随机变量的数学期望

1、概率论与数理统计概率论与数理统计 第一节第一节 数学期望数学期望 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 数学期望的性质数学期望的性质 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量x的概率分布，那么的概率分布，那么x的的 全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应

2、用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是 数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数 一、数学期望的概念一、数学期望的概念 1 )( k kk pxxe即即 定义定义1 设设x是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是: px=xk=pk , k=1,2, 若级数若级数 1k kk px 绝对

3、收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1k kk px )(xe 的和为随机变量的和为随机变量x的的数学期望数学期望，记为，记为 , 若级数发散若级数发散 ，则称，则称x的数学期望不存在。的数学期望不存在。 1k kk px 定义定义2 设连续型随机变量设连续型随机变量x的概率密度为的概率密度为f(x)，如，如 果积分果积分 绝对收敛，则称该积分的值绝对收敛，则称该积分的值 为随机变量为随机变量x的数学期望或者均值，记为的数学期望或者均值，记为ex，即，即 dxxxf)( dxxfxxe)()( 如果积分如果积分 发散，则称发散，则称x的数学期的数学期 望不存在。望不存在。 ( )x f x dx

4、 关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同术平均值不同. (1) e(x)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加 权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现 了随机变量了随机变量 x 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也称也称 均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数

5、学期望是反映随机变量x 取可能值取可能值 的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变. x o 随机变量随机变量 x 的算术平均值为的算术平均值为, 5 . 1 2 21 假设假设 .98. 198. 0202. 01)( xe 它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量x 取可能值的平均值取可能值的平均值. 当随机变量当随机变量 x 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时 , x 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等. 1 2 x21 020.980.p 为为他们射击的分布律分别他们射击的分布律分别乙两个射手乙两个射手、甲甲

6、, 试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好? 思考思考 谁的技术比较好谁的技术比较好? ? 乙射手乙射手 击中环数击中环数 概率概率 1098 2 . 05 . 03 . 0 甲射手甲射手 击中环数击中环数 概率概率 1098 3 . 01 . 06 . 0 解解 ),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)( 1 环环 xe ),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)( 2 环环 xe ., 21 xx数分别为数分别为设甲、乙射手击中的环设甲、乙射手击中的环 故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好. 例例4.1 一批产品中有一、二、三等及废品一批产品中有一、二

7、、三等及废品4种，相种，相 应比例分别为应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级，若各等级 的产值分别为的产值分别为10元、元、5.8元、元、4元及元及0元，求这批产元，求这批产 品的平均产值。品的平均产值。 解解 设一个产品的产值为设一个产品的产值为x元，则元，则x的可能取值的可能取值 分别为分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为；取这些值的相应比例分别为 7%, 13%, 20%, 60%；则它们可以构成概率分布，；则它们可以构成概率分布， 由数学期望的定义求得产品的平均产值为由数学期望的定义求得产品的平均产值为 ex = 40.13 + 5.80.2 + 100.

8、6 = 7.68（元）。（元）。 到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6 一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望. 例例4.2 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00 都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者 到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为： 其分布率为其分布率为以分计以分计为为解：设旅客的候车时间解：设旅客的候车时间),(x x 10 30 50 70 90 k p 6 3

9、6 2 6 1 6 1 6 3 6 1 6 2 6 1 13 70()( ) ( ) 66 p xp abp a p b 上表中例如 的数学期望为的数学期望为候车时间候车时间到站到站 第二班车第二班车为事件为事件到站到站第一班车第一班车为事件为事件其中其中 x ba .30:9 ,10:8 分分22.27 36 2 90 36 3 70 36 1 50 6 2 30 6 3 10)( xe 例例4.3 其概率密度为其概率密度为服从同一指数分布服从同一指数分布 它们的寿命它们的寿命装置装置个相互独立工作的电子个相互独立工作的电子有有 ,)2 , 1( ,2 k x k 0 , 00 , 0 1

10、)( x xe xf x 若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机 寿命寿命(以小时计以小时计) n 的数学期望的数学期望. 00 01 )( )2 , 1( x xe xf kx x k 的分布函数为的分布函数为解解 00 01 )(11)( 2 2 min x xe xfxf x 00 0 2 )( 2 min x xe xf n x 的概率密度为的概率密度为于是于是 2 2 )()( 0 2 min dxe x dxxxfne x 12 min(,)nxx 的分布函数为的分布函数为 :),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的

11、的方方式式 的的销销售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器 x 例例4.4商店的销售策略商店的销售策略 .3000, 3;2500, 32 ;2000, 21 ;1500, 1 元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 xx xx . . 0, 0 , 0,e 10 1 )( , 10 的的数数学学期期望望器器收收费费试试求求该该商商店店一一台台家家用用电电 概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命 y x x xf x x 解解 xxp x de 10 1 1 10 1 0 1 . 0 e1 ,0952.

