本科毕业论文------浅议一元多次方程的解法

1、LUOYANG NORMAL UNIVERSITY2016 届 本科毕业论文浅议一元多次方程的解法院 （系） 名称数学科学学院专业名称信息与计算科学学生姓名学号指导教师完成时间2016.5洛阳师范学院本科毕业论文浅议一元多次方程的解法数学科学学院 信息与计算科学专业 学号:指导教师:摘要：一元二次方程作为数学地重要内容之一，其在初中代数中的地位不言而喻。随着数学内容学习地不断深入，我们会遇到高次方程。在整式方程中，未知数的最高次数超过 2，这种方程即称为高次方程。一元高次方程在代数方程中占有重要的地位，其中，一元三次方程和一元四次方程都有一般解法，但是比较复杂，且超过了初中的知识范围；一元高次

2、方程没有一般的解法，只能通过具体问题具体分析。在本文中,主要论述了一元三次方程和一元四次方程的几种一般解法，并探讨了几类特殊的高次方程的解法。Abstract: As one of the important contents of mathematics, the equation of one element and two times is very important in junior middle school algebra. With the continuous deepening of the study of mathematics content, we will en

3、counter higher equations. In the integral equation, the highest number of unknowns exceeds 2, this equation is called high-order equation. One yuan polynomial equations in algebraic equations occupies important position. Among them, a cubic equation and yuan a four equation have general solution, bu

4、t are more complex, and more than the knowledge of the range洛阳师范学院本科毕业论文of junior high school; yuan a high-order equation has no general solution, only through the concrete problem analysis. In this paper, we mainly discuss some general solutions of the first three equations and one element four equ

5、ation, and discuss the solution of some special equations of higher order.关键词：解方程、行列式、一元三次、四次方程；洛阳师范学院本科毕业论文1 三次方程根的情况: 1.1 三次方程的求根公式1.1.1 求解过程三次方程的一般形式为ax3 + bx 2 + cx + d = 0其求解过程为: 对(1)式除以 a,并设则(1)式可以化成如下形式,y 3 + py + q = 0其中p =c-b2, q =d+a3a 2a(a 0 )(1)x = y - 3ba .(2)2b3 - bc .27a33a 2(1),(2)式有

6、相同的根,因此求解方程(1)的根可转化为求解方程(2)的根.对于方程(2)的三个根有:y = 3 -q q 2p 3q q 2p3+ + 3 -+ 12 2 3 2 2 3 y2 = w2q q2p3q q2p 33 -+ w3 -+ 2223 23 y3 = w3 -q q2p32q q2p 3+ + w3 -+ 22 23 23 -1+ i- 1- i.其中w =3,w 2 =322再把 y, y2, y3带入 x = y -b解出 x , x2, x .12a13洛阳师范学院本科毕业论文例 1解方程2x3 - 3x2 + 2x + 2 = 0 .解对方程2x3 - 3x2 + 2x +

7、2 = 0 两边同除以 2,再设 x = y + 12 ,方程化为,y3 + 34 y + 54 = 0 , p = - 34 ,q = 54代人以上公式解得:y1 = -1, y2 = 12 + i , y3 = 12 - i因此解得：x1 = - 12 , x2 = 1+ i , x3 = 1- i1.1.2 根与系数的关系x + x2+ x = -b,1+1+1= -c, x x2x = -d13ax1x2x3a13a方程(2)的判别式为 q2p 3D = + 23当D 0时,方程有一个实根和两个复根;当 D = 0 时 , 方程有三个实根 ; p = q = 0 时 , 有一个三重零

8、q2p 3根;= - 0 时,三个实根中有两个相等;23 当D 0时,有三个不等的实根.洛阳师范学院本科毕业论文1.2 三次方程的行列式求法三次方程的一般形状是f (x) = x3 + bx2 + cx + d = 0 (其中b ,c ,d 是常数)设 x = y + h （其中h 是待定的常数）代入 f (x)中得到j(y) = f (y + h) = y3 + (3h + b)y2 + (3h2 + 2bh + c)y + f (h) = 0（3）选取h = - 13 b ,则（1）式可化简为j (y) = y3 + py + qp = c - 13 b2 ,q = 272 b3 - 13

