最小二乘法求作拟合直线

1、第 5 卷 第 3 期2006 年 7 月北京工业职业技术学院学报. 3Vol. 5JOURNAL OF BEIJ IN G VOCATIONAL & TECHNICAL INSTITU TE OF INDUSTRYJ ul.2006最小二乘法求作拟合直线解同信(北京工业职业技术学院 ,北京 100042)摘要:静态测试中 ,检测系统可以在一定的区间内用一个线性函数表达测试数据的变化规律 ,确定此线性函数即拟合直线的方法常采用最小二乘法。机械工程中 ,通过对应变测试可以分析与研究零件或结构的受力状况以及工作状态。根据实验输入输出测试数据 ,用最小二乘法求解拟合直线方程 ,以此计算的测量误差 ,

2、均未超出测试数据的极限偏差。关键词:最小二乘法;拟合直线;输入输出特性;检测系统中图分类号: TH123文献标识码:B文章编号:1671 - 6558 (2006) 03 - 05 - 03Stra ight Line Fitted by Minimum Two MultiplicationsXie Tongxin(Beijing Vocational& Technical Instit ute of Indust ry , Beijing 100042 , China)Abstract : The linear f unction can express t he t ransformati

3、on rule of test data in a definite range in check system. The met hod of fitting t he st raight line or experience formula is usually t he minimum two multiplications. The enduring and working state of t he part s and it s st ruct ure can be analyzed and researched by testing in mechanical engineeri

4、ng. The experiment s can input and output testing data and we can get t he result of t he beeline equation by t he minimum two multiplications. The deviation calculated t his way does not overstep t he limit windage of testing data.Key words : minimum two multiplication ; fitting st raight line ; in

5、put &output characteristics ; examination sys2 tem0 引言许多工程问题 ,常常需要根据两个变量的几组实验数据 ,找出这两个变量的函数关系式 ,将这样得到的近似表达式称为经验公式。检测装置的输出与输入之间的关系曲线称为定标曲线 ,亦称输入输出特性曲线 ,通常用实验的方法求取。静态测试中 ,理想的测试系统的定标曲线是直线 ,实际测试系统是很难做到的。但是我们总可以找到这样一条直线 ,收稿日期:2006 - 05 - 22在允许的测试精度条件下 ,使之在测试区间内与定标曲线的误差为最小。这条直线即为拟合直线 ,其数学表达式即所谓经验公式。确定了某个工

6、程问题的经验公式 ,可以将生产或实验中所积累的某些经验 ,提高到理论加以分析。检测系统中可以在一定的区间内用一个线性函数表达测试数据的变化规律 ,如刀具磨损速度、电感测微仪静态特性的标定等。确定拟合直线或经验公式的方法常常采用最小作者简介:解同信(1949 - ) ,男 ,山西矿业学院煤矿机械化专业毕业 ,高级工程师 ,副教授。 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.6北京工业职业技术学院学报第 5 卷二乘法。1 最小二乘法的数学原理

7、图 1定标曲线与拟合直线如图 1 示 ,曲线 2 为定标曲线 ,即实际输出与输入特性曲线 ,设为 y = f ( x) 。直线 1 为拟合直线 ,设为 Y = A + BX。按最小二乘法的求作方法 ,拟合直线与定标曲线相应点输出量偏差的平方和为最小。数学表达式为( A , B ) =ni=1( yi - A - B x i ) 2( 1)设所求拟合直线方程为Y = A + BX列计算数值表如下表 1实验数据与计算表nxixi2yixi yi1113 . 43 . 42243 . 67 . 23394 . 613 . 844166 . 425 . 6n10301850i = 1将上表数据代入方程

8、组(3) 中 ,得二元一次方程组如下:4 A + 10 B= 18( 4)10 A + 30 B= 50解之得:A = 2 ,B = 1 ;所求拟合直线方程为Y = X + 2在工程实际中 ,为得到描述输入输出数据的经验公式 ,在测试实验数据过程中 ,若各数据基本呈现线性关系 ,可直接用上述方法求其拟合直线。如刀具的磨损速度大致为线性的。为了确定刀具的磨损确定拟合直线的方程中 A 、B 两个常量的值 ,即确定了直线方程 ,所以在( 1) 式中 A 、B 是作为变量来求解的。分别对 A 、B 求偏导数 ,并令其为零。得:9nii= 2( yi - A - B x i ) = 0A9i = 1(2

9、)n9= 2( yi - A - B x i ) x i = 0B9i = 1整理得:nnyi = nA + B xi = 0i = 1i = 1(3)nnnxi yi = A xi + B xi2 = 0i = 1i = 1i = 1方程组(3) 中的 x,y 是测试得到的输入输出数据 ,n 为测试数据组数目。经计算可得 xi , yi , xi yi , xi2 数值。代入方程组 3 ,形成关于 A 、B 的二元方程 ,即可得出 A 、B 值 ,则拟合直线方程 Y = A+ Bx 求解。2 最小二乘法在工程中的应用我们用一简单例子说明最小二乘法的具体应用。经测试 ,输入输出特性曲线提供四组

