电磁学第一章例题

1、四川师范大学教案电磁学物理与电子工程学院课程名称电磁学授课专业物理学班级11级课程编号07060420212、3班课程类型必修课校级公共课（）；基础或专业基础课（）；专业课（）选修课限选课（）；任选课（）授课方式课堂讲授（）；实践课（）考核方式考试（）；考查（）课程教学学时80学时学分5学分教材及主要参考书作者教材： 电磁学（第二版），高等教育出版社，2004年参考书：1电磁学（上、下册），人民教育出版社，1978。2新概念物理教程电磁学（第二版），高等教育出版社，2006。3物理学（电磁学），上海科学技术出版社，1979。4物理学（第二卷第一分册），科学出版社，1979。梁灿彬、秦光戎、梁竹

2、健原著，梁灿彬修订赵凯华、陈熙谋赵凯华等复旦大学、上海师范大学物理系编哈里德瑞斯尼克著，李仲卿译学时分配第一章 静电场的基本规律（15+2学时）第二章 有导体时的静电场（8+1学时）第三章 静电场中的电介质（8+1学时）第四章 恒定电流和电路（6+1学时）第五章 恒定电流的磁场（11+1学时）第六章 电磁感应与暂态过程（13+1学时）第七章 磁介质（7+1学时）第九章 时变电磁场和电磁波（4学时）物理与电子工程学院章节名称第一章静电场的基本规律教学目的及要求使学生了解电荷的基本性质，明确“点电荷”模型和库仑定律的适用条件，理解静电力的迭加原理，牢固掌握电场、电场强度矢量概念，掌握场强的迭加原理

3、和基本计算方法，理解高斯定理的物理意义，掌握高斯定理求场强的特定条件，掌握静电场的有势性及静电场的环路定理，掌握电势的迭加原理和电势的计算方法。教学重点与难点及处理方法重点：库仑定律、静电场的高斯定理和环路定理的内容、数学表达式，电场强度及电势的计算难点：对高斯定理和环路定理的证明、理解及应用处理方法：课堂讲授、课后讨论、课后做习题等方式相结合讨论、练习、作业习题：1.2.2；1.2.3； 1.3.8；1.3.9；1.4.5；1.4.8；1.4.9；1.4.10；1.5.2； 1.6.4；1.6.5；1.6.6教学内容第一节 电荷： 电荷及其基本性质第二节 库仑定律： “点电荷”模型，库仑定律

4、及其矢量形式，力的迭加原理第三节 静电场： 电场、电场强度概念，场强的迭加原理和基本计算方法第四节 高斯定理： 通量概念，高斯定理的内容、证明及物理意义，高斯定理求场强第五节 电场线： 电场线的定义及性质第六节 电势： 静电场的有势性及静电场的环路定理，电势的迭加原理和电势的计算方法，等势面注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。绪论一、研究对象及目的、手段电磁学是研究电磁现象的规律的科学。研究对象： 电磁现象（电磁场）目的： 通过对现象的研究，揭示电磁场的基本规律，揭示电磁场的本质。手段： 以实验定律为基础，导出电磁场的基本规律。在电磁学中，

5、有三大基本实验定律：库仑定律： 电荷激发电场的规律，是电磁学历史上第一个定量的规律，是整个电磁学的基础 （电荷电场）毕奥-萨伐尔定律： 电流元产生磁场的规律（电磁）法拉第电磁感应定律： 变化的磁场产生电场的规律（磁电）二、本书结构第一章 静电场的基本规律一、静电场相对于观察者（惯性系）为静止的电荷所产生的电场。二、描述电场的（两个重要）物理量都是空间位置的函数三、描述静电场基本性质的规律场强迭加原理： 说明场具有迭加性，几个电磁场可以同时占据同一个几何空间；高斯定理： 说明静电场是有源场，激发电场的电荷就是“源”；环路定理：说明静电场是有势场，静电场力作功与路径无关。 例（补充）：计算氢原子内

6、电子和原子核之间的静电作用力和万有引力，并比较两者大小。已知： 距离r=0.5291010米，电子质量m=9.111031千克，氢原子核质量M=1.671027千克，电子和原子核所带电量q1=q2=1.61019库仑，万有引力恒量G0 =6.671011牛顿米2/千克2。解：据库仑定律，电子和原子核间的静电力为：8牛顿万有引力： 1047牛顿比值1039可见在原子内，电子和原子核之间的静电力远比万有引力为大。在处理电子和原子核之间的相互作用时，常常只考虑静电力而忽略万有引力。例1： 书P910 例题1 自学例2（补充）：一对等量异号点电荷q，其间距离为（称为电偶极子），求两电荷延长线上一点P1

