中，/ A=Z B=Z C= 90 。求证：四边形 ABCD是矩形。证明：A =Z B= 90 ,/ A与/ B互补。 AD/ BCot/ B=/ C=

7、90,/ C与/ B互补。 AB/ DC四边形ABCD是平行四边形。又/ B= 90 ,四边形 ABCD是矩形。设计意图： 让学生经历猜想、探索、 验证的过程,发现有三个角是直角的四边形是矩形这一 判定方法 .（四）例题讲解（补充） 已知：的四个内角的平分线分别相交于点E、F、 G、H。求证：四边形EFGH是矩形。分析：要证四边形 EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，因此，可选用“三个角是 直角的四边形是矩形”来证明。证明：四边形 ABCD是平行四边形， AD/ BD。/ DAB+Z ABC= 180 。又AE平分Z DAB, BG平分Z ABC, Z EAB+Z ABG= X 180

8、= 90。 Z AFB= 90。同理可证Z AED=Z BGC=Z CHD= 90。四边形EFGH是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）设计意图：通过例题讲解,启发学生的思维,进一步熟练使用判定定理.三、随堂练习1 、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框 是否是矩形,他们各自做了如下检测,检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最有说服力的是（ ）A、甲量得窗框两组对边分别相等；B、乙量得窗框对角线相等；C、丙量得窗框的一组邻边相等；D、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等。2、已知：四边形 ABCD中，AB= CD,Z A+Z D= 180 , AC

9、 BD相交于点 O,A AOB是等 边三角形。求证：四边形 ABCD是矩形。参考答案：1. D2提示：因为Z A+Z D= 180，所以AB / CD,又AB= CD,所以四边形 ABCD是平行四边 形，所以OA=OC= AC OB=OD= BD,又因为 AOB是等边三角形，所以OA=OB,所以AC=BD, 所以四边形ABCD是矩形。四、课时总结 对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线互相平分且相等的四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。五、布置作业1.BD、BE分别是Z ABC与它的邻补角Z ABP的平分线， AE丄BE, AD丄BD, E、D为垂足。（1）求证：四边形 AEBD是矩形

10、；（2） 连结ED,若F、G分别为 AE、AD上的点，FG交AB于点H,且FG/ ED。求证： AHG 为等腰三角形。2在四边形 ABCD中，AD/ BC,/ B= 90, AD= 18cm ,BC= 21cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点 Q从C点开始沿CB 边以2cm/秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点 也随之停止运动，设运动的时间为t秒，t为何值时四边形 ABQP为矩形？参考答案 :1. (1)提示：由已知条件可证：/ AEB=/ EBD=/ ADB=90,利用“有三个角是直角的四边形是 矩形”即可判定四边形 AEBD是矩形。(2)利用“矩形的对角线相等且互相平分”可证。2. 提示：要使四边形 ABQP为矩形，由已知条件/ B= 90,所以只需四边形 ABQP为平行四 边形，又AD / BC,所以只需 AP=BQ;即t=21 2t，解之得t=7.六、板书设计 黑板分为左、中、右三部分,中间与右边用于教师板书课本例题等,写满后擦