12、 0 xxp x de 10 1 21 10 2 1 2 . 01 . 0 ee ,0861. 0 xxp x de 10 1 32 10 3 2 ,0779. 0ee 3 . 02 . 0 xxp x de 10 1 3 10 3 .7408. 0e 3 . 0 的的分分布布律律为为因因而而一一台台收收费费 y y k p 3000250020001500 0952. 07408. 00861. 00779. 0 ,15.2732)( ye得得 .15.2732元元费费即平均一台家用电器收即平均一台家用电器收 例例4.5 求常见分布的随机变量数学期望。求常见分布的随机变量数学期望。 二、随机

13、变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量x的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是x 的期望，而是的期望，而是x的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(x)的期望的期望. 那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为一种方法是，因为g(x)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的x的分布求出来的分布求出来. 一旦一旦 我们知道了我们知道了g(x)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把 eg(x)计算出来计算出

14、来. 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(x)的分布而只根据的分布而只根据x的的 分布求得分布求得eg(x)呢？呢？ 下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(x)的的 分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的 . (1) 当当x为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为p(x= xk)=pk ; 绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1 )(), 2 , 1( k kk pxgk 1 ( ) ()() kk k e ye g xg xp (2) 当当x为连续型时为连续型时,它的密度函数为它的密度

15、函数为f(x).若若 绝对收敛，则有绝对收敛，则有 dxxfxg)()( dxxfxgxgeye)()()()( 定理定理1 设设y是随机变量是随机变量x的函数的函数:y=g(x) (g是连续函数是连续函数) 连续型 离散型 xdxxfxg xpxg xgeyek kk ,)()( ,)( )()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求eg(x)时时, 不必不必 知道知道g(x)的分布，而只需知道的分布，而只需知道x的分布就可以了的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便. dxdyyxfyxgyxgeze),(),(),(

16、)( 定理定理2 设设g (x,y) 是随机变量是随机变量x、y的函数，且的函数，且 eg(x)存在。存在。 (2) 如果如果x、y是连续型随机变量，联合概是连续型随机变量，联合概 率密度为率密度为f(x,y)，则，则 (1) 如果如果x、y是离散型随机变量，联合概率是离散型随机变量，联合概率 分布为分布为pij , i,j=1,2, ，则，则 11 ( ) ( , )( ,) ijij ji e ze g x yg x y p x p 123 4 . 02 . 04 . 0 解解的分布律为的分布律为x x y 123 1 0 1 20. 10. 10.10. 10. 10. 0 0 30.

17、.)(, )(),(),(: 2 yxexyeyexe 求求 例例4.6 设设 ( x , y ) 的分布律为的分布律为 . 03 . 014 . 003 . 01)( ye得得 1 0121 21031 y p 1 01 3 . 04 . 03 . 0 的分布律为的分布律为y . 24 . 032 . 024 . 01)( xe得得 p ),(yx xy )1, 1( 2 . 0 )0 , 1( 1 . 0 )1 , 1( 1 . 0 ) 1, 2( 1 . 0 )1 , 2( 1 . 0 )0 , 3( 3 . 0 )1 , 3( 1 . 0 由于由于 p ),(yx)1, 1( 2 .

18、0 )0 , 1( 1 . 0 ) 1 , 1 ( 1 . 0 ) 1, 2( 1 . 0 )1 , 2( 1 . 0 )0 , 3( 3 . 0 )1 , 3( 1 . 0 2 )(yx 4109194 4 . 091 . 002 . 013 . 04)( 2 yxe得得 . 5 1 . 0 3 1 3 . 001 . 0 2 1 1 . 0 2 1 1 . 011 . 002 . 01 x y e 于于是是 . 15 1 ?),( , , 0 . 0, 0 , 0,e 1 )( )( ,., . , 均为已知均为已知产品产品 应生产多少件应生产多少件期望最大期望最大问若要获得利润的数学问若

19、要获得利润的数学 度为度为服从指数分布其概率密服从指数分布其概率密件件们预测销售量们预测销售量 他他再者再者元的损失元的损失而积压一件产品导致而积压一件产品导致元元利利 可获可获他们估计出售一件产品他们估计出售一件产品确定该产品的产量确定该产品的产量 并试图并试图产品市场产品市场某公司计划开发一种新某公司计划开发一种新 nm y y yf y nm y y 例例4.7 解解,件件设生产设生产 x:的函数的函数是是则获利则获利xq ., ,),( )( xymx xyyxnmy xqq 若若 若若 yyqfqe y d)()( 0 y mxy yxnmy y x y x de 1 de 1 )(

20、 0 ,e)()(nxnmnm x , 0e )()( d d nnmqe x x 令令 ).ln( nm n x 得得 , 0e )( )( d d 2 2 x nm qe x 又又 .)(,)ln(,取得最大值取得最大值时时当当因此因此qe nm n x 密度密度 即具有概率即具有概率上服从均匀分布上服从均匀分布在在设风速设风速,), 0(av 其它其它0 0 1 )( av avf .), 0( : 2 的数学期望的数学期望求求常数常数 的函数的函数是是压力压力又设飞机机翼受到的正又设飞机机翼受到的正 wk kvwvw 2 0 22 3 11 )()(kadv a kvdvvfkvwe