10、数据如下:x1 = 1 , y1 = 3 . 4 ; x2 = 2 , y2 = 3 . 6 ; x3 = 3 , y3 = 4 . 6 ;x4 = 4 ,y1 = 6 . 4速度 ,经过一定时间(如间隔一小时) ,测量一次刀具的厚度 ,得到一组实验数据。按表 1 方法列出各实验数据和计算数值 ,代入方程组 3 中 ,得到的二元方程求解即可得拟合直线。测取的数据越多 ,这条拟合直线就应接近刀具厚度变化的定标出曲线。还有些工程实际问题 ,经验公式的类型不是线性函数 ,可设法将其化成线性函数的类型。如根据化学反应速度的理论 ,单反应分子化学反应速度是指数函数y = kem(5)表示从实验开始的时间

11、 ,y 表示这时在混合物中物质的量。(5) 式两边取常用对数 ,得l gy = ( m l ge)+ l gk(6)设 a = mlge = 0 . 4343m ,b = lgk ,则(6) 式可写作l gy = a+ b( 7)于是 lgy 就是的线性函数。将测试的各组数据 (i ,yi) (i = 1 ,2 , ,n) 以表 1 的格式计算 ,然后代入方程组(3) 求解 a ,b 值 ,则 m ,k 可求出 ,所求经验公式即为如公式(5) 的指数函数表达式。机械工程中 ,通过对应变测试可以分析与研究零件或结构的受力状况以及工作状态 ,验证设计的 1994-2009 China Academ

12、ic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.第 3 期解同信:最小二乘法求作拟合直线7正确性。在各种应变测试方法中 ,电阻应变电测法的受力状态。是最基本和应用最广泛的测试方法。金属箔式应变利用 CS Y 2000 传感器实验台做应变片单臂片是通过光刻、腐蚀等工艺制成的应变敏感元件 ,通电桥性能实验 , 测量电路采用三级运放放大电路。过它转换被测部位受力状态变化。通过电桥完成电测试数据如表 2 。阻到电压的比例变化 ,电桥的输出电压反映了相应表 2 测试数据表重量 g204060801

13、00120140160180200输出 mv8142025303540455055计算值9 . 03714 . 19719 . 357 14 . 21729 . 677 34 . 83739 . 97745 . 15750 . 31755 . 477偏差- 0 . 037- 0 . 1970 . 6430 . 7830 . 3230 . 1630 . 003- 0 . 157- 0 . 317- 0 . 477根据表 2 的第一和第二行的输入输出测试数据 ,用最小二乘法求解拟合直线的方法解得 ,单臂电桥应变测试数据的拟合直线为y= 3 . 877 + 0 . 258 x(8)根据式 8 所得各

14、计算值如表 2 第三行 ,计算值与测试输出值之偏差如表 2 第四行。从表 2 可看出 ,计算值与实测值最大误差为 0 . 783 ,表征定标曲线与拟合直线偏离程度的线性度为 0 . 783/ 55 . 477 = 0 . 01411 = 1 . 411 % 。在检测系统中 ,测量的精密度可用标准偏差来表示。2 =rn i(9)式中为测量次数 ,i 为第 i 次测量时的随机误差。取= 3为随机误差的极限偏差。根据表 2 测试数据 ,采用单臂电桥作应变测试的标准偏差= 0 . 3544 ,其极限偏差为= 3= 1 . 0632 。从表 2 中可看出 ,所有测试数据的误差均未超出极限偏差的数值。3

15、结束语最小二乘法求作拟合直线 ,是一种解决工程问题数学方法 , 更是一种符合客观规律的辨证思维。我们力图在千变万化的客观世界寻找规律 ,那么采用最小二乘法的方法在精度或客观条件允许的条件下近似描述之 ,就是相对真理逼近绝对真理。参考文献: 1 陈瑞阳. 毛智勇. 机械工程检测技术 M . 北京:高等教育出版社 ,2005 2 同济大学数学教研室. 高等数学 M . 北京 : 人民教育出版社 ,1979 3 严钟豪 ,谭祖根. 非电量电测技术 M . 北京 :机械工业出版社 ,1999(责任编辑:牛小铁)(上接第 4 页)造成环境污染的重要原因 ,所以节电就可以减少对率的处理 ,特别是能够实现大

16、功率电能的频率转换 ,环境的污染; 其次电力电子产品尤其是电源 , 不能为多项高新技术的发展提供了有利的支持。因此 ,(或少) 对电网产生污染。事实上 ,许多功率电子节不但现代电力电子技术本身是一项高新技术 ,而且电设备 ,往往会变成对电网的污染源:向电网注入严还是其他多项高新技术发展的基础。电力电子技术重的高次谐波电流 ,使总功率因数下降 ,使电网电压及其产业的进一步发展必将为大幅度节约电能、降耦合许多毛刺尖峰 ,甚至出现缺角和畸变。20 世纪低材料消耗以及提高生产效率提供重要手段 ,并且末 ,各种有源滤波器和有源补偿器的方案诞生 ,有了为现代生产和现代生活带来深远的影响。多种修正功率因数的方法。这些为 2l 世纪批量生参考文献:产各种绿色电力电子产品奠定了基础。 1 刘志刚. 电力电子学 M . 北京 :清华大学出版社 ,200