圆锥曲线的准圆的一个漂亮性质

1、圆锥曲线的准圆(线)的一个漂亮性质圆、椭圆、双曲线和抛物线为什么叫圆锥曲线而不叫圆柱曲 线呢？这是因为这三种曲线是由圆锥被不同位置的平面所截得 到的。既然是同根生，它们应该具有相同的或相似的性质，抛物 线和准线有密切的关系， 那么椭圆、 双曲线和准圆应该有怎样的 密切关系呢？【猜想 1】给定椭圆 C： +=1(a>b>0 )，称圆心在原 点O半径为的圆是椭圆C的“准圆”，点P是椭圆C的“准圆” 上的一个动点，过点P作直线11 , 12，使得11 , 12与椭圆C都 只有一个交点，求证：11丄12.证明：当11 , 12中有一条无斜率时，不妨设11无斜率， 因为11与椭圆只有一个公共

2、点，则其方程为x=a或x=-a。当11 方程为 x=a 时，此时 11 与准圆交于点( a， b)，(a， -b )此时 经过点(a, b)(或(a, -b )且与椭圆只有一个公共点的直 线是y=b (或y=-b) ，即卩12为y=b (或y=-b)，显然直线11 , 12 垂直;同理可证 11 方程为 x=-a 时,直线 11 , 12 垂直。当11 ,12都有斜率时，设点P(x0, y0),其中x+y=a2+b2, 设经过点P (x0, y0),与椭圆只有一个公共点的直线为y=kx+m,其中 m=y0-kx0 联立 y=kx+m+=1 消去 y 得到( a2k2+b2) x2+2a2mkx

3、+a2 (m2-b2) =0, 4a4m2k24a2 (a2k2+b2) (m2-b2) =0. 经过化简得到： a2k2+b2-m2=0， 把 m=y0-kx0 代入得，( a2-x ) k2+2x0y0k+b2-y02=0. 设 11 ,12 的斜率分别为 k1, k2,因为 11 , l2 与椭圆都只有一个公共点，所以 k1 ，k2 满足上述方程， 所 以 k1k2=-1，即 11 丄 12.【总结】猜想1证明的思路是设点P的坐标和切线直线方 程联立消元利用判别式 =0得到关于斜率k的一元二次方 程利用韦达定理整体求出k1k2，再利用点P在准圆上消去一个坐标得到结论。 但如果设切线方程时

4、用直线的点斜式， 这样在 后面的联立消元和计算判别式时计算量很大， 很多学生不堪忍受 如此复杂的计算，所以可以先设切线方程的斜截式y=kx+m,其中m=y0-kx0，计算判别式得到 a2k2+b2-m2=0后再把m=y0-kx0 代入，这样做计算量很小，这一技巧值得关注。其次，是以椭圆 焦点在x轴上时，过准圆上任一点P作椭圆的两条切线，则两切 线相互垂直；当椭圆焦点在y轴上时，同理可证这一性质也成立， 于是有下面的结论 1。【结论1】过椭圆的“准圆”上任一点 P作椭圆的两条切线， 则两切线相互垂直。那么作为有心二次曲线的双曲线是否也有“准圆”呢？如 果有，是否也有相应的漂亮性质呢？【猜想 2】

5、给定双曲线 C：-=1 (a>b>0 )，称圆心在 原点O半径为的圆是双曲线 C的“准圆”，点P是双曲线C的 “准圆”上的一个动点，过点P作双曲线C的两条切线11，12 ,求证：11丄12【证明】当11 , 12中有一条无斜率时，不妨设11无斜率， 因为 l1 与双曲线相切，则其方程为 x=a 或 x=-a 。当 l1 方程为 x=a 时，此时 11 与准圆无交点 ; 当 11 方程为 x=-a 时，此时 11 与准圆无交点。当11 ,12都有斜率时，设点P(x0, y0),其中x+y=a2-b2 , 设经过点P( x0，y0)，与双曲线相切的直线为 y=kx+m,其中 m=yO-

6、kxO 则 y=kx+m+=1,消去 y 得到(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2(m2+b2 =0，A =4a4m2k2+4a2( b2-a2k2)( m2+b2 =0，化简 得： b2+m2-a2k2=0， 把 m=y0-kx0 代入得，( x-a2 ) k2-2x0y0k+b2+y02=0 设 11，12 的斜率分别为 k1，k2，因为 11， 12与双曲线都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程，所以 k1k2=-1，即 11 丄 12.【结论2】过双曲线的“准圆”上任一点P作双曲线的两条切线，则两切线相互垂直。特别注意：椭圆C的“准圆”半径为，双曲线C的“准圆” 半径为 ;

7、 双曲线 C： -=1 中对 a， b 的限制是 a>b>0 而非 a>0 ， b>0. 椭圆和双曲线的“准圆”相当于抛物线的准线， 那么抛物线的准线是否也有相应的性质呢？【猜想3】给定抛物线C: y2=2px ( p>O ,点P是抛物线 C的准线I : x=-上的一个动点，过点 P作抛物线C的两条切线 11 , 12，求证：11 丄 12.证明：由题意知两条切线 11 ， 12 的斜率均存在且不为 0，设经过点P （x0, y0）（其中x0=-）与抛物线C的相切的直线为y=kx+m,其中 m=yO-kxO,联立 y=kx+my2=2px,消去 y 得到 k2x2+2（mk-p）x+m2=Q =4（ mk-p）2-4m2k2=0，经过化简得到：2mk-p=0， 把 m=y0-kx0 代入得 2x0k2-2y0k+p=0. 设 l1 ， l2 的斜率分别为 k1，k2，因为11 , 12与抛物线相切，所以k1，k2满足上述方程， 所以 k1k2=-1，即 11 丄 12.【结论3】过抛物线的准线上任一点 P作抛物