第三章-非惯性参考系-习题解答

1、3.1、一船蓬高4m ,在雨中航行时， 甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前 解：由题意设雨的绝对速度为 v，雨的相对速度为则有v v，vb它的雨蓬庶着蓬的垂直投影后 2m的甲板；但当停航时， 3m处。如果雨点的速率是 8 m/ s。求船航行的速率u v，船航行的速度为u，数据如图所示。在速度三角形ABC中，正弦定理:usin( )sin(vsinu sin(由图中数据知:cos22cos4，sin5coscossin32已知雨的绝对速率 代入前面数据可得:v 8m/ su (sin cos cos cossin )（2.5 5、52 3)m/ s 8m/ s 5 573.2、河的宽度为d，水的流

2、速与离开河岸的距离成正比。 流速为C,河中一小船内的人，以相对于水流恒定的速率 船的航行轨迹和抵达对岸的地点。岸边水的流速为0,河中心处水的 u，垂直于水流向岸边划去。求小解：建立如图坐标系o-xy，取小船的出发点为xo。x轴垂直于河岸，y轴平行于河岸因河流中心水流速度为 c，水的流速与离开河岸的距离成正比所以水流速度Vt为:河的左侧（0d）水流速率为：vt2河的右侧（d2d ）水流速率为：vt2cxd2c(d x) d由速度变换关系知:vvtuVt juiyurd_x小船位于河岸的左侧内（0 x0d2)：河岸河岸& u& vtxd积分有解得yc : x udt2c0_dcud小船位于河岸的右

3、侧内xdtx 2cdtx -冷ddx2xo，(0x,xo(dxd):dxy vtx)积分有t2C(d0 dx)dtx 2c , xdx xo ud（x0 d）2 ud所以小船的航行轨迹为：c 2y xudy勺（xud解得y(xx 2cxo2C(d d)2，谆x)-dtdxdxx,x d)c(d x)dxxo udc，（0dx,xo -)22 dd) (x d)，(刁 x,xopld)若小船位于河岸的左侧内(0 Xo d)，当抵达河的中心时有:2那么 yi c- Axo24u ud若小船位于河的中心（X。pl-），当抵达河岸时，x d,那么2y2cd4u所以小船位于河岸的左侧内(0plx02），

4、当抵达河岸时,yi若小船位于河岸的右侧内(2xo d），当抵达河岸时,d，那么ycd2ucud(x0 d)2若小船从河岸的左侧出发,3.3、一圆盘以匀角速度 恒定的相对速度u运动, 质点M的速度和加速度0，那么yur绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。 如图所示。已知该弦离盘心的距离为 （表示成质点M离弦中点的距离Xo一质点M沿圆盘上的弦，以b。求在以地面为参考系时， x的函数）。解:在圆盘上建立如图所示的随盘转动的直角坐标系Oxyz，地面为惯性系。则:Voruik (xi bj)(ub)i xjdt2 rxid Vmdt(2 uujr(u b)ixj或利用aM a aO2b)j& r r (rr

5、)r r2 V可直接求出。3.4、一飞机在赤道上空以速率1000km/h水平飞行，考虑到地球的自转效应，分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系，不随地球转动的坐标系)的速率：(i) 向北飞行(ii) 向西飞行(iii) 向东飞行。已知地球半径为6370km解：建立如图所示的直角坐标系 O xyz，使飞机位于r i5i则 k 7.29 10 5rad/s(k)飞机位于赤道上空以速率 1000km/ h水平飞行,则 v 1000km/h 2.78 1 02m/sr i 6.37 106m(i )rr rrvv vt(i)向北飞行，那么vvkv r2.782.78 1 02m/s(k)210 m/

6、s(k) 7.29464.37m/s( j)所以 v (2.78 102)2(464.37)2m/s541m/s(ii)向西飞行，那么v vj5610 rad /s(k) 6.37 10 m(i)2.782.78 102m/sd)102m/s(j) 7.29 10 5rad/s(k) 6.37 106m(i)464.37m/s(jj) 186m/s(*j)(iii)向东飞行，那么vvj3.5、2.782.78 102m/s(b102m/s(j) 7.29 10 5rad /s(k) 6.37 106m(i)464.37m/s(j)742m/s(j)契子，顶角为r，以匀加速度o沿水平方向加速运动

7、。质量为m的质点沿楔子的光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于楔子的加速度解：建立如图所示的直角坐标系附着在楔子上。在O xyz中的受力分析如图所示。则有:Fn j mg cos j ma0 sin j(1)mg sin i ma0 cos i maa及质点对楔子斜面的压力 F由 式可求得： FNj m(gcosa0 sin ) j所以质点对楔子斜面的压力FFnm(g cosa0 sin )j由式可求得：a （gsina0 cos)i3.6、一缆车，以大小为 a。，与地平线成角的匀加速度上升，缆车中一物体自离缆车地板高度h处自由下落。求此物体落至地板处的位置。解：建立如图所示的直角坐标系 O x