9、 bc + d故不失一般性,令三次方程的一般形式是x3 + 3ux +u = 0 (其中u ,u 是常数）三次方程 x3 + 3ux +u = 0 (其中u ,u 是常数）的根的求法如下xbc构造三阶循环行列式cxb,因为bcx其中w 是三次单位根w3 ,两边都取行列式可得x b c111111x + b + c00cxb1ww2=1ww20x + bw + cw20,bcx1w2w41w2w400x + bw2 + cw4洛阳师范学院本科毕业论文由于111xbc1ww2= 1,cxb= x3 - 3bcx + b3 + c3 ,1w2w4bcx有x3 - 3bcx + b3 + c3 = (

10、x + b + c) (x + bw + cw2 ) (x + bw2 + cw4 ),则方程 x3 - 3bcx + b3 + c3 = 0 的三根为x1 = -b - c , x2 = -bw - cw2 , x3 = -bw2 - cw4 ,所以要求三次方程的根只用确定 b,c 的值即可例 2解方程 x3 + 3x -3= 02因为u = 1，u = -3,2所以p =1,q = -22x = -3- 3= 3-13;则pq2412x2 = -3 p w - 3 q w2 = 3 2 w2 - 12 3 4 w ;洛阳师范学院本科毕业论文x3 = -3 p w2 - 3 q w4 = 3

11、 2 w - 12 3 4 w2 .2.四次方程根的解法2.1 四次方程求根公式一般形式ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e = 0(a 0 )（4）给(4)式两边同除以 a,原方程可以转化成首项系数为 1 的四次方程;而方程x 4 + bx3 + cx 2 + dx + e = 0 的四个根与下面两个方程的四个根完全相同.x 2+ (b + 8y + b2 - 4c )x+ y +by - d= 022-8y + b4c x 2+ (b - 8y + b2 - 4c )x+ y -by - d= 022-8y + b4c 其中 y 是三次方程8y 3- 4cy 2 + (2b

12、d - 8e)y + e(4c - b2 )- d 2 = 0 的任一实根.在方程ax 4 + bx3 + cx 2 + bx + a = 0 中,设 y = x + 1x ,则原方程可化为二次方程,可解出四个根为 x=y y2 - 4,1,2,3,42其中y =- b b2- 4ac + 8a 22a若四次方程为ax 4 + cx 2 + e = 0 ,则设 y = x 2 ,原方程可化为二次方程洛阳师范学院本科毕业论文ay 2 + cy + e = 0,可解出四个根为 x= - c c 2 - 4ae.1,2,3,42a2.2 四次方程的行列式求法四次方程的一般形状是f (x) = x4

13、+ bx3 + cx2 + dx + f = 0 (其中b ,c ,d , f 是常数）设 x = y + h (其中h 是待定的常数)代入 f (x) 中得到j (y) = f (y + h) = y4 + (4h + b)y3 + (6h2 + 3bh + c)y2 + (4h3 + 3bh2 + 2ch + d )y + f (h) = 0选取h = - 14 b ,则式子可化简为j (y) = y4 + uy2 +uy + t 的形式故不失一般性,令四次方程的一般形状是x4 + ux2 +ux + t = 0 .（其中u ,u ,t 是常数）四次方程 x4 + ux2 +ux + t

14、= 0 （其中u ,u ,t 是常数）的根的求法如下xbcd先构造四阶循环行列式dxbc,因为cdxbbcdx洛阳师范学院本科毕业论文 x b c d 1 111 23d x b c 1www=c d x bw2w4w61b c d x 1 w3w6w91111231wwww2w4w611w3w6w9x + b + c + d0000x + bw + cw2 + dw30000x + bw2 + cw4 + dw60000x + bw3 + cw6 + dw9其中w 是四次单位根w4 = 1, 即: w = -i . 两边都取行列式可得 xbxddcbccd 111123b c 1www=xb

15、w2w4w61d x1 w3w6w91111ww231ww2w4w611w3w6w9x + b + c + d0000x + bw + cw2 + dw30000x + bw2 + cw4 + dw60000x + bw3 + cw6 + dw9洛阳师范学院本科毕业论文由于1111ww231w= 1,w2w4w611w3w6w9以及xbcddxbc=cdxbbcdxx4 - (2c2 + 4bd )x2 + 4c(b2 + d 2 )x + (c4 - b4 - d 4 - 4bdc2 + 2b2d 2 ),于是x4 - (2c2 + 4bd )x2 + 4c(b2 + d 2 )x + (c