7、和中垂面上一点P2的场强。P1和P2到两电荷联线中点O的距离都是r。解：（1） 求P1点场强P1+qOx ()-qrP1点到q电荷的距离分别为r，所以q在P1点产生的场强分别为：由迭加原理得：（2） 求P2点的场强由对称性分析可知，q在P2点的场强大小一样，但方向不同，由迭加原理可得P2点的场强为： （y方向的效应互相抵消） yP2rxOl而 故 例3（补充） （习题1、3、7）：一均匀带电直线，长度为L，总电荷为q，线外一点P离开直线的垂直距离为a，P点和直线两端的连线与直线之间的夹角分别为1和2（如图），求P点的电场强度。 yPraxldlO解：此题中，产生电场的电荷是连续分布的。所以首先

8、把整个电荷分布划分为许多极小的电荷元dq，先求出每一电荷元dq在P点产生的场强，然后由迭加原理得总场强。由于是矢量，所以需选择适当的坐标系对进行分解，然后分别求出其分量Ex、Ey、Ez的值。取P点到直线的垂足O为坐标原点，取坐标轴如图。在带电直线上离原点O为l处，取长度元dl，dl上的电量为：。设P点离dl线元的距离为r，可知dq在P点处产生的场强的大小为：将沿x轴和y轴分解得：由图可知： 将上两式积分得：将场强写成矢量形式： 讨论： P点位于带电直线的中垂线上，则 （） （） 带电直线无限长，1=0，2=，则 （ ） 带电直线半无限长， 1=0，2=，则 （）在此两种情形下，总场强大小相等，

9、方向不同。例4（补充）： 计算均匀带电圆环轴线上任一给定点P处的场强。圆环半径为a，周长为L，圆环所带电荷为q，P点与环心的距离为x。 ydl(dq)rxxPaO解：在圆环上任取长度元，上所带的电荷为：设P点与dq的距离为r，dq在P点处产生的场强为，其大小为：各电荷元在P点产生的场强方向不同，但据对称性，各电荷元产生的场强在垂直于x轴方向上的分矢量互相抵消，所以P点的合场强是平行于x轴的那些分矢量的总和，所以总场强的大小为：由于给定点P与所有各电荷元的距离r及角有相同的值， 而 ，的方向垂直于带电圆环所组成的平面，背离圆环。当xa时，则有 这个结果与点电荷的场强关系式完全一致。这说明：带电体

10、是否被看成电荷，取决于场点的距离及带电体本来的线度。例5：书上P1214例题2： 自学。记住两点结果非常重要。 xPxOr记住：P14：同一带电圆盘，当场点很远时可被看作点电荷（这时场强 ）；当场点在盘心附近时则可被看作无限大平面（这时场强）。场强方向均垂直于带电圆盘所组成的平面背离圆盘。 四、用高斯定理求场强1、解题步骤（1）分析电场的对称性（2）根据电场不同的对称性，选取相应的适当的高斯面（高斯面是闭合曲面）要求：待求场强的场点，必须在高斯面上；高斯面必须是便于计算通量的规则的几何面。（3）分别计算通过高斯面的电通量和高斯面内的净电荷量，根据高斯定理列出方程，求出场强的大小。即由： 两边分

11、别求出再由此方程求出。2、举例例1（补充）：求均匀带正电的无限长细棒的电场分布，该棒上线电荷密度为。解：细棒无限长，其上任一点都可视为中点，图中取O点为中点，在O点上下的对称位置，取任一对等量的电荷元：，它们在P点产生的场强和大小相等，方向不同，合矢量的方向，必然垂直于棒而离开棒。整个棒上的电荷，可分为对O是一对对的对称电荷元，由迭加原理，P点的总场强也必然垂直于棒而离开棒。在距棒等远的点场强大小相等。也就是说在垂直于棒的任一切面上，以棒与切面的交点为圆心，同一圆周上场强大小相等，方向沿半径向外，呈辐射状分布，场强具有轴对称性（如图）。 rlr高斯面POdq2dq1根据场强具有轴对称性的特点，

12、选取与细棒同轴的半径为r的封闭圆柱面为高斯面，设柱面高l，通过高斯面的电通量为： 通过上下底面的电通量为零，在侧面上，与面法线方向的夹角，=1，而且侧面上的大小处处相等，故有：高斯面内的净电荷量为：根据高斯定理列方程：所以无限长细棒外任一点P的总场强： （和前面的结果一样）其方向垂直于棒而离开棒。式中r是任意的，且具有轴对称性，所以上式就是无限长带电细棒的电场在空间的分布。例2（书P19例1）：电荷以面密度均匀分布于一个无限大平面上，求其激发的场强。解：在场中取一点P，由电荷分布的对称性可知其与带电面垂直。从例1中无限长带电直线外场强的方向可以推断无限大带电平面外场强的方向垂直于平面；也可象书