8、yz附着在缆车上取物体开始落的位置为原点。质点运动的平面为受力分析如图示。设质点自由下落到地板的时间为t ,则有:1 22（g a。sin ）t1+ 2a0 cos t2a。x方向:y方向:联立求得ha0 cos3.7、单摆摆长为开水平线上的固定点，即物体落到初始位置在地板的投影点后面a0si nl，悬挂点O在水平线上作简谐振动：x asinpt。ha0 cos处。g a。sin这里x是悬挂点离O的距离，如图，开始时摆锤铅直下垂，相对于O的速度为零。证明单摆此后的微小振动规律为2l#T5(sinpt kp sin kt)，式中k2解：以0点为极点，竖直向下为极轴，受力分析如图所示。因 x as

9、in pt，所以 & apcos pt， X&ap2sin pt当角度很小时,有sin，cos2sin 2 -2由牛顿第二定律,在横向有:mXcosmg sin2代入X，sincos 可得:2ap .+sin pt l0的通解为:1 A cos(gt ），式中A，为积分待定常数2a sin pt 0的特解为2lBeipt的虚部，代入有:222Bp2eiptg Beiptl聖eipt 0,解得：B -gapP2|故特解为ap + 石 sin pt g p丨0的通解为:所以險)63apg2ap . sin pt p lcos pt p l所以有:2ap / 、 (sin pt g p i0，丨&

10、0可得:p g sin3.8、一竖直放置的钢丝圆圈，半径为 r ,其上套有匀加速度a竖直向上运动，求小环相对于钢丝圈的速率ap2.g p i质量为m的光滑小环。今若钢丝圈以U和钢丝圈对小环的作用力大小Fn已知初始时刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角U U0解：以O点为极点，竖直向下为极轴，建立平面极坐标系。 受力分析如图，则有:径向：m(ga) cosFn mu2(1)横向：m(ga)si nmU&0 ,小环的相对速率初始条件:0时,U0对变形:m(g a)sinmU&du m一 dtd dum 一dt dd du m 一dt du dum r d分离变量:(g a)r s inudu

11、(ga)rcos C0 ,代入有:C 2U02 (g a)rcos 0所以u,U02 2 r(g a)(cos 0 cos )(负根舍去)代入(1)有 Fn m(g a)(3cos 2cos 0)2muNman2mue)diskdiskrmgmgNrraebNmgm2m)0即mNdt&er mr mer ,e2m ue2m ue2m ue2 ueN mg)2m eb uer m eb (2 Im 2rerma m(2 uem 2rer(r(r2mrmr(rmr(a) 地面惯性系(b) 圆盘非惯性系，讨论圆盘对人的作用力。解：受力分析如图示，左图为地面惯性系中人受力情况，右图为圆盘非惯性系中人受

12、力情况(a)地面惯性系中，由受力图示分析可知:由牛顿第二定律知:N mg 0，即 N mg&地面惯性系中建立极坐标系，取圆心为原点，初始时刻人走的半径为极轴，方向那么相对速度： V u u&，相对位移为：r圆盘对人的作用力为:所以圆盘对人的作用力为：N f(b)圆盘非惯性系中，受力分析如图所示，人匀速行走。所以有:0，即 N mg所以圆盘对人的作用力为:mgeb由于m,u, ,g都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟r有关。rrrer，角速度为：mgeb由于m,u, ,g都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟r有关。Nmanr3.9、一平放于光滑水平桌面上的圆盘，以恒定角速度绕固定的圆盘中心转动。有一

13、质量为m的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相对速率u向圆盘的边缘走动。试分别利用：r3.10、半径为r竖直放置的光滑圆环，绕通过其圆心的铅直轴以恒定的角速度转动。在此圆环上套有一质量为 m的小环，自/4处相对于圆环无初速地沿环下滑。问小环的位置为何值时，它的滑动将开始反向？这里是圆心与小环的连线跟转轴之间的夹角。解：以圆环为参考系。受力分析如图所示。小环受到重力，大圆环的支持力，科里奥利力rrFC 2mv 2m r &cos 和惯性离心力 Fj m ( r) m 2rsin 。在整个运动过程中只有重力mg和惯性离心力Fi做功。对小环由动能定理有：mgr(吕 cos )/4Fi1 2mv2即mgr(

14、彳cos )/4m2r2 sincos d1 mv2开始反向时,2即 一 cos22gcos204g解得：cos1 (1、222g .22r 2显然取cos2g2r，即arccos(r当时，小环开始反向运动。23.11、一内壁光滑的管子，管内有一质量为 m的质点，用一自然长度为r在水平面内绕通过其端点 O的的铅直轴，以恒定的角速度转动。l，劲度系数为k的弹簧和管子的端点 O相连,设初始时质点到 O的距离为x I且& 0。求质点在管中的运动方程及它对管壁的压力解：取O点为原点，建立附着在管子上的直角坐标系O xyz。rrr质点受到重力mg，管壁的压力Fn，弹簧的张力Ftk(x l)i，,亠 r