16、4 - b4 - d 4 - 4bdc2 + 2b2d 2 )= (x + b + c + d ) (x + bw + cw2 + dw3 ) (x + bw2 + cw4 + dw6 ) (x + bw3 + cw6 + dw9 ), 则方程x 4 - (2c2 + 4bd )x2 + 4c(b2 + d 2 )x + (c4 - b4 - d 4 - 4bdc2 + 2b2d 2 ) = 0的 4 个根为x1 = -b - c - d ,x2 = -bw - cw2 - dw3 ,洛阳师范学院本科毕业论文x3 = -bw2 - cw4 - dw6 ,x4 = -bw3 - cw6 - dw

17、9 ;所以要求四次方程的根只用确定b ,c ,d 的值即可(此时假设c 0 ,若c = 0 则可转化成二次方程求解).例 3解方程 x4 + 4x3 + x2 + x = 0由上方法解得x1 = -6 ,x2 = -4w - w2 - w3 ,x = -4w2 - w4 - w6 ,3x4 = -4w3 - w6 - w9 ;3.几类高次方程的解法3.1形如 ax2n+1 + bx2n + bx2n-2 + + ax + b = 0例 4解方程3x5 + 5x4 + 3x3 + 5x2 + 3x + 5 = 0解原方程可同解变形为洛阳师范学院本科毕业论文3x(x4 + x2 +1)+ 5(x4

18、 + x2 +1)= 0由 3x + 5 = 0 得x = -513由 x4 + x2 +1 = 0 , 令y = x2 有-1iy2 + y +1 = 0则y =32由 x2 = -1+23i 得x2 = 1+23i , x3 = - 1+23i由 x2 = -1-23i 得x4 = 1-23i , x5 = - 1-23i3.2形如 xn - bx2n-1ax2n-2 - bx2n-3 + - bx + a = 0例 5解方程2x4 - 3x3 + 2x2 - 3x + 2 = 0解原方程可同解变形为2(x2 + x-2 )- 3(x + x-1 )+ 2 = 0令 y = x + x-1

19、 , 有洛阳师范学院本科毕业论文2y2 - 3y - 2 = 0解得 y = 2 , y = -12由 x + x-1 = 2 得x = 11由 x + x-1 = - 12 得x2 = -1+415 , x3 = -1-415 .3.3形如axn + bxn-1 + cxn-2 + + cx2 + bx + a = 0方程求解过程：a) 解偶次(n = 2k ) 倒数方程,对方程两边除以 x k ,再令 z = x + 1x ,那么原方程可以化为z的k 次方程,解方程,得z值,然后对应x的值由二次方程 x 2 - zx + 1 = 0 求出.b) 解奇次(n = 2k + 1)倒数方程归结到

20、解偶次倒数方程,奇数次倒数方程有一个根为 x1 = -1,因此,先把原方程除以 x +1化成偶数次方程之后求解.例 6解方程 2x5 + 5x4 -13x3 -13x2 + 5x + 2 = 0 求方程的根.解由于 x1 = -1是原方程的一个根,因此把原方程除以 x + 1,得到四次倒数2x 4 + 3x3 - 16x 2 + 3x + 2 = 0洛阳师范学院本科毕业论文再对其除以 x 2 ,然后合并整理得：21 12 x+ 3 x +- 16= 0x 2x令z = x + 1x ,2112- 2 = z2- 2 从而上式变为:则 x+= x +x 2x2(z 2 - 2)- 3z - 16

21、 = 0 ，即 2z 2 + 3z - 20 = 0 ,解得z1 = -4, z2 = 52因而有确定 x 得两个方程:x 2 + 4x + 1 = 0和2x 2 - 5x + 2 = 0 ，由这两个方程解得:x2 = -2 + 3 ,x3 = -2 - 3 ,x4 = 2 ,x5 = 12 ;洛阳师范学院本科毕业论文3.4形如au 2n + bu n + c = 0方程求解过程：令u n = x ,代入以上方程得ax 2 + bx + c = 0 ,由此解出 x ,则u n - x = 0 是一个二项方程,从而再解出 u,方程的解.例 7解方程1-1+ 3 = 0u 4u 2解令u12 = x ,代入方程得x 2 - 4x + 3 = 0 ,求解此方程得 x= 1, x= 312从而有1 = 1,或 1 = 3 ,解这两方程,得出原方程的解为u 2u 2u1 = 1,u2 = -1,u3 = 13 ,u4 = - 13 ;洛阳师范学院本科毕业论文结束语:在本文中,主要研究分析了一元三次方程和一元四次方程的几种一般解法，有求根公式、行列式法等。在生活中还会遇到五次方程和六次方程，其解法希望读者自己研究分析，这里不再赘述。同时还探讨了几