13、上一样，用反证法证明无限大带电平面外的场强方向垂直于平面。场强方向确定好后，就可取高斯面。在平面外任取一点P（求P点场强），过P点作一个与带电面平行的小平面S1，以S1为底作一个与带电面垂直的柱体，其长度等于P点到带电面距离的两倍，如图。 PS1PS2根据高斯定理得： 写成矢量: = （为背离带电平面的单位矢）上式说明：无限大均匀带电平面的电场中，各点的场强与场点的位置无关，带电平面外任一点场强数值都相等，带电平面的两边各形成一个均匀电场。利用上述结果，容易得到：a、两个带等量同号电荷的无限大平行平面的场强分布：b、两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场分布：例3(补充)：求无限长均匀带电圆

14、柱面的电场。柱面半径R，电荷面密度。解：由于电荷分布的轴对称性，可以确定电场的分布也具有轴对称性，即离开圆柱面轴线等距离各点的场强大小相等，方向都垂直于圆柱面而向外。 RlSPr为求柱外任一点P的场强，过P点作与圆柱面同轴的高为，半径为r的封闭圆柱面为高斯面，圆柱面的侧面上各点电场强度大小相等，方向处处与曲面正交，所以通过圆柱面侧面的电通量为，通过圆柱面两底面的电通量为零，高斯面包围的电荷为，由高斯定理得：= 令表示圆柱面每单位长度上的电荷，则上式化为： （和前面例1无限长带电直线的结果一样）可见：无限长均匀带电圆柱面，对柱外各点的作用，正象其所带电荷全部集中在其轴线上的均匀线分布电荷一样。同

15、理可知，带电圆柱面内部的场强等于零。例4：求均匀带电球面内外的电场。 P21例2q例5：求均匀带电球体内外的电场。 P22例3结论：通过以上几个例题可以看出，用高斯定理求场强的关键，在于分析电场的对称性，也只有电场具有某种对称性，或者虽然是非对称的，但能用几个对称电场叠加而成，在这些情况下，才能用高斯定理求出场强；分析出电场的对称性后，应选取相应的封闭几何面作为高斯面，并且此封闭而必须通过待求场强的场点，必须是规则的便于计算通量的几何面；对于非对称电场，虽然不能用高斯定理求出场强，但定理仍然是成立的。 三、电势的计算求电势主要有两种方法：1、电势迭加法这种方法是以点电荷产生的场中的电势公式出发

16、，利用电势的迭加原理求解。（已知电荷分布，容易求出各个点电荷或电荷元在场点的电势的问题，用此方法较好）（1）点电荷电场中的电势求点电荷Q的电场中距Q为r处的P点的电势： PQ由电势的定义得：（已知q、，求V） = （已知，求V）选参考点：P0在无限远处，且令Vp0=0选路径：静电场力作功与路径无关，只与P和P0点的位置有关，所以选矢径直线为积分路径。所以点电荷Q产生的电场中电势的分布公式为（）：（r为以Q为球心的球半径）可见：当Q确定后，场中某点的电势只与场点的位置r有关。上式说明，在点电荷Q产生的电场中，以Q为球心，以r为半径的球面上各点电势是相等的。由电势的迭加原理可以求出点电荷系及任意带

17、电体产生的电场中各点的电势。（2）点电荷系的电场中的电势（电势迭加原理）（3）任意带电体产生的电场中的电势电势写成这三种形式，是由点电荷电场中的电势得到的，而点电荷电场中的电势是将参考点选在无限远处时得到的，所以电荷连续分布的上面三种情形，参考点也为。2、场强积分法（实际上就是利用电势的定义式求解） （容易求出的时候用此法求电势）但：选好参考点；在整个积分路径上，场强要已知，若各段上的分布函数不同，应分段积分。两种方法互相联系，视问题而定。有些题两种方法均可解。下面看例题。例1（补充）：求均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。圆环半径为R，所带电荷总量为q。电荷线密度为，参考点在无限远。 因参考点选在无限远处，所以用第1种方法求解。 dqxxPqRO解：在圆环上取一长为的电荷元，其所带电荷量为，电荷元在圆环轴线上P点产生的电势：整个带电圆环产生在P点的电势：由上式可知：当P点位于轴线上相当远处，即xR时，则有，和点电荷电场中的电势是一样的，即xR时，把整个带电圆环看成点电荷。当x=0时（待求点P位于环心），则有 （说明电势最高点在球心处）例2（书P32例1）：，有了上面例题的结果后，带电圆盘轴线上任一点的电势就好求了。PxxOr解：取宽度为dr的某一带电圆环，则，dq在轴线上任