15、r rrr rrr 2 r科里奥利力FC 2mv 2m Xj和惯性离心力Fim ( r) m 2xi若假定质点偏离平衡位置向x轴正向移动，受力分析如图示，由牛顿第二定律知：rrFC mg N 0r r rFt Fi m&即 N m& FC mgk 2m x&r 2 r rk(x I )i m xi mxi化简：x&(km2)x 巴 0m)x0的通解为：为),A,为积分待定常数。Acos(k设 X& (m代入可得:X2kl)x 0的特解为mkl2mX2B，其中B为常数所以x& (k)x mkl0的通解为:XXiX2AcosC/ m2tklkm2代入初始条件,2k所以有&N mgksin(#.mt

16、 0时,0,1,2.，2tkl2lk m 22|Jk 口 2 sin2t， k m m cos# m V mklkm22m 3lmkm2sinV mk 2 r2tj因弹簧振子的圆频率，所以上式又可写成:2l2 22 22 r cos - 22t)2lN mgk 2ml sin22tjr3.12、质量为m的小环套在半径为r的光滑圆圈上，若圆圈在水平面内以匀角速度绕其圆(以小环相对周上的一点转动。试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程于圆圈绕圆心转过的角度为参量写出)。设圆圈对小环的作用力大小用Fn表示，并可略去小环的重力。解：由于略去了小环的重力，所以在选取圆圈为参考系中， 小环的

17、受力如图所示，小环受到圆圈的作用力 Fn&，A科里奥利力 FC 2mv r 2m ven2m r小环相对0点的惯性离心力 F mr (r r) m 2renr r 2 rO相对A点有向心加速度，小环的惯性力：FOmaO m reAO那么小环的运动学方程为：切向：FOsin() mr即險 2 sin0法向 Fn Fc FiFO cos( ) mr &，即FN2m r & m 2r m 2r cosmr &事实上，也可通过V Vo V r ；AO & ；Om，a dv甩求得。dt mr3.13、 一质量为m的质点，位于光滑的水平平台上，此平台以匀角速度绕通过平台上一 定点0的铅直轴转动。若质点受到

18、0点的吸引力F m 2r作用，这里r是质点相对于 0r点的径矢。试证明：质点在任何起始条件下，将绕0点以角速度作圆周轨道运动。证明：水平台以匀角速度 r绕通过平台上一定点 0的铅直轴转动。取水平平台为参考系。rrr2r水平平台光滑，质点受到重力mg、平台的支持力 Fn和0点的吸引力F m 以及惯性离心力F m 2r。rr r质点在竖直方向上没有离开水平平台，有：mg Fn 0,在水平方向F F 0r所以质点相对水平平台静止，故小球绕O点以角速度作圆周轨道运动。或者利用VF 0证明。3.14、 一抛物线形金属丝竖直放置，顶点向下，以匀角速率绕竖直轴转动。一质量为m的光滑小环套在金属丝上。 写出小

19、环在金属丝上滑动时的运动微分方程。已知金属丝构成的抛物线方程为x24ay，这里a为常数。解：如图，取顶点为原点，建立直角坐标系一r r在O xyz中，小环受到重力 mg mgj，r r rr科里奥利力FC 2mv2m vk，r r r r 2 r 惯性离心力FO m ( xi) m 2xi， 金属丝的作用力FnFNxr F%： Fk由牛顿第二定律可得：r r rx方向：FNxi FO mxi，即 Fnx m(y方向：F%j mgj my&，即m(gz方向：Fk 足 m&k 0，即 Fnz 2m v 2m&FNxF Ny又金属丝构成的抛物线方程为x2 4ay，求一阶导化简得：凹 x tgdx 2

20、a二阶导为：&1 2(&2x&)2a联立(1)、(2)、(4)可求得：FNx2x S&2x x&xFNyg & g 丄(&2 xx& 2a2a化简求得小环在金属丝上滑动时的运动微分方程：(1 右I& 右 x& (g 2)x 03.15、在北纬处，一质点以初速率 Vo竖直上抛，到达高度h时又落回地面。考虑地球的自转效应，不计空气的阻力，求质点落地位置与上抛点之间的距离；是偏东还是偏西？为什么解：取抛点为原点，建立直角坐标系O xyz附着在地面上。其中 Ox轴指向正南，Oy轴指向正东，Oz轴竖直向上。质点只受到重力，故质点的运动学方程为:2m &sinmy&2m (&sin&osmZ&mg 2m &cos质点初始时刻的运动状态为:0 时，x y z 0， & 0， &对(1)、(2)、(3)积分并代入初始条件得:2 ysin2 (xsin zcos )V gt 2 y cos57.292 10 ，忽略2项。把式代入(1)、式可得：X