21、a 解：由上面的公式解：由上面的公式 例例9 求数学期望求数学期望e(ex)，若，若 (1)xp(3); (2) xb(n,p); (3) xn(1,4). 其它其它 ）的概率密度为）的概率密度为（设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 0 2 0)sin( ),( , xyxa yxf yx ).(),()2(,)1(xyexea求求求系数求系数 2 1 1)sin(),( 2/ 0 2/ 0 adxyxadydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1 其它其它 ）的概率密度为）的概率密度为（设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 0 2 0)sin( ),( , xyxa yx

22、f yx ).(),()2(,)1(xyexea求求求系数求系数 4 )sin( 2 1 2 2/ 0 2/ 0 dxdyyxxxe）（）解解（ 1 2 )sin( 2 1 ),()( 2/ 0 2/ 0 dxdyyxxy dxdyyxxyfxye 例例11 ., , 22 的数学期望的数学期望求求正态分布正态分布 且都服从标准且都服从标准相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量 yxz yx 解解 的联合概率密度为的联合概率密度为和和 相互独立相互独立和和 yx yxnynx,),1 , 0(),1 , 0( 22 22 e 2 1 e 2 1 ),( yx yxf ,e 2 1 2)( 2

23、2 yx 于是于是 )()( 22 yxeze .dde 2 1 2 22 22 yxyx yx 得得令令,sin,cos ryrx dde 2 1 )( 2 2 00 2 2 rrze r rr r de 2 2 2 0 2 2 rr rr dee 0 2 0 2 22 . 2 例例12 . . , 0 , 10 ,2 )( . , 0 , 10 ,3 )( , , ,00:1300:12 2 时间的数学期望时间的数学期望求先到达者需要等待的求先到达者需要等待的 其他其他其他其他 的概率密度分别为的概率密度分别为已知已知立立 相互独相互独和和且设且设间间分别是甲、乙到达的时分别是甲、乙到达的

24、时设设 会面会面在在甲、乙两人相约于某地甲、乙两人相约于某地 yy yf xx xf yx yxyx yx 解解的联合概率密度为的联合概率密度为和和 yx . , 0 , 10 , 10 ,6 ),( 2 其他其他 yxyx yxf 因此所求数学期望为因此所求数学期望为 yxyxyxyxedd6)( 1 0 1 0 2 21 dd6)(dd6)( 22 dd yxyxyxyxyxyx 6 1 12 1 ).( 4 1 小时小时 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 1. 设设c是常数，则是常数，则e(c)=c; 4. 设设x、y 相互独立，则相互独立，则 e(xy)=e(x)e(y); 2.

25、若若k是常数，则是常数，则e(kx)=ke(x); 3. e(x+y) = e(x)+e(y); n i i n i i xexe 11 )(:推广 n i i n i i xexe 11 )(:推广（诸（诸xi相互独立时）相互独立时） 请注意请注意: 由由e(xy)=e(x)e(y) 不一定能推出不一定能推出x,y 独立独立 。和和来证性质来证性质请同学自己证明，我们请同学自己证明，我们，性质性质4321 于是有于是有概率密度为概率密度为 其边缘其边缘）的概率密度）的概率密度设二维随机变量（设二维随机变量（证证 ),(),( ).,(, yfxf yxfyx yx 得证。得证。性质性质3)(

26、)( ),(),( ),()()( yexe dxdyyxyfdxdyyxxf dxdyyxfyxyxe , 相互独立相互独立又若又若yx .4)()()()( ),()( 得证得证性质性质yexedxdyyfxxyf dxdyyxxyfxye yx 例例10 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出, 旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客如到达一个车站没有旅客 下车就不停车下车就不停车.以以x表示停车的次数，求表示停车的次数，求e(x).(设每设每 位旅客在各个车站下车是等可能的位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否并设各旅

27、客是否 下车相互独立下车相互独立) 10, 2 , 1 1 0 i i i x i 站有人下车站有人下车在第在第 站没有人下车站没有人下车在第在第 引入随机变量引入随机变量解解 1021 xxxx 易知易知 四、数学期望性质的应用四、数学期望性质的应用 10, 2 , 1, 10 9 11, 10 9 0 2020 ixpxp ii 10, 2 , 1, 10 9 1)( 20 ixe i 由此由此 次次 进而进而 784. 8 10 9 110 )()()( )()( 20 1021 1021 xexexe xxxexe 1 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙把钥匙,其中只有一把能

28、打其中只有一把能打 开自己的家门开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把他随意地试用这串钥匙中的某一把 去开门去开门,若每把钥匙试开一次后除去若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试求打开门时试 开次数的数学期望开次数的数学期望. 00 0 )( x xe xf x 的数学期望。的数学期望。求求 x ey 2 1 解解 设试开次数为设试开次数为x, 分布率为：是离散型随机变量，其x 于是于是 e(x) n k n k 1 1 2 )1 (1nn n 2 1 n 3 1 )()( 0 22 dxeedxxfeye xxx p(x=k)=1/n, k=1, 2, , n 解解 从数字从数字0, 1, 2, , n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望. , 的绝对值的绝对值为所选的两个数字之差为所选的两个数字之差设设 x , 3 , 2 , 1 nx的所有可能取值为的所有可能取值为则